31 research outputs found
What\u27s So Special About Kruskal\u27s Theorem and the Ordinal \u3cem\u3eT\u3c/em\u3e\u3csub\u3eo\u3c/sub\u3e? A Survey of Some Results in Proof Theory
This paper consists primarily of a survey of results of Harvey Friedman about some proof theoretic aspects of various forms of Krusal\u27s tree theorem, and in particular the connection with the ordinal Ƭo. We also include a fairly extensive treatment of normal functions on the countable ordinals, and we give a glimpse of Veblen Hierarchies, some subsystems of second-order logic, slow-growing and fast-growing hierarchies including Girard\u27s result, and Goodstein sequences. The central theme of this paper is a powerful theorem due to Kruskal, the tree theorem , as well as a finite miniaturization of Kruskal\u27s theorem due to Harvey Friedman. These versions of Kruskal\u27s theorem are remarkable from a proof-theoretic point of view because they are not provable in relatively strong logical systems. They are examples of so-called natural independence phenomena , which are considered by more logicians as more natural than the mathematical incompleteness results first discovered by Gödel. Kruskal\u27s tree theorem also plays a fundamental role in computer science, because it is one of the main tools for showing that certain orderings on trees are well founded. These orderings play a crucial role in proving the termination of systems of rewrite rules and the correctness of Knuth-Bandix completion procedures. There is also a close connection between a certain infinite countable ordinal called Ƭoand Kruskal\u27s theorem. Previous definitions of the function involved in this connection are known to be incorrect, in that, the function is not monotonic. We offer a repaired definition of this function, and explore briefly the consequences of its existence
Termination of term rewriting by semantic labelling
A new kind of transformation of term rewriting systems (TRS) is proposed, depending on a choice for a model for the TRS. The labelled TRS is obtained from the original one by labelling operation symbols, possibly creating extra copies of some rules. This construction has the remarkable property that the labelled TRS is terminating if and only if the original TRS is terminating. Although the labelled version has more operation symbols and may have more rules (sometimes innitely many), termination is often easier to prove for the labelled TRS than for the original one. This provides a new technique for proving termination, making classical techniques like path orders and polynomial interpretations applicable even for non-simplifying TRS's. The requirement of having a model can slightly be weakened, yielding a remarkably simple termination proof of the system SUBST of [11] describing explicit substitution in -calculus
A new ordering constraint solving method and its applications
We show that it is possible to transform any given LPO ordering constraint into a finite equivalent set of constraints for which a special kind of solutions can be obtained. This allows to compute the equalities that follow from ordering constraints, and to decide e.g.\ whether an {\em ordering constrained equation\/} is a tautology. Another application we develop here is a method to check ordered rewrite systems for (ground) confluence
Homeomorphic Embedding for Online Termination of Symbolic Methods
Well-quasi orders in general, and homeomorphic embedding in particular, have gained popularity to ensure the termination of techniques for program analysis, specialisation, transformation, and verification. In this paper we survey and discuss this use of homeomorphic embedding and clarify the advantages of such an approach over one using well-founded orders. We also discuss various extensions of the homeomorphic embedding relation. We conclude with a study of homeomorphic embedding in the context of metaprogramming, presenting some new (positive and negative) results and open problems
Term rewriting systems from Church-Rosser to Knuth-Bendix and beyond
Term rewriting systems are important for computability theory of abstract data types, for automatic theorem proving, and for the foundations of functional programming. In this short survey we present, starting from first principles, several of the basic notions and facts in the area of term rewriting. Our treatment, which often will be informal, covers abstract rewriting, Combinatory Logic, orthogonal systems, strategies, critical pair completion, and some extended rewriting formats
Functional programming and graph algorithms
This thesis is an investigation of graph algorithms in the non-strict purely functional language Haskell. Emphasis is placed on the importance of achieving an asymptotic complexity as good as with conventional languages. This is achieved by using the monadic model for including actions on the state. Work on the monadic model was carried out at Glasgow University by Wadler, Peyton Jones, and Launchbury in the early nineties and has opened up many diverse application areas. One area is the ability to express data structures that require sharing. Although graphs are not presented in this style, data structures that graph algorithms use are expressed in this style. Several examples of stateful algorithms are given including union/find for disjoint sets, and the linear time sort binsort.
The graph algorithms presented are not new, but are traditional algorithms recast in a functional setting. Examples include strongly connected components, biconnected components, Kruskal's minimum cost spanning tree, and Dijkstra's shortest paths. The presentation is lucid giving more insight than usual. The functional setting allows for complete calculational style correctness proofs - which is demonstrated with many examples.
