PRV-условия неограниченности решения стохастического дифференциального уравнения

Досліджено асимптотичну поведінку розв’язку стохастичного диференціального рівняння ξdξ(t) = a(t,ξ(t))dt + σ(t,ξ(t))dw(t),t ≥ 0; ξ(0) ≡ ξ0, де w — стандартний вінерів процес; ξ0 — невипадкова додатна стала; ξ — розв’язок рівняння, a та σ — неперервні функції. Знайдено умови на функції a та σ, при яких розв’язок ξ прямує до нескінченності. Необмеженість розв’язку є важливим питанням при вивченні асимптотичної поведінки розв’язку стохастичного диференціального рівняння. Основні результати, що стосуються необмеженості розв’язку для автономного стохастичного диференціального рівняння, були отримані Й. І. Гіхманом та А. В. Скороходом. У статті доведено деякі достатні умови, за яких розв’язок неавтономного стохастичного диференціального рівняння прямує до нескінченності при t → ∞. Знайдено деякі достатні умови необмеженості розв’язку неавтономного стохастичного диференціального рівняння в термінах PRV-функцій. Дослідження проведено на основі PRV-теорії, яку було розроблено в серії праць В. В. Булдигіна, О. І. Клесова, Й. Г. Штайнебаха.We consider the behavior of solutions of stochastic differential equation dξ(t) = a(t,ξ(t))dt + σ(t,ξ(t))dw(t),t ≥ 0; ξ(0) ≡ ξ0, where w is a standart Wiener process; ξ0 is a nonrandom positive constant; ξ is a solution of equation, a and σ are continuous functions. The aim of this work is to find conditions on functions a and σ, under which solution ξ tends to infinity. The solutions unboundedness of stochastic differential equations is one of the important research topics of the asymptotic behavior of stochastic differential equations solutions. I. I. Gihman and A. V. Skorohod obtained general results for solutions unboundedness for an autonomous stochastic differential equation. In this paper, we provide some sufficient conditions for the stochastic differential equation with a time-dependent coefficient under which solution tends to infinity for t → ∞. We do the research based on the PRV-theory (the theory of pseudo-regularly varying functions) developed in a series of works by V. V. Buldigin, O. I. Klesov and J. G. Shteinebach.Исследовано асимптотическое поведение решения стохастического дифференциального уравнения ξdξ(t) = a(t,ξ(t))dt + σ(t,ξ(t))dw(t),t ≥ 0; ξ(0) ≡ ξ0, где w — стандартный винеровский процесс; ξ0 — неслучайная положительная постоянная; ξ — решение уравнения, a и σ — непрерывные функции. Найдены условия на функции a и σ, при которых решение ξ стремиться к бесконечности. Неограниченность решения — это важный вопрос при изучении асимптотического поведения решения стохастического дифференциального уравнения. Основные результаты, касающиеся вопроса неограниченности решения для автономного стохастического дифференциального уравнения, были получены, Й. И. Гихманом и А. В. Скороходом. В этой статье доказаны некоторые достаточные условия, при которых решение неавтономного стохастического дифференциального уравнения стремится к бесконечности при t → ∞. Найдены некоторые достаточные условия неограниченности решения неавтономного стохастического дифференциального уравнения в терминах PRV-функций. Исследования проведены на основе PRV-теории, которая была разработана в серии работ В. В. Булдыгина, О. И. Клесова, Й. Г. Штайнебаха

Strong Law of Large Numbers for Solutions of Non-Autonomous Stochastic Differential Equations

Background. Asymptotic behavior at infinity of non-autonomous stochastic differential equation solutions is studied in the paper.  Objective. The aim of the work is to find sufficient conditions for the strong law of large numbers for a random process which is a solution of non-autonomous stochastic differential equation. Methods. Basic results of the theory of stochastic differential equations related to stochastic integrals estimation. Results. Sufficient conditions for almost sure convergence to zero of normalized term related to diffusion of non-autonomous stochastic differential equation are obtained. Conclusions. Results of the paper can be used for further research on the asymptotic behavior of stochastic differential equation solutions, finding the stability condition of stochastic differential equation solution and ergodic type problems also

Посилений закон великих чисел для розв'язків неавтономних стохастичних диференціальних рівнянь

Background. Asymptotic behavior at infinity of non-autonomous stochastic differential equation solutions is studied in the paper. Objective. The aim of the work is to find sufficient conditions for the strong law of large numbers for a random process which is a solution of non-autonomous stochastic differential equation.Methods. Basic results of the theory of stochastic differential equations related to stochastic integrals estimation.Results. Sufficient conditions for almost sure convergence to zero of normalized term related to diffusion of non-autonomous stochastic differential equation are obtained.Conclusions. Results of the paper can be used for further research on the asymptotic behavior of stochastic differential equation solutions, finding the stability condition of stochastic differential equation solution and ergodic type problems also.Проблематика. В статье рассматривается предельное поведение на бесконечности решений неавтономных стохастичес­ких дифференциальных уравнений.Цель исследования. Цель работы заключается в нахождении условий, при которых устанавливается усиленный закон больших чисел для случайного процесса, который является решением неавтономного стохастического дифференциального уравнения.Методика реализации. Применены базовые результаты теории стохастических дифференциальных уравнений относительно оценки стохастических интегралов.Результаты исследования. Получены достаточные условия сходимости почти наверное к нулю нормированного слагаемого, отвечающего за диффузию в неавтономном стохастическом дифференциальном уравнении.Выводы. Полученные результаты можно использовать для исследования асимптотического поведения решений стохастических дифференциальных уравнений и установления условий устойчивости решений стохастических дифференциальных уравнений, а также к задачам эргодического типа.Проблематика. У статті розглядається гранична поведінка на нескінченності розв’язків неавтономних стохастичних диференціальних рівнянь.Мета дослідження. Мета роботи полягає у наведенні умов, за яких встановлюється посилений закон великих чисел для випадкового процесу, що є розв’язком неавтономного стохастичного диференціального рівняння.Методика реалізації. Застосовано базові результати теорії стохастичних диференціальних рівнянь щодо оцінки стохастичних інтегралів.Результати дослідження. Отримано достатні умови збіжності майже напевно до нуля нормованого доданка, що відповідає за дифузію в неавтономному стохастичному диференціальному рівнянні.Висновки. Одержані результати можна використовувати для дослідження асимптотичної поведінки розв’язків стохастичних диференціальних рівнянь і встановлення умов стійкості розв’язків стохастичних диференціальних рівнянь, а також до задач ергодичного типу