Avant propos sur la théorie constructive des types

ForewordAvant propo

Une étude formelle de la théorie des calculs locaux à l'aide de l'assistant de preuve Coq

L'objectif de cette thèse est de produire un environnement permettant de raisonner formellement sur la correction de systèmes de calculs locaux, ainsi que sur l'expressivité de ce modèle de calcul. Pour ce faire, nous utilisons l'assistant de preuve Coq. Notre première contribution est la formalisation en Coq de la sémantique des systèmes de réétiquetage localement engendrés, ou calculs locaux. Un système de calculs locaux est un système de réétiquetage de graphe dont la portée est limitée. Nous proposons donc tout d'abord une implantation succincte de la théorie des graphes en Coq, et utilisons cette dernière pour définir les systèmes de réétiquetage de graphes localement engendrés. Nous avons relevé, dans la définition usuelle des calculs locaux, certaines ambiguïtés. Nous proposons donc une nouvelle définition, et montrons formellement que celle-ci capture toutes les sous-classes d'algorithmes étudiées. Nous esquissons enfin une méthodologie de preuve des systèmes de calculs locaux en Coq.Notre seconde contribution consiste en l'étude formelle de l'expressivité des systèmes de calculs locaux. Nous formalisons un résultat de D. Angluin (repris par la suite par Y. Métivier et J. Chalopin): l'inexistence d'un algorithme d'élection universelle. Nous proposons ensuite deux lemmes originaux concernant les calculs locaux sur les arêtes (ou systèmes LC0), et utilisons ceux-ci pour produire des preuves formelles d'impossibilité pour plusieurs problèmes: calcul du degré de chaque sommet, calcul d'arbre recouvrant, etélection. Nous proposons informellement une nouvelles classes de graphe pour laquelle l'élection est irréalisable par des calculs locaux sur les arêtes.Nous étudions ensuite les transformations de systèmes de calculs locaux et de leur preuves. Nous adaptons le concept de Forward Simulation de N. Lynch aux systèmes de calculs locaux et utilisons ce dernier pour démontrer formellement l'inclusion de deux modes de détection de terminaison dans le cas des systèmes LC0. La preuve de cette inclusion estsimplifiée par l'utilisation de transformations "standards" de systèmes, pour lesquels des résultats génériques ont été démontrés. Finalement, nous réutilisons ces transformations standards pour étudier, en collaboration avec M. Tounsi, deux techniques de composition des systèmes de réétiquetage LC0. Une bibliothèque Coq d'environ 50000 lignes, contenant les preuves formelles des théorèmes présentés dans le mémoire de thèse à été produite en collaboration avec Pierre Castéran (dont environ 40%produit en propre par V. Filou) au cours de cette thèse.The goal of this work is to build a framework allowing the study, in aformal setting, of the correctness of local computations systems aswell as the expressivity of this model. A local computation system isa set of graph relabelling rules with limited scope, corresponding to a class of distributed algorithms.Our first contribution is the formalisation, in the Coq proofassistant, of a relationnal semantic for local computation systems.This work is based on an original formal graph theory for Coq.Ambiguities inherent to a "pen and paper" definition of local computations are corrected, and we prove that our definition captures all sub-classes of relabelling relations studied in the remainder. We propose a draft of a proof methodology for local computation systems in Coq. Our second contribution is the study of the expressivity of classes of local computations inside our framework. We provide,for instance, a formal proof of D. Angluin results on election and graph coverings. We propose original "meta-theorems" concerningthe LC0 class of local computation, and use these theorem to produce formal impossibility proofs.Finally we study possible transformations of local computation systemsand of their proofs. To this end, we adapt the notion of ForwardSimulation, originally formulated by N. Lynch, to localcomputations. We use this notion to define certified transformationsof LC0 systems. We show how those certified transformation can be useto study the expressivity of certain class of algorithm in ourframework. We define, as certified transformation, two notions ofcomposition for LC0 systems.A Coq library of ~ 50000 lines of code, containing the formal proofs of the theorems presented in the thesis has been produced in collaboration with Pierre Castéran.BORDEAUX1-Bib.electronique (335229901) / SudocSudocFranceF