The benefits of using a functional language for expressing graph algorithms are quantified by looking at the issues of execution times, asymptotic complexity, correctness, and clarity, in comparison with traditional approaches. The intention is to be as objective as possible, pointing out both the weaknesses and the strengths of using a functional language
Termination of term rewriting : well-foundedness, totality and transformations
Dit proefschrift gaat over eigenschappen van terminatie van herschrijfsystemen. We zullen eerst
aan de hand van een voorbeeld dat gaat over optellen van de getallen de belangrijkste concepten
proberen uit te leggen. Vervolgens vatten we de inhoud van het proefschrift kort samen.
Een bekende eigenschap van optellen (\add") is dat optellen met het getal nul een neutrale
bewerking is. We kunnen dit in een vergelijking als volgt formuleren:
add(0; x) = x; add(x; 0) = x
waarbij x een variabele is die een willekeurig natuurlijke getal voorstelt.
Een andere optelwet gaat over de volgorde van berekeningen: add(x; add(y; 1)) kan ook
worden verkregen door eerst add(x; y) te berekenen en dan bij dit resultaat 1 op te tellen.
Stellen we de natuurlijke getallen voor door 0, s(0), s(s(0)), etc.(s betekent \successor") dan
luidt deze wet in formulevorm:
add(x; s(y)) = s(add(x; y))
Op analoge wijze vinden we ook de vergelijking:
add(s(x); y) = s(add(x; y))
Nu zijn we in staat om 1 +2op formele wijze te berekenen. Daartoe schrijven we eerst
1 +2als add(s(0); s(s(0))) en proberen we vervolgens de laatste formule te vereenvoudigen
door optelwetten toe te passen. Een mogelijke manier om dit te doen is als volgt:
add(s(0); s(s(0))) = s(add(s(0); s(0)))
= s(s(add(s(0); 0)))
= s(s(s(0)))
In dit voorbeeld zien we duidelijk dat de vergelijkingen voor add in een bepaalde richting
werden gebruikt. Dit \gericht" gebruik van vergelijkingen heet herschrijven.
In het algemeen herschrijven we termen uit een zg. termalgebra. Een termalgebra wordt
verkregen uit een gegeven verzameling van variabelen, zeg X, en een verzameling van func-
tiesymbolen, zeg F. Bij elk functiesymbool hoort een natuurlijke getal, de ariteit, die het aantal
argumenten van het functiesymbool aangeeft. Variabelen hebben ariteit nul.
Termen worden inductief opgebouwd door functiesymbolen toe te passen op andere termen.
Uiteraard dient hierbij de ariteit te worden gerespecteerd. De verzameling van termen wordt
217?218 Samenvatting
genoteerd door T (F; X). In het optelvoorbeeld geldt: \s" heeft ariteit 1, \add" heeft ariteit 2
en \0" heeft ariteit 0, en add(x; s(y)) is een term van de termalgebra T (fadd; s;0; g; fx; yg).
Nu we weten wat de objecten zijn waarmee we herschrijven kunnen we afspreken hoe we
gaan herschrijven. We gaan ervan uit dat we een aantal vergelijkingen hebben waarin we
een linker- en een rechterdeel onderscheiden bestaande uit termen van een termalgebra. Een
vergelijking l = r leidt tot de herschrijfregel l ! r, waarbij de pijl de richting van het gebruik
van de vergelijking aangeeft. Zo'n verzameling regels heet een termherschrijfsysteem (afgekort
tot TRS). Bijvoorbeeld:
add(0; x) ! x (1)
add(x; 0) ! x (2)
add(x; s(y)) ! s(add(x; y)) (3)
add(s(x); y) ! s(add(x; y)) (4)
is een TRS.
Een TRS induceert een herschrijfrelatie !R (of !) in de verzamelingen van termen. Een
term s herschrijft tot een term t (notatie s !R t) indien we in s een deel g herkennen dat
correspondeert met een linkerdeel van een regel in R en t wordt uit s verkregen door g te
vervangen door het overeenkomstige rechterdeel van de gevonden regel.
Veronderstel dat we de term add(s(0); s(0)) willen herschrijven. We kunnen bovenstaande
regels (3) en (4) gebruiken. Natuurlijke leidt dit tot de vraag: \wanneer verschillende regels
toegestaan zijn, is het uiteindelijke resultaat onafhankelijk van de gekozen regel?". Systemen
waarvoor het antwoord \ja" is voldoen aan de Church-Rosser eigenschap; ze worden ook wel
con uent genoemd. Niet elk TRS is echter con uent.
Een andere belangrijk vraag is: \als we een willekeurige term herschrijven, kunnen we dan
garanderen dat we na een eindig aantal herschrijvingen tot een term komen waarop geen regel
toepasbaar is (normaal vorm)?". In het algemeen is hierop geen bevestigend antwoord te
geven. Systemen die gegarandeerd leiden tot een normaalvorm heten terminerend. Terminatie
is onbeslisbaar, d.w.z. er is geen procedure die uitsluitsel geeft over terminatie van een TRS.
