Applications de de la programmation en nombres entiers et la décomposition aux problèmes d'ordonnancement : le problème de la planification stratégique des mines et le problème de bin packing avec délais

In scheduling problems, the goal is to assign time slots to a set of activities. In these problems, there are typically precedence constraints between activities that dictate the order in which they can be carried out and resource constraints that limit the number that can simultaneously be executed. In this thesis, we develop mixed integer programming methodologies, based on decomposition methods, for two very different classes of scheduling problems. These are the Strategic Open Pit Mine Planning Problem (SOPMP) and the Bin Packing Problem with Time Lags.Given a discretized representation of an orebody known as a block model, the SOPMP that we consider consists of defining which blocks to extract, when to extract them, and how or whether to process them, in such a way as to comply with operational constraints and maximize net present value. These problems are known to be very difficult due to the large size of real mine planning problems (eg, millions of blocks, dozens of years). They are also very important in the mining industry. Every major mining operation in the world must solve this problem, at the very least, on a yearly basis.In this thesis, we tackle the SOPMP in Chapters 2 and 3.In Chapter 2 we begin by studying a lagrangean algorithm developed by Dan Bienstock and Mark Zuckerberg (henceforth, the BZ algorithm) in 2009 for solving the LP relaxation of large instances of SOPMP. In this study we generalize the classes of problems that can be solved with the BZ algorithm, and show that it can be cast as a special type of column generation algorithm. We prove, for general classes of mixed integer programming problems, that the BZ relaxation provides a bound that lies between the LP relaxation and Dantzig-Wolfe bounds. We further develop computational speed-ups that improve the performance of the BZ algorithm in practice, and test these on a large collection of data-sets. In Chapter 3 we deal with the problem of computing integer-feasible solution to SOPMP. Using the BZ algorithm developed in Chapter 2, we develop heuristics for this. In addition, we develop pre-procesing algorithms that reduce problem size, and embed the BZ algorithm in a branch-and-cut framework that makes use of two new classes of cutting planes. When comparing the value of the heuristics to the LP relaxation bound, the average gap computed is close to 10\%. However, when applying the pre-processing techniques and cutting planes, this is reduced to 1.5\% at the root node. Four hours of branching further reduces this to 0.6\%.In Chapter 4, the BPPTL is presented. This is a generalization of the Bin Packing Problem in which bins must be assigned to time slots, while satisfying precedence constraints with lags. Two integer programming formulations are proposed: a compact formulation that models the problem exactly, and an extended formulation that models a relaxation. For two special cases of the problem, the case with unlimited bins per period and the case with one bin per period and non-negative time lags, we strengthen the extended formulation with a special family of constraints. We propose a branch-cut-and-price (BCP) algorithm to solve this formulation, with separation of integer and fractional solutions, and a strong diving heuristic. Computational experiments confirm that the BCP algorithm outperforms solving the compact formulation with a commercial solver. Using this approach we were able to optimally solve 70\% of a class of previously open instances of this problem.En problemas de agendamiento, el objetivo es asignar tiempos a un conjunto de actividades. En estos problemas, típicamente hay restricciones de precedencias entre actividades que dictan el orden en que deben ser ejecutadas y restricciones de recursos que limitan el número que pueden ser ejecutadas simultáneamente. En esta tesis desarrollamos metodologías de programación entera mixta, basada en métodos de descomposición, para dos clases de problemas de agendamiento. Estos son el problema de planificación minera a rajo abierto (SOPMP) y el problema de bin packing con \emph{lags} de tiempo (BPPTL).Dada una representación discretizada de un yacimiento minero, conocida como modelo de bloques, el SOPMP que consideramos consiste en definir qué bloques extraer, cuándo extraerlos, y el cómo procesarlos, de forma que se satisfagan restricciones operacionales y se maximice el valor presente neto. Es sabido que estos problemas son muy difíciles debido al gran tamaño de problemas de planificación minera reales (millones de bloques, docenas de años), si bien son muy importantes para la industria minera. Cada operación minera de gran tamaño en el mundo debe resolver este problema al menos una vez al año.En el capítulo 2 empezamos estudiando un algoritmo lagrangeano desarrollado por Dan Bienstock y Mark Zuckerberg (el algoritmo de BZ) en 2009 para resolver la relajación LP de instancias grandes de SOPMP. En este estudio generalizamos la clase de problemas que pueden ser resueltos con el algoritmo de BZ, y mostramos que puede ser visto como un tipo especial de algoritmo de generación de columnas. Probamos, para la clase general de problemas de programación entera mixta, que la relajación de BZ provee una cota que está entre la de la relajación LP y la cota de Dantzig-Wolfe. Adicionalmente desarrollamos mejoras computacionales que mejoran el desempeño del algoritmo de BZ en la práctica, y las testeamos en una colección grande de instancias.En el capítulo 3 lidiamos con el problema de