Far Zone Effects for Integral Transformations: Theory and Implementation

Integrální transformace jsou užitečný matematický aparát pro modelování gravitačního pole a vyžadují formulaci integrálních odhadů včetně chybových charakteristik. Pro klasické integrální transformace byla již tato problematika prozkoumána, ale zatím nebyla studována formulace vzájemně vztahující všechny dostupné gravitační pozorovatelné veličiny. Předpokladem je globální pokrytí daty a globální integrace. Dostupnost dat může být omezená, proto globální integraci rozdělujeme na vliv blízkých a vzdálených zón. Výpočet vzdálených zón je nezanedbatelný systematický efekt, vyžadující přesný výpočet. Potřebná teorie a její implementace se realizují v podobě přesného softwarového nástroje. V tomto příspěvku představujeme základní teorii vlivu vzdálených zón. Dále studujeme vlastnosti integrálních jader a Moloděnského koeficientů. V numerických experimentech porovnáme výpočet vzdálených zón numerickou integrací s omezenou sumací ve formě sférických harmonických řad. Jedním z výstupů tohoto příspěvku je i softwarová knihovna na výpočet vlivu vzdálených zón pro integrální transformace až po třetí derivace gravitačního potenciálu.Integral transformations are a useful mathematical apparatus for modelling the gravitational field and require the formulation of integral estimates including error propagation. For classical integral transformations, this issue has already been studied, but the formulation for all available gravitational observables has not been studied yet. The assumption of integral transformations is global data coverage. In practice, however, data availability is limited, so we divide the global integration into the effects of the near and far zones. The computation of distant zones is a non-negligible systematic effect requiring an accurate calculation. The theory is implemented in the form of a precise software. In this paper, we present the basic theory for the evaluation of the far zones. We also investigate properties of integral kernels and truncation error coefficients. In the numerical experiments, we compare calculation of the far zones by numerical integration with truncated spherical harmonic series. One of the outputs of this contribution is a software library for computation of the far zones for integral transformations mutually relating all quantities up to the third derivatives of the gravitational potential

Rektifikácia modelu kvázigeoidu pomocou polynomickej funkcie so stacionárnymi a nestacionárnymi koeficientmi =Fitting of quasigeoid model using a polynomical function with stationary and nonstationary coefficients

Systematic errors in the input datasets and approximations used in the theoretical development cause the discrepancies of a quasigeoid model with respect to a vertical datum. For the practical applications, the quasigeoid model connection with the vertical datum applying a proper fitting method has to be performed. Usually a conventional least squares method (CLSM) is used for estimation of constant surface polynomial coefficients. A moving least squares method (MLSM) represents an alternative algorithm when the surface polynomial coefficients change with the position of the computational point. CLSM and MLSM is described for the case of quasigeoid model fitting. Numerical comparison of the CLSM and MLSM has been performed using a new computational program for the GMSQ03B quasigeoid model on the territory of SlovakiaModel kvázigeoidu sa z dôvodu systematických chýb v použitých údajoch a aproximácií v matema- tickej teórii značne odlišuje od realizácie výškového systému. Využitie v geodetickej praxi vyžaduje prepojiť model kvázigeoidu s realizáciou výškového systému vhodnou rektifikáciou. Obvyklú metódu rektifikácie pred- stavuje metóda najmenších štvorcov (MNŠ) pri odhade neznámych koeficientov polynomickej funkcie, ktoré sú rovnaké na celom záujmovom území. Alternatívny algoritmus predstavuje MNŠ s nestacionárnymi koeficient- mi, ktoré sú funkciou polohy výpočtového bodu. Popis MNŠ so stacionárnymi a nestacionárnymi koeficientmi pri rektifikácii modelu kvázigeoidu. V numerickom experimente, na účely ktorého vznikol nový počítačový program, sú uvedené metódy porovnané na príklade rektifikácie modelu kvázigeoidu GMSQ03B na území Slovenskej republiky24625