A Quillen's Theorem A for strict ∞\infty-categories I: the simplicial proof

The aim of this paper is to prove a generalization of the famous Theorem A of Quillen for strict $\infty$-categories. This result is central to the homotopy theory of strict $\infty$-categories developed by the authors. The proof presented here is of a simplicial nature and uses Steiner's theory of augmented directed complexes. In a subsequent paper, we will prove the same result by purely $\infty$-categorical methods.Comment: 51 pages, in French, v2: extended introduction, journal versio

L'énigme du "vleu" et l'hyper-nominalisme de Goodman

This paper advocates a new reading of Nelson Goodman’s new riddle of induction. According to Ian Hacking, this famous problem conveys a “pure nominalism”, as it grounds Goodman’s denial regarding the existence of natural kinds. While this interpretation is somewhat convincing, it suffers the major flaw of not corresponding to what Goodman himself understood by “nominalism”. Nominalism, in a goodmanian sense, is indeed primarily a technical demand, which stems from the so-called “calculus of individuals”. I argue that this mereological definition of nominalism allows to understand the new riddle of induction afresh. As a result, Goodman’s riddle is “hyper-nominalist”, i.e., nominalist in a distinct and stronger sense than what Hacking suggested

Mixtes et passages du local au global chez Lautman : préfigurations de la théorie des faisceaux

Nous étudions le Rapport (1935) de Lautman qui ouvre ce volume. Après une description critique des contenus et une discussion des fonds conceptuels du Rapport, nous montrons comment l’émergence postérieure de la théorie des faisceaux répond techniquement aux questionnements et aux préfigurations de Lautman.We study Lautman’s Rapport (1935) which opens this volume. After a critical description and a discussion of the contents of the Rapport, we show how the emergence of sheaf theory answers technically many questions raised by Lautman ten years earlier

La distinction entre falsification et rejet dans le problème de la démarcation de Karl Popper

Malgré les critiques de la théorie de Karl Popper sur la falsifiabilité pour la démarcation entre la science et la non-science, principalement la pseudo-science, ce critère est toujours très utile et parfaitement valide après avoir été perfectionné par Popper et ses disciples. De plus, même dans sa version originale, qualifiée de « dogmatique » par Lakatos, Popper n’a pas affirmé que cette méthode constituait un critère absolu de démarcation : un seul contre-exemple ne suffit pas à falsifier une théorie ; une théorie peut légitimement être sauvée de la falsification en introduisant une hypothèse auxiliaire. Comparé à la théorie des révolutions de Kuhn, de qui lui-même s'est dissocié pour la transformer en une théorie des « micro-révolutions », j'estime que la méthode de démarcation de Popper, ainsi que le développement ultérieur proposé par lui, incluant la corroboration et la vraisemblance, même imparfait, n’est pas seulement valable aujourd’hui, mais c’est la meilleure méthodologie de démarcation. SOMMAIRE: Abstract Introduction 1. Le problème de la démarcation 2. Pseudoscience 3. Falsifiabilité 4 Falsification et réfutation 5 Extension de la falsifiabilité 6. Critiques de la falsifiabilité 7 Support de la falsifiabilité 8 Tendance actuelle Conclusions Bibliographie Notes DOI: 10.13140/RG.2.2.19124.6080

Extraction de code fonctionnel certifié à partir de spécifications inductives.