computar soluciones enteras factibles de SOPMP. Usando el algoritmo de BZ desarrollado en el capítulo 2, desarrollamos heurísticas. Adicionalmente, desarrollamos algoritmos de pre-proceso que reducen el tamaño del problema, e insertamos el algoritmo de BZ dentro de un procedimiento de \emph{branch-and-cut} que usa dos clases nuevas de planos cortantes. Al comparar el valor de las heurísticas con la cota de la relajación LP, el gap promedio computado es cercano a 10\%. Sin embargo, al aplicar las técnicas de pre-proceso y planos cortantes, este gap se reduce a un 1.5\% en el nodo raíz. Tras cuatro horas de branche este se reduce a un 0.6\%.En el capítulo 4, el problema de bin packing con lags de tiempo es presentado. Este es una generalización del problema de bin packing, en el que los \emph{bins} deben ser asignados a períodos de tiempo, satisfaciendo restricciones de precedencia con lags de tiempo. Proponemos dos formulaciones de programación entera: una formulación compacta que modela el problema de forma exacta, y una formulación extendida que modela una relajación. Para dos casos especiales del problema, el caso con un número ilimitado de bins por período y el caso en que sólo se permite un bin por período y los lags de tiempo son no-negativos, agregamos una familia espacial de restricciones a la formulación extendida para fortalecerla. Proponemos un un algoritmo de \emph{branch-cut-and-price} (BCP) para resolver esta formulación, con separación de soluciones enteras y de soluciones fraccionarias, y una heurística de \emph{strong diving}. Experimentos computacionales confirman que el algoritmo BCP supera el desempeño de resolver la formulación compacta con un software de optimización comercial. Usando este enfoque podemos resolver óptimamente el 70\% de una clase de instancias previamente abiertas de este problema.Dans les problèmes de planification, l'objectif est d'attribuer des plages horaires à un ensemble d'activités. Dans ces problèmes, il existe généralement des contraintes de précédence entre les activités qui dictent l'ordre dans lequel elles peuvent être exécutées et des contraintes de ressources qui limitent le nombre d'activités pouvant être exécutées simultanément. Dans cette thèse, nous développons des méthodologies de programmation en nombres entiers, basées sur des méthodes de décomposition, pour deux classes très différentes de problèmes d'ordonnancement. Il s'agit du problème de planification stratégique des mines à ciel ouvert (SOPMP) et du problème de bin packing avec délais (BPPTL).Etant donné une représentation discrétisée d'un gisement appelé modèle de bloc, le SOPMP que nous considérons consiste à définir les blocs à extraire, quand les extraire, comment ou s'il faut les traiter, de manière à respecter les contraintes opérationnelles et maximiser la valeur actualisée nette. Ces problèmes sont connus pour être difficiles en raison de l'ampleur des problèmes réels de planification minière. Ils sont également importants dans l'industrie minière. Chaque grande opération minière dans le monde doit résoudre ce problème au moins une fois par an.Dans le chapitre 2, nous commençons par étudier un algorithme lagrangien développé par Dan Bienstock et Mark Zuckerberg (qu'on appellera algorithme BZ) en 2009 pour résoudre la relaxation LP de grandes instances de SOPMP. Dans cette étude, nous généralisons les classes de problèmes qui peuvent être résolus avec l'algorithme BZ, et montrons qu'il peut être exprimé comme un algorithme de génération de colonnes. Nous prouvons, pour les classes générales de problèmes de programmation en nombres entiers mixtes, que la relaxation BZ fournit une borne qui se situe entre la relaxation LP et les bornes de Dantzig-Wolfe. Nous développons en outre des accélérations de calcul qui améliorent les performances de l'algorithme BZ dans la pratique.Dans le chapitre 3, nous traitons le problème du calcul d'une solution entière réalisable pour SOPMP. En utilisant l'algorithme BZ développé au chapitre 2, nous développons des heuristiques pour ce problème. En outre, nous développons des algorithmes de prétraitement qui réduisent la taille du problème et intégrons l'algorithme BZ dans un algorithme de branch-and-cut qui utilise deux nouvelles classes de plans sécants. En comparant la valeur de l'heuristique à la borne de relaxation LP, l'écart moyen calculé est proche de 10\%. Cependant, lors de l'application des techniques de prétraitement et des plans sécants, il se réduit à 1,5\% au nœud racine. Quatre heures de branchement réduisent encore ce pourcentage à 0,6\%.Le chapitre 4 présente le BPPTL. Il s'agit d'une généralisation du problème de bin packing, dans lequel les containers doivent être affectés à des créneaux horaires qui respectent des contraintes de délai entre les articles. Deux formulations de programmation en nombres entiers sont proposées : une formulation compacte qui modélise exactement le problème, et une formulation étendue qui modélise une relaxation. Pour deux cas particuliers du problème, le cas avec un nombre illimité de bin par période et le cas avec un bin par période et des délais non négatifs, nous renforçons la formulation étendue avec une famille spéciale de contraintes. Nous proposons un algorithme de \emph{branch-and-cut-and-price} (BCP) pour résoudre cette formulation, avec séparation des solutions entières et fractionnaires, et une heuristique de \emph{strong diving}. Les expérimentations confirment que l'algorithme BCP est plus performant que la résolution de la formulation compacte avec un solveur commercial. En utilisant cette approche, nous avons pu résoudre de manière optimale 70\% d'une classe d'instances précédemment ouvertes de ce problème