A New Software for Gravity Field Modelling Using Spherical Harmonics

1

The Assessment of Hydrologic- and Flood-Induced Land Deformation in Data-Sparse Regions Using GRACE/GRACE-FO Data Assimilation

The vertical motion of the Earth’s surface is dominated by the hydrologic cycle on a seasonal scale. Accurate land deformation measurements can provide constructive insight into the regional geophysical process. Although the Global Positioning System (GPS) delivers relatively accurate measurements, GPS networks are not uniformly distributed across the globe, posing a challenge to obtaining accurate deformation information in data-sparse regions, e.g., Central South-East Asia (CSEA). Model simulations and gravity data (from the Gravity Recovery and Climate Experiment (GRACE) and GRACE Follow-On (GRACE-FO)) have been successfully used to improve the spatial coverage. While combining model estimates and GRACE/GRACE-FO data via the GRACE/GRACE-FO data assimilation (DA) framework can potentially improve the accuracy and resolution of deformation estimates, the approach has rarely been considered or investigated thus far. This study assesses the performance of vertical displacement estimates from GRACE/GRACE-FO, the PCRaster Global Water Balance (PCR-GLOBWB) hydrology model, and the GRACE/GRACE-FO DA approach (assimilating GRACE/GRACE-FO into PCR-GLOBWB) in CSEA, where measurements from six GPS sites are available for validation. The results show that GRACE/GRACE-FO, PCRGLOBWB, and GRACE/GRACE-FO DA accurately capture regional-scale hydrologic- and flood induced vertical displacements, with the correlation value and RMS reduction relative to GPS measurements up to 0.89 and 53%, respectively. The analyses also confirm the GRACE/GRACE-FO DA’s effectiveness in providing vertical displacement estimates consistent with GRACE/GRACE-FO data while maintaining high-spatial details of the PCR-GLOBWB model, highlighting the benefits of GRACE/GRACE-FO DA in data-sparse regions

On the use of spherical harmonic series inside the minimum Brillouin sphere: theoretical review and evaluation by GRAIL and LOLA satellite data

Spherical harmonic expansions are the most popular parametrisation of the gravitational potential and its higher-order spatial derivatives in global geodetic, geophysical, and planetary science applications. The convergence domain of external spherical harmonic expansions is the space above the minimum Brillouin sphere, nevertheless, these series are commonly employed inside this bounding surface without correcting. Justification of this procedure has been debated for several decades, but conclusions among scholars are indefinite and even contradictory. In this article, we discuss the use of spherical harmonic expansion for the gravitational field modelling inside the minimum Brillouin sphere. In the theoretical part, we systematically summarise the mathematical apparatus of internal and external spherical harmonic series for the gravitational potential, gravitational gradient components, and second-order gravitational tensor components. We also derive analytical downward continuation errors for these quantities in the spectral form. In the experimental part, we evaluate the internal and external spherical harmonic series inside the minimum Brillouin sphere by employing the most recent LOLA topographic and GRAIL gravitational observations of the Moon. We first analyse line-of-sight gravitational accelerations from GRAIL and their forward-modelled counterparts. We next examine seven GRAIL-derived and four forward-modelled global gravitational field models. We further investigate in detail spectral and spatial (signal/error) characteristics from two forward-modelled global gravitational fields - one using the internal and the other employing the external spherical harmonic parametrisation. Notable findings of this study are: 1) GRAIL measurements taken at low altitudes, below the minimum Brillouin sphere, provide the observational evidence of the divergence in the existing spherical harmonic solutions of the global gravitational field models. 2) Power laws applied at high-frequencies of GRAIL-derived global gravitational field models are too strong. 3) Signal powers of the respective orthogonal components of the gravitational gradient and those of the second-order gravitational tensor are identical above the minimum Brillouin sphere, but may be different inside this bounding surface. 4) Analytical downward continuation of the external spherical harmonic series provides an inhomogeneous gravitational potential spectrum. 5) Vertical-vertical component of the second-order gravitational tensor inside the minimum Brillouin sphere depends on the density and may significantly differ from its equivalent neglecting the density. Most importantly, we unambiguously confirm that all lunar global gravitational field models based on the external spherical harmonic parametrisation do not correspond to the true counterpart inside the minimum Brillouin sphere. Also, analytically downward continued fields tend to diverge at high frequencies. Therefore, the present gravitational field models of the Moon using external spherical harmonic series must be applied only above the minimum Brillouin sphere (10.2 km above the mean lunar sphere). The theoretical part represents a rigorous methodological basis for the gravitational field modelling by the internal and external spherical harmonic series. This theory is complete up to the second-order gravitational tensor and holds for any planetary body. The experimental part reveals intricate aspects for the lunar gravitational field. Except for the Moon, however, these practicalities will have substantial implications on future gravitational field determinations of other planetary bodies

