A hyperbolic model for the effects of urbanization on air pollution

AbstractA hyperbolic model to study effects of industrialization and urbanization on air pollution propagation is proposed.The existence of smooth and discontinuous traveling wave-like solutions, related to the spread of both the pollution in the atmosphere and the level of urbanization, is discussed. Validation of the model in point is also accomplished by searching for numerical solutions of the system of PDEs

数理生物学に現れる反応拡散移流方程式の進行波解の存在について

　本論文は，1999 年，Perumpanami らによって提唱された癌浸潤に関する数理モデルの進行波 解に関する論文である．このモデルは，癌細胞の密度 u および結合組織の密度 c に関する 2 変数非線形偏微分方程式系であり，癌細胞が結合組織の高密度領域に浸潤する状況を模している．　癌浸潤モデルの進行波解に対する代表的な先行研究として，星野弘喜氏（藤田保健衛生大）の 論文(Analysis(Munich) 31, 237-248 (2011)) が挙げられる．星野氏の論文では，相平面解析によ って，癌細胞の拡散を無視したモデルにおいて，任意の伝播速度の進行波解が存在することを示している．具体的には，任意に指定した伝播速度 sigma に応じて，結合組織の振幅上限 c* が決まり，c が c* より小さければ u 軸上の点 (u; c) = (1; 0)と c 軸上の点 (0; c^) をつなぐ進行波解が存在するという結果である．また，筆者の卒業研究(2016)では，振幅上限 c* を上から評価し，c* が発散しないことを示した． 癌細胞の拡散の効果を無視する場合，癌浸潤モデルの進行波解は，2変数常微分方程式系をみ たすため，相平面上に不変領域を構成することで進行波解の存在を示すことができる．一方，拡散の効果を含める場合は，3変数常微分方程式系を考えなければならず，同様の手法を用いて進 行波解の存在を証明することは一般に難しい．　本論文では，位相幾何学的手法を取り入れることで，sigma が小さければ，拡散を含めたモデルでも(u; c) = (1; 0)と (0; c^)をつなぐ進行波解が存在することを示した．具体的には，S. R. Dunbar (Trans. Amer. Math. Soc., 286 (1984)) が生物モデルの進行波を得た方法を参考に，Wazewski の定理の応用で進行波解の存在を示した．まず，特定の条件を満たす立体 W と初期値集合 Sigma を相空間上に構成し，Sigma から出発した解は時間が経つと必ず W 外に出ると仮定する．続いて， Wazewski の定理と呼ばれる位相幾何学の結果を用いることで矛盾を導き，背理法により W 内に 留まる解（求める進行波解）が存在することを示す． 一方，このようにして進行波解の存在を示す場合，解の形状に関する情報をあまり多く得ることができない．そこで，得られた進行波の定量的な解析を改めて行い，進行波の速度 sigma と癌細胞の波形関数 u の間にある関係式を明らかにした．　また，平衡点(u; c) = (1; 0)まわりの中心多様体の解析や，Maple による数値計算の結果も紹介した．電気通信大学201

Mathematical models of avascular cancer

This review will outline a number of illustrative mathematical models describing the growth of avascular tumours. The aim of the review is to provide a relatively comprehensive list of existing models in this area and discuss several representative models in greater detail. In the latter part of the review, some possible future avenues of mathematical modelling of avascular tumour development are outlined together with a list of key questions

In silico modelling of tumour margin diffusion and infiltration: Review of current status

Extent: 16p.As a result of advanced treatment techniques, requiring precise target definitions, a need for more accurate delineation of the Clinical Target Volume (CTV) has arisen. Mathematical modelling is found to be a powerful tool to provide fairly accurate predictions for the Microscopic Extension (ME) of a tumour to be incorporated in a CTV. In general terms, biomathematical models based on a sequence of observations or development of a hypothesis assume some links between biological mechanisms involved in cancer development and progression to provide quantitative or qualitative measures of tumour behaviour as well as tumour response to treatment. Generally, two approaches are taken: deterministic and stochastic modelling. In this paper, recent mathematical models, including deterministic and stochastic methods, are reviewed and critically compared. It is concluded that stochastic models are more promising to provide a realistic description of cancer tumour behaviour due to being intrinsically probabilistic as well as discrete, which enables incorporation of patient-specific biomedical data such as tumour heterogeneity and anatomical boundaries.Fatemeh Leyla Moghaddasi, Eva Bezak, and Loredana Marc

