Small doubling in groups

Let A be a subset of a group G = (G,.). We will survey the theory of sets A with the property that |A.A| <= K|A|, where A.A = {a_1 a_2 : a_1, a_2 in A}. The case G = (Z,+) is the famous Freiman--Ruzsa theorem.Comment: 23 pages, survey article submitted to Proceedings of the Erdos Centenary conferenc

Topology of Cayley graphs applied to inverse additive problems

We present the basic isopermetric structure theory, obtaining some new simplified proofs. Let 1 ≤ r ≤ k be integers. As an application, we obtain simple descriptions for the subsets S of an abelian group with |kS| ≤ k|S|−k+1 or |kS−rS|−(k+r)|S|, where where S denotes as usual the Minkowski sum of copies of S. These results may be applied to several questions in Combinatorics and Additive Combinatorics including the Frobenius Problem, Waring’s problem in finite fields and the structure of abelian Cayley graphs with a big diameter.Peer Reviewe

Math Anxiety and Mathematical Representations of Grade 7 Students

Naturally, students are afraid to learn Mathematics that progresses as a fear of getting things wrong. This study utilizes the descriptive-correlational research design to test how the math anxiety and mathematics are connected to each other. Forty-two (42) Grade 7 students participated in the study during the school year 2020-2021. It used a researcher-made survey questionnaire on math anxiety and an examination on mathematical representations through modular learning. The math anxiety is indicated by mathematics test anxiety and numerical anxiety both with ten statements. Meanwhile, the examination was focused on the different components of mathematical representation such as pictures, manipulative models, written symbols, real-world situations and oral language. The result showed that students have high level of anxiety towards mathematics. Although students experience high level of test and numerical anxiety, their mathematical representations examination showed ‘developing’ level of performance. These two inverse results were supported by a no significant relationship between the math anxiety and students’ performance in mathematics. Although the inverse relationship proved the effect of the anxiety on the test scores, the null hypothesis on the relationship of the variables was rejected. The study recommends further testing involving different modalities of learning such as online and hybrid

Time-dependent inversion estimates of global biomass-burning CO emissions using Measurement of Pollution in the Troposphere (MOPITT) measurements

We present an inverse-modeling analysis of CO emissions using column CO retrievals from the Measurement of Pollution in the Troposphere (MOPITT) instrument and a global chemical transport model (GEOS-CHEM). We first focus on the information content of MOPITT CO column retrievals in terms of constraining CO emissions associated with biomass burning and fossil fuel/biofuel use. Our analysis shows that seasonal variation of biomass-burning CO emissions in Africa, South America, and Southeast Asia can be characterized using monthly mean MOPITT CO columns. For the fossil fuel/biofuel source category the derived monthly mean emission estimates are noisy even when the error statistics are accurately known, precluding a characterization of seasonal variations of regional CO emissions for this source category. The derived estimate of CO emissions from biomass burning in southern Africa during the June-July 2000 period is significantly higher than the prior estimate (prior, 34 Tg; posterior, 13 Tg). We also estimate that emissions are higher relative to the prior estimate in northern Africa during December 2000 to January 2001 and lower relative to the prior estimate in Central America and Oceania/Indonesia during April-May and September-October 2000, respectively. While these adjustments provide better agreement of the model with MOPITT CO column fields and with independent measurements of surface CO from National Oceanic and Atmospheric Administration Climate Monitoring and Diagnostics Laboratory at background sites in the Northern Hemisphere, some systematic differences between modeled and measured CO fields persist, including model overestimation of background surface CO in the Southern Hemisphere. Characterizing and accounting for underlying biases in the measurement model system are needed to improve the robustness of the top-down estimate. Copyright 2006 by the American Geophysical Union

Probabilistic and extremal studies in additive combinatorics

The results in this thesis concern extremal and probabilistic topics in number theoretic settings. We prove sufficient conditions on when certain types of integer solutions to linear systems of equations in binomial random sets are distributed normally, results on the typical approximate structure of pairs of integer subsets with a given sumset cardinality, as well as upper bounds on how large a family of integer sets defining pairwise distinct sumsets can be. In order to prove the typical structural result on pairs of integer sets, we also establish a new multipartite version of the method of hypergraph containers, generalizing earlier work by Morris, Saxton and Samotij.L'objectiu de la combinatòria additiva “històricament també anomenada teoria combinatòria de nombres” és la d’estudiar l'estructura additiva de conjunts en determinats grups ambient. La combinatòria extremal estudia quant de gran pot ser una col·lecció d'objectes finits abans d'exhibir determinats requisits estructurals. La combinatòria probabilística analitza estructures combinatòries aleatòries, identificant en particular l'estructura dels objectes combinatoris típics. Entre els estudis més celebrats hi ha el treball de grafs aleatoris iniciat per Erdös i Rényi. Un exemple especialment rellevant de com aquestes tres àrees s'entrellacen és el desenvolupament per Erdös del mètode probabilístic en teoria de nombres i en combinatòria, que mostra l'existència de moltes estructures extremes en configuracions additives utilitzant tècniques probabilistes. Tots els temes d'aquesta tesi es troben en la intersecció d'aquestes tres àrees, i apareixen en els problemes següents. Solucions enteres de sistemes d'equacions lineals. Els darrers anys s'han obtingut resultats pel que fa a l’existència de llindars per a determinades solucions enteres a un sistema arbitrari d'equacions lineals donat, responent a la pregunta de quan s'espera que el subconjunt aleatori binomial d'un conjunt inicial de nombres enters contingui solucions gairebé sempre. La següent pregunta lògica és la següent. Suposem que estem en la zona en que hi haurà solucions enteres en el conjunt aleatori binomial, com es distribueixen aleshores aquestes solucions? Al capítol 1, avançarem per respondre aquesta pregunta proporcionant condicions suficients per a quan una gran varietat de solucions segueixen una distribució normal. També parlarem de com, en determinats casos, aquestes condicions suficients també són necessàries. Conjunts amb suma acotada. Què es pot dir de l'estructura de dos conjunts finits en un grup abelià si la seva suma de Minkowski no és molt més gran que la dels conjunts? Un resultat clàssic de Kneser diu que això pot passar si i només si la suma de Minkowski és periòdica respecte a un subgrup propi. En el capítol 3 establirem dos tipus de resultats. En primer lloc, establirem les anomenades versions robustes dels teoremes clàssics de Kneser i Freiman. Robust aquí es refereix al fet que en comptes de demanar informació estructural sobre els conjunts constituents amb el coneixement que la seva suma és petita, només necessitem que això sigui vàlid per a un subconjunt gran passa si només volem donar una informació estructural per a gairebé tots els parells de conjunts amb una suma d'una mida determinada? Donem un teorema d'estructura aproximat que s'aplica a gairebé la majoria dels rangs possibles per la mida dels conjunts suma. Sistemes de conjunts de Sidon. Les preguntes clàssiques sobre els conjunts de Sidon són determinar la seva mida màxima o saber quan un conjunt aleatori és un conjunt de Sidon. Al capítol 4 generalitzem la noció de conjunts de Sidon per establir sistemes i establim els límits corresponents per a aquestes dues preguntes. També demostrem un resultat de densitat relativa, resultat condicionat a una conjectura sobre l'estructura específica dels sistemes màxims de Sidon. Conjunts independents en hipergrafs. El mètode dels contenidors d'hipergrafs és una eina general que es pot utilitzar per obtenir resultats sobre el nombre i l'estructura de conjunts independents en els hipergrafs. La connexió amb la combinatòria additiva apareix perquè molts problemes additius es poden codificar com l'estudi de conjunts independents en hipergrafs.Postprint (published version