Hustota kůry a odhad globálního gravitačního pole měsíce z družicových dat GRAIL a LOLA

K řešení dvou geodetických / geofyzikálních úkolů pro Měsíc používáme Newtonův integrál ve spektrální oblasti. Nejprve určíme 3D distribuci objemové hustoty v měsíční kůře (inverzní problém). Za tímto účelem vyvineme lineární matematický model, který parametrizuje laterálně proměnnou složku hustoty povrchovými sférickými harmonickými funkcemi. Využíváme model gravitačního pole GL1500E GRAIL a topografický model LOLA ke stanovení objemové hustoty ve třech typech funkcí: 1) konstantní, 2) laterálně proměnná a 3) 3D prostorově proměnná (za předpokladu lineární změny v radiálním směru). Za druhé, vypočítáme modely lunárního gravitačního pole odvozené z těchto tří složení kůry (problém vpřed) až do sférického harmonického stupně 2519, což odpovídá prostorovému rozlišení 2,2 km na rovníku Měsíce. Účinnost těchto modelů je hodnocena s ohledem na modely gravitačního pole GRAIL Level 2. Náš prostorově variabilní model kůry je nejvhodnější globálně i lokálně ve výšinách. Testujeme také výkonnost modelů GRAIL, nejnovějších a nezávislých přímých modelů a našich nových modelů na základě dat mise GRAIL Level 1B se zaměřením na vyhodnocení nad rámec dat úrovně 2 (tj. sférické harmonické stupně větší než 650). Tyto středofrekvenční signály z našich modelů korelují s pozorováním úrovně 1B nejlépe ze všech testovaných globálních modelů gravitačního pole. Náš geopotenciální model s vysokým rozlišením s optimalizovanou variací hustoty 3D kůry by měl být přínosem pro budoucí navigaci přistávacího modulu a geofyzikální průzkum Měsíce.We employ Newton's integral in the spectral domain to solve two geodetic/geophysical tasks for the Moon. Firstly, we determine 3D bulk density distribution within the lunar crust (inverse problem). For this purpose, we develop a linear mathematical model that parameterises the laterally variable density component by surface spherical harmonics. We exploit GL1500E GRAIL gravitational field model and LOLA topography model to determine bulk density in three types of function: 1) constant, 2) laterally variable, and 3) 3D spatially variable (assuming a linear change in the radial direction). Secondly, we calculate lunar gravitational field models inferred by these three crustal compositions (forward problem) up to spherical harmonic degree 2519 corresponding to a spatial resolution of 2.2 km at the lunar equator. Efficacy of these models is assessed with respect to the GRAIL Level 2 gravitational field models. Our spatially variable crustal model represents the best fit globally and also locally in highland areas. We also test the performance of GRAIL models, recent and independent forward models, and our new models against Level 1B GRAIL satellite-to-satellite tracking data focusing on evaluation beyond Level 2 data (i.e., spherical harmonic degrees greater than 650). These medium- and high-frequency signals from our models correlate with the Level 1B observations the best among all global gravitational field models tested. Our high resolution geopotential model with the optimized 3D crustal density variation should be an asset to future lunar lander navigation and geophysical exploration