Multi-scale Models of Tumor Growth and Invasion

Cancer is a complex, multi-scale disease marked by unchecked cellular growth and proliferation. As a tumor grows, it is known to lose its capacity to maintain a compact structure. This stage of development, known as invasion, is marked by the disaggregation and dispersion of peripheral cells, and the formation of finger-like margins. This thesis provides an overview of three multi-scale models of tumor growth and invasion. The hybrid discrete-continuum (HDC) model couples a cellular automaton approach, which is used to direct the behavior and interactions of individual cells, with a system of reaction-diffusion-chemotaxis equations that describe the micro-environment. The evolutionary hybrid cellular automaton (EHCA) model maintains the core of the HDC approach, but employs an artificial response network to describe cellular dynamics. In contrast to these two, the immersed boundary (IBCell) model describes cells as fully deformable, viscoelastic entities that interact with each other using membrane bound receptors. As part of this thesis, the HDC model has been modified to examine the role of the ECM as a barrier to cellular expansion. The results of these simulations will be presented and discussed in the context of tumor progression

Lattice-gas cellular automata for the analysis of cancer invasion

Cancer cells display characteristic traits acquired in a step-wise manner during carcinogenesis. Some of these traits are autonomous growth, induction of angiogenesis, invasion and metastasis. In this thesis, the focus is on one of the latest stages of tumor progression, tumor invasion. Tumor invasion emerges from the combined effect of tumor cell-cell and cell-microenvironment interactions, which can be studied with the help of mathematical analysis. Cellular automata (CA) can be viewed as simple models of self-organizing complex systems in which collective behavior can emerge out of an ensemble of many interacting "simple" components. In particular, we focus on an important class of CA, the so-called lattice-gas cellular automata (LGCA). In contrast to traditional CA, LGCA provide a straightforward and intuitive implementation of particle transport and interactions. Additionally, the structure of LGCA facilitates the mathematical analysis of their behavior. Here, the principal tools of mathematical analysis of LGCA are the mean-field approximation and the corresponding Lattice Boltzmann equation. The main objective of this thesis is to investigate important aspects of tumor invasion, under the microscope of mathematical modeling and analysis: Impact of the tumor environment: We introduce a LGCA as a microscopic model of tumor cell migration together with a mathematical description of different tumor environments. We study the impact of the various tumor environments (such as extracellular matrix) on tumor cell migration by estimating the tumor cell dispersion speed for a given environment. Effect of tumor cell proliferation and migration: We study the effect of tumor cell proliferation and migration on the tumor’s invasive behavior by developing a simplified LGCA model of tumor growth. In particular, we derive the corresponding macroscopic dynamics and we calculate the tumor’s invasion speed in terms of tumor cell proliferation and migration rates. Moreover, we calculate the width of the invasive zone, where the majority of mitotic activity is concentrated, and it is found to be proportional to the invasion speed. Mechanisms of tumor invasion emergence: We investigate the mechanisms for the emergence of tumor invasion in the course of cancer progression. We conclude that the response of a microscopic intracellular mechanism (migration/proliferation dichotomy) to oxygen shortage, i.e. hypoxia, maybe responsible for the transition from a benign (proliferative) to a malignant (invasive) tumor. Computing in vivo tumor invasion: Finally, we propose an evolutionary algorithm that estimates the parameters of a tumor growth LGCA model based on time-series of patient medical data (in particular Magnetic Resonance and Diffusion Tensor Imaging data). These parameters may allow to reproduce clinically relevant tumor growth scenarios for a specific patient, providing a prediction of the tumor growth at a later time stage.Krebszellen zeigen charakteristische Merkmale, die sie in einem schrittweisen Vorgang während der Karzinogenese erworben haben. Einige dieser Merkmale sind autonomes Wachstum, die Induktion von Angiogenese, Invasion und Metastasis. Der Schwerpunkt dieser Arbeit liegt auf der Tumorinvasion, einer der letzten Phasen der Tumorprogression. Die Tumorinvasion ensteht aus der kombinierten Wirkung von den Wechselwirkungen Tumorzelle-Zelle und Zelle-Mikroumgebung, die mit die Hilfe von mathematischer Analyse untersucht werden können. Zelluläre Automaten (CA) können als einfache Modelle von selbst-organisierenden komplexen Systemen betrachtet werden, in denen kollektives Verhalten aus einer Kombination von vielen interagierenden "einfachen" Komponenten entstehen kann. Insbesondere konzentrieren wir uns auf eine wichtige CA-Klasse, die sogenannten Zelluläre Gitter-Gas Automaten (LGCA). Im Gegensatz zu traditionellen CA bieten LGCA eine einfache und intuitive Umsetzung der Teilchen und Wechselwirkungen. Zusätzlich erleichtert die Struktur der LGCA die mathematische Analyse ihres Verhaltens. Die wichtigsten Werkzeuge der mathematischen Analyse der LGCA sind hier die Mean-field Approximation und die entsprechende Lattice - Boltzmann - Gleichung. Das wichtigste Ziel dieser Arbeit ist es, wichtige Aspekte der Tumorinvasion unter dem Mikroskop der mathematischen Modellierung und Analyse zu erforschen: Auswirkungen der Tumorumgebung: Wir stellen einen LGCA als mikroskopisches Modell der Tumorzellen-Migration in Verbindung mit einer mathematischen Beschreibung der verschiedenen Tumorumgebungen vor. Wir untersuchen die Auswirkungen der verschiedenen Tumorumgebungen (z. B. extrazellulären Matrix) auf die Migration von Tumorzellen dürch Schätzung der Tumorzellen-Dispersionsgeschwindigkeit in einem gegebenen Umfeld. Wirkung von Tumor-Zellenproliferation und Migration: Wir untersuchen die Wirkung von Tumorzellenproliferation und Migration auf das invasive Verhalten der Tumorzellen durch die Entwicklung eines vereinfachten LGCA Tumorwachstumsmodells. Wir leiten die entsprechende makroskopische Dynamik und berechnen die Tumorinvasionsgeschwindigkeit im Hinblick auf die Tumorzellenproliferation- und Migrationswerte. Darüber hinaus berechnen wir die Breite der invasiven Zone, wo die Mehrheit der mitotischer Aktivität konzentriert ist, und es wird festgestellt, dass diese proportional zu den Invasionsgeschwindigkeit ist. Mechanismen der Tumorinvasion Entstehung: Wir untersuchen Mechanismen, die für die Entstehung von Tumorinvasion im Verlauf des Krebs zuständig sind. Wir kommen zu dem Schluss, dass die Reaktion eines mikroskopischen intrazellulären Mechanismus (Migration/Proliferation Dichotomie) zu Sauerstoffmangel, d.h. Hypoxie, möglicheweise für den Übergang von einem gutartigen (proliferative) zu einer bösartigen (invasive) Tumor verantwortlich ist. Berechnung der in-vivo Tumorinvasion: Schließlich schlagen wir einen evolutionären Algorithmus vor, der die Parameter eines LGCA Modells von Tumorwachstum auf der Grundlage von medizinischen Daten des Patienten für mehrere Zeitpunkte (insbesondere die Magnet-Resonanz-und Diffusion Tensor Imaging Daten) ermöglicht. Diese Parameter erlauben Szenarien für einen klinisch relevanten Tumorwachstum für einen bestimmten Patienten zu reproduzieren, die eine Vorhersage des Tumorwachstums zu einem späteren Zeitpunkt möglich machen

