Sur le défaut palindromique des mots infinis

Lorsqu'on s'intéresse à l'étude de la structure combinatoire d'un mot infini w, une stratégie classique consiste à calculer sa fonction de complexité, c'est-à-dire à décrire le nombre de mots de longueur n qui apparaissent dans w, pour chaque entier n ≥ 0. Récemment, des chercheurs se sont intéressés à un raffinement de cette notion en introduisant la fonction de complexité palindromique: pour chaque entier n ≥ 0, nous calculons le nombre de palindromes de longueur n apparaissant dans w. Rappelons qu'un palindrome est un mot qui se lit de la même façon de gauche à droite que de droite à gauche (par exemple, "radar" et "ressasser" sont des palindromes de la langue française). La connaissance des palindromes apparaissant dans un mot permet de déduire de nombreuses informations précieuses sur sa structure. Par exemple, un mot admettant une infinité de palindromes préfixes est nécessairement récurrent (tout facteur apparaît une infinité de fois) et son langage est fermé sous l'opération miroir. D'autre part, nous étudions également les occurrences de facteurs antipalindromiques (une généralisation de la notion de palindrome), qui semblent naturellement en interaction avec les palindromes usuels. En particulier, nous décrivons les complexités palindromique et antipalindromique de quelques familles importantes de mots: les mots périodiques, les mots sturmiens, le mot de Thue-Morse et les suites de Rote. Dans un deuxième temps, nous étudions le défaut palindromique des mots finis et infinis. Il s'agit d'une mesure de "richesse" ou de "pauvreté" en palindromes des mots. Nous montrons en particulier que certains mots associés aux suites de Rote, à l'instar des mots sturmiens (Droubay, Justin et Pirillo, 2001), sont aussi pleins, c'est-à-dire qu'ils réalisent la complexité palindromique maximale, et nous établissons aussi des conditions sous lesquelles les mots périodiques sont pleins. Une section supplémentaire est consacrée à l'étude des lacunes du mot de Thue-Morse, qui admet une infinité de palindromes, mais dont le défaut est infini (c'est-à-dire qu'il possède une infinité de lacunes palindromiques). En dernier lieu, nous mentionnons quelques problèmes ouverts dans ce passionnant champ de recherche. ______________________________________________________________________________ MOTS-CLÉS DE L’AUTEUR : Combinatoire, Mots, Palindromes, Antipalindromes, Complexité, Défaut

On Words with the Zero Palindromic Defect

We study the set of finite words with zero palindromic defect, i.e., words rich in palindromes. This set is factorial, but not recurrent. We focus on description of pairs of rich words which cannot occur simultaneously as factors of a longer rich word

Generalised Lyndon-Schützenberger Equations

We fully characterise the solutions of the generalised Lyndon-Schützenberger word equations $u_1 \cdots u_\ell = v_1 cdots v_m w_1 \cdots w_n$, where $u_i \in \{u, \theta(u)\}$ for all $1 \leq i \leq \ell$, $v_j \in \{v, \theta(v)\}$ for all $1 \leq j \leq m$, $w_k \in \{w, \theta(w)\}$ for all $1 \leq k ?\leq n$, and $\theta$ is an antimorphic involution. More precisely, we show for which $\ell$, $m$, and $n$ such an equation has only $\theta$-periodic solutions, i.e., $u$, $v$, and $w$ are in $\{t, \theta(t)\}^\ast$ for some word $t$, closing an open problem by Czeizler et al. (2011)

An Optimal Algorithm for Tiling the Plane with a Translated Polyomino

We give a $O(n)$-time algorithm for determining whether translations of a polyomino with $n$ edges can tile the plane. The algorithm is also a $O(n)$-time algorithm for enumerating all such tilings that are also regular, and we prove that at most $\Theta(n)$ such tilings exist.Comment: In proceedings of ISAAC 201

Repetitions in infinite palindrome-rich words

Rich words are characterized by containing the maximum possible number of distinct palindromes. Several characteristic properties of rich words have been studied; yet the analysis of repetitions in rich words still involves some interesting open problems. We address lower bounds on the repetition threshold of infinite rich words over 2 and 3-letter alphabets, and construct a candidate infinite rich word over the alphabet $\Sigma_2=\{0,1\}$ with a small critical exponent of $2+\sqrt{2}/2$. This represents the first progress on an open problem of Vesti from 2017.Comment: 12 page

The impact of managerial characteristics on business strategies under the environmental change: an investigation of the Israeli diamond industry

The changing business environment has required firms to adopt new strategies to facilitate efficient organizational adaptation. Previous upper echelons studies suggested that the demographic characteristics of top managers influence their choice of strategies, and ultimately the firms’ performance. These studies tended to examine firms in a homogenous way. The characteristics of family-owned firms, together with the unique external environment within which they operate, have been largely ignored. This study aims to fill this gap and examine the relationships between the top managers’ characteristics and their choice of exchange strategy within the diamond industry in light of the environmental changes. This paper illustrates the evolutionary stages of the diamond industry and how players adjust their strategies in-line with the environment. We interviewed 100 diamond firm managers to gather the empirical data. The results have shown that certain managerial characteristics, such as family background and marketing experience, have positively influenced the choice of using the arm’s length market exchange strategies. Our findings have also reflected that the relationship between managers’ characteristics and strategic choice is social and normative. Many managers follow the family or community traditions and imitate other key industry players in order to achieve legitimacy from the stakeholders and improve competitiveness

On the critical exponent of generalized Thue-Morse sequences

For certain generalized Thue-Morse words t, we compute the "critical exponent", i.e., the supremum of the set of rational numbers that are exponents of powers in t, and determine exactly the occurrences of powers realizing it