Resource constrained shortest paths and extensions

In this thesis, we use integer programming techniques to solve the resource constrained shortest path problem (RCSPP) which seeks a minimum cost path between two nodes in a directed graph subject to a finite set of resource constraints. Although NP-hard, the RCSPP is extremely useful in practice and often appears as a subproblem in many decomposition schemes for difficult optimization problems. We begin with a study of the RCSPP polytope for the single resource case and obtain several new valid inequality classes. Separation routines are provided, along with a polynomial time algorithm for constructing an auxiliary conflict graph which can be used to separate well known valid inequalities for the node packing polytope. We establish some facet defining conditions when the underlying graph is acyclic and develop a polynomial time sequential lifting algorithm which can be used to strengthen one of the inequality classes. Next, we outline a branch-and-cut algorithm for the RCSPP. We present preprocessing techniques and branching schemes which lead to strengthened linear programming relaxations and balanced search trees, and the majority of the new inequality classes are generalized to consider multiple resources. We describe a primal heuristic scheme that uses fractional solutions, along with the current incumbent, to search for new feasible solutions throughout the branch-and-bound tree. A computational study is conducted to evaluate several implementation choices, and the results demonstrate that our algorithm outperforms the default branch-and-cut algorithm of a leading integer programming software package. Finally, we consider the dial-a-flight problem (DAFP), a new vehicle routing problem that arises in the context of on-demand air transportation and is concerned with the scheduling of a set of travel requests for a single day of operations. The DAFP can be formulated as an integer multicommodity network flow model consisting of several RCSPPs linked together by set partitioning constraints which guarantee that all travel requests are satisfied. Therefore, we extend our branch-and-cut algorithm for the RCSPP to solve the DAFP. Computational experiments with practical instances provided by the DayJet Corporation verify that the extended algorithm also outperforms the default branch-and-cut algorithm of a leading integer programming software package.Ph.D.Committee Co-Chair: George L. Nemhauser; Committee Co-Chair: Shabbir Ahmed; Committee Member: Martin W. P. Savelsbergh; Committee Member: R. Gary Parker; Committee Member: Zonghao G

Improvements on Column-Generation-Based Algorithms for Vehicle Routing and Other Combinatorial Problems

RÉSUMÉ : Plusieurs applications dans le contexte de la logistique et de la planification de la production peuvent être modélisées comme des problèmes d’optimisation combinatoire (POC). En particulier,l’un des problèmes les plus étudiés dans ce domaine est le problème de tournées de véhicules (PTV). Le PTV consiste à trouver des tournées de véhicules qui minimisent le coût total de transport pour visiter un ensemble de clients, de telle sorte que leur demande soit complètement satisfaite en une seule visite, et que la capacité des véhicules ne soit jamais dépassée. Présentement, la principale méthode de résolution exacte pour les PTVs est la génération de colonnes. Dans cette thèse, nous nous intéressons à l’étude des algorithmes de génération de colonnes et proposons de nouvelles idées pour améliorer leur efficacité. Dans le Chapitre 4, nous présentons une revue de littérature très exhaustive dans laquelle nous mettons en évidence les principales contributions algorithmiques et de modélisation apportées au cours des dernières années dans la cadre du développent des algorithmes de génération de colonnes et de plans coupants intégrés à des méthodes d’énumération implicite pour le PTV. Notre étude est divisée en deux parties principales. Dans la première partie, nous présentons des aspects qui peuvent s’appliquer à la plupart des variantes de PTV, à savoir : des algorithmes de résolution du sous-problème de la génération de colonnes, la séparation de plans coupants, les stratégies de branchement et la stabilisation des variables duales dans le problème-maître. La deuxième partie est dédiée à la résolution de problèmes spécifiques. Dans cette partie, nous discutons comment les spécificités de chaque problème peuvent êtres traitées lors du développement des algorithmes d’énumération implicite combinant génération de colonnes et plans coupants. On étude les attributs suivants : l