Computational studies of vascularized tumors

Cancer is a hard problem touching numerous branches of life science. One reason for the complexity of cancer is that tumors act across many different time and length scales ranging from the subcellular to the macroscopic level. Modern sciences still lack an integral understanding of cancer, however in recent years, increasing computational power enabled computational models to accompany and support conventional medical and biological methods bridging the scales from micro to macro. Here I report a multiscale computational model simulating the progression of solid tumors comprising the vasculature mimicked by artificial arterio-venous blood vessel networks. I present a numerical optimization procedure to determine radii of blood vessels in an artificial microcirculation based on physiological stimuli independently of Murray’s law. Comprising the blood vessels, the reported model enables the inspection of blood vessel remodeling dynamics (angiogenesis, vaso-dilation, vessel regression and collapse) during tumor growth. We successfully applied the method to simulated tumor blood vessel networks guided by optical mammography data. In subsequent model development, I included cellular details into the method enabling a computational study of the tumor microenvironment at cellular resolution. I found that small vascularized tumors at the angiogenic switch exhibit a large ecological niche diversity resulting in high evolutionary pressure favoring the colonal selecion hypothesis.Krebs ist ein schwieriges Thema und tritt in zahlreichen Gebieten auf. Ein Grund für die Komplexität des Tumorwachstums sind die unterschiedlichen Zeit- und Längenskalen. In der aktuellen Forschung fehlt immernoch ein ganzheitliches Verständnis von Krebs, obwohl die computergestützten Methoden in den vergangenen Jahren die konventionellen Methoden der Medizin und der Biologie erweitern und unterstützen. Damit wird die Kluft zwischen subzellulären und makroskopischen Prozessen bereits verringert. In der vorliegenden Arbeit dokumentiere ich ein computergestütztes Verfahren, welches das Tumorwachstum auf mehreren Skalen simuliert. Insbesondere wird das Blutgefäßsystem durch künstliche Gefäße nachgeahmt. Es wurde ein numerisches Optimierungsverfahren zur Bestimmung der Gefäßradien eines künstlichen Blutkreislaufes entwickelt, welches auf physiologischen Reizen basiert und unabhängig von Murray‘s Gesetz ist. Da das beschriebene Verfahren zur Simulation von Tumoren Blutgefäße beinhaltet, kann die Umbildung des Gefäßbaumes während des Tumorwachstums untersucht werden. Das Modell wurde erfolgreich mit krankhaften Gefäßsystemen verglichen. In der darauffolgenden Weiterentwicklung des Modells berücksichtigte ich zelluläre Feinheiten, die es mir erlaubten das Mikromilieu in zellulärer Auflösung zu untersuchen. Meine Resultate zeigen, dass bereits kleine Tumore eine hohe ökologische Vielfalt besitzen, was den Selektionsdruck erhöht und damit die Klon-Selektionstheorie begünstigt