Les outils d aide à la preuve basés sur la théorie des types permettent à l utilisateur d adopter soit un style fonctionnel, soit un style relationnel (c est-à-dire en utilisant des types inductifs). Chacun des deux styles a des avantages et des inconvénients. Le style relationnel peut être préféré parce qu il permet à l utilisateur de décrire seulement ce qui est vrai, de s abstraire temporairement de la question de la terminaison, et de s en tenir à une description utilisant des règles. Cependant, une spécification relationnelle n est pas exécutable.Nous proposons un cadre général pour transformer une spécification inductive en une spécification fonctionnelle, en extrayant à partir de la première une fonction et en produisant éventuellement la preuve de correction de la fonction extraite par rapport à sa spécification inductive. De plus, à partir de modes définis par l utilisateur, qui permettent de considérer les arguments de la relation comme des entrées ou des sorties (de fonction), nous pouvons extraire plusieurs comportements calculatoires à partir d un seul type inductif.Nous fournissons également deux implantations de notre approche, l une dans l outil d aide à la preuve Coq et l autre dans l environnement Focalize. Les deux sont actuellement distribuées avec leurs outils respectifs.Proof assistants based on type theory allow the user to adopt either a functional style, or a relational style (e.g., by using inductive types). Both styles have advantages and drawbacks. Relational style may be preferred because it allows the user to describe only what is true, discard momentarily the termination question, and stick to a rule-based description. However, a relational specification is usually not executable.We propose a general framework to turn an inductive specification into a functional one, by extracting a function from the former and eventually produce the proof of soundness of the extracted function w.r.t. its inductive specification. In addition, using user-defined modes which label inputs and outputs, we are able to extract several computational contents from a single inductive type.We also provide two implementations of our approach, one in the Coq proof assistant and the other in the Focalize environnement. Both are currently distributed with the respective tools.PARIS-CNAM (751032301) / SudocSudocFranceF

Réalisabilité et paramétricité dans les systèmes de types purs

Cette thèse porte sur l adaptation de la réalisabilité et la paramétricité au cas des types dépendants dans le cadre des Systèmes de Types Purs. Nous décrivons une méthode systématique pour construire une logique à partir d un langage de programmation, tous deux décrits comme des systèmes de types purs. Cette logique fournit des formules pour exprimer des propriétés des programmes et elle offre un cadre formel adéquat pour développer une théorie de la réalisabilité au sein de laquelle les réalisateurs des formules sont exactement les programmes du langage de départ. Notre cadre permet alors de considérer les théorèmes de représentation pour le système T de Gödel et le système F de Girard comme deux instances d'un théorème plus général.Puis, nous expliquons comment les relations logiques de la théorie de la paramétricité peuvent s'exprimer en terme de réalisabilité, ce qui montre que la logique engendrée fournit un cadre adéquat pour développer une théorie de la paramétricité du langage de départ. Pour finir, nous montrons comment cette théorie de la paramétricité peut-être adaptée au système sous-jacent à l'assistant de preuve Coq et nous donnons un exemple d'application original de la paramétricité à la formalisation des mathématiques.This thesis focuses on the adaptation of realizability and parametricity to dependent types in the framework of Pure Type Systems. We describe a systematic method to build a logic from a programming language, both described as pure type systems. This logic provides formulas to express properties of programs and offers a formal framework that allows us to develop a theory of realizability in which realizers of formulas are exactly programs of the starting programming language. In our framework, the standard representation theorems of Gödel's system T and Girard's system F may be seen as two instances of a more general theorem. Then, we explain how the so-called logical relations of parametricity theory may be expressed in terms of realizability, which shows that the generated logic provides an adequate framework for developping a general theory of parametricity. Finally, we show how this parametricity theory can be adapted to the underlying type system of the proof assistant Coq and we give an original example of application of parametricity theory to the formalization of mathematics.LYON-ENS Sciences (693872304) / SudocSudocFranceF

Modèles de la théorie des types donnés par traduction de programme

National audienceDans cet article, nous présentons quelques modèles du calcul des constructions avec univers (CCω) donnés par des traductions de programme. De tels modèles peuvent être vus comme la compilation d'une théorie des types compliquée vers une théorie des types plus simple. Nous les utilisons pour montrer simplement que certains axiomes ne sont pas dérivables dans CCω : l'extensionnalité fonctionnelle, l'extensionnalité propositionnelle et le fait que la bissimilarité implique l'égalité pour les streams. Ces modèles permettent également d'a jouter de nouveaux opérateurs dans la théorie source. Nous prendrons l'exemple du pattern matching sur un univers. Les traductions de programme ont l'avantage sur les autres modèles de pouvoir être instrumentées sous forme de plug-ins d'un assistant de preuve (nous utiliserons Coq), ce qui permet d'ajouter de nouveaux axiomes à la volée, tout en préservant la cohérence de la théorie