Desalniettemin bestaan er vele bruikbare methoden die behulpzaam zijn bij het geven van
een bewijs van terminatie. Ruwweg kunnen we twee soorten methoden onderscheiden (beiden
worden in dit proefschrift behandeld):
syntactische methoden,
semantische methoden.
De syntactische methoden maken alleen gebruik van de syntactische structuur van termen om
tot een terminatie uitspraak te komen. Voorbeeld van deze methoden zijn de zogenaamde pad
ordeningen. In de semantische methoden worden termen compositioneel ge?nterpreteerd in een
algebra om zo terminatie te bewijzen; dit betekent dat we een verzamelingen A, een parti?ele
ordening >, en operaties fA voor elke functiesymbool f in F, moeten deni?eren. Elke term
in A kan worden ge?nterpreteerd door een toekenning van waardes van A aan variabelen, De
ordening > mits welgefundeerd kan worden gebruikt om terminatie van het systeem te bewijzen.?Samenvatting 219
Beiden soorten van methoden gebruiken in essentie het concept \welgefundeerde ordening".
Een ordening is een binaire relatie > (lees groter dan) met de eigenschappen irre exibiliteit
(s 6 > svoor elke s, d.w.z. geen element is groter dan zichzelf) en transitiviteit (als s >ten t >u
dan ook s > u). Een welgefundeerde ordening is een ordening > waarin geen oneindige rijen
van de vorm s0 > s1 > s2 >: : :, bestaan. Als voor een TRS R een welgefundeerde ordening
> bestaat zodanig dat uit s !R t volgt s >t dan termineert R. Dus welgefundeerdheid van
ordeningen is een zeer belangrijk en relevant onderwerp in de studie van terminatie.
Zoals reeds eerder gezegd gaat dit proefschrift over terminatie van herschrijfsystemen.
In hoofdstuk 1 beschrijven we in het kort de concepten TRS en terminatie van TRS.
Hoofdstuk 2 bevat een uitvoerige samenvatting van denities, notaties and resultaten opdat
het proefschrift op zichzelf staande is.
In hoofdstuk 3 bestuderen we welgefundeerdheid van ordeningen gedenieerd op de verza-
meling van termen. Welgefundeerdheid van ordeningen is in het algemeen moeilijk te bewijzen,
het is daarom gewenst om eenvoudige criteria te hebben die de welgefundeerdheidseigenschap
kunnen controleren. Zulke criteria worden in dit hoofdstuk gegeven, waardoor welgefundeerheid
van bekende ordeningen zoals rpo geconcludeerd kan worden. Een belangrijk voordeel van deze
criteria is dat ze gelden voor alle terminerende TRSen in tegenstelling tot bv. de stelling van
Kruskal.
Hoofdstuk 4 is verdeeld in twee delen. In het eerste deel bestuderen we het algemene pro-
bleem van het deni?eren van recursieve pad ordeningen op termen. In het tweede deel kijken we
naar een andere belangrijke eigenschap van ordeningen nl. totaliteit. Totale ordeningen hebben
de eigenschap dat elk tweetal (verschillende) elementen uit de verzameling waarover de ordening
is gedenieerd vergelijkbaar is. We tonen aan dat bekende ordeningen zoals rpo of kbo in
essentie totaal zijn. Dit betekent dat TRSen waarvan we terminatie met deze ordeningen kunnen
bewijzen ook ge?nterpreteerd kunnen worden in totale welgefundeerde monotone algebra's. Dit
type terminatie noemen we totale terminatie.
In hoofdstuk 5 gaan we verder in op totale terminatie. We kijken naar eigenschappen van
algebra's die in bewijzen voor totale terminatie gebruikt kunnen worden. Het blijkt dat de inte-
ressante algebra's precies gekarakteriseerd kunnen worden, nl. ze zijn algebra's die overeenkomen
met multiverzamelingen over een verzameling. We gebruiken in dit hoofdstuk eigenschappen
van de ordinalen en we zijn in staat om enige interessante resultaten over TRSen af te leiden.
In het laatste hoofdstuk introduceren we enige transformaties gedenieerd op termen (en
dus ook op TRSen) die de taak om terminatie te bewijzen vergemakkelijken. Een gegeven
TRS kan worden getransformeerd tot een nieuwe TRS met in het algemeen meer regels maar
met een eenvoudigere syntactische structuur. We bewijzen de opmerkelijke eigenschap dat
terminatie van de oorspronkelijke TRS volgt uit terminatie van de getransformeerde TRS. Dit
geeft een techniek die eenvoudig aan bestaande automatische terminatiebewijssystemen kan
worden toegevoegd die daarmee terminatie van meer TRSen kunnen bewijzen. Deze techniek
blijft van toepassing voor herschrijven modulo vergelijkingen.
In de appendix geven we bewijzen van bekende resultaten. Deze bewijzen zijn of nieuw of
bestaand maar dan moeilijk te vinden in de literatuur. Daardoor is dit proefschrift meer op
zichzelf staand.?220 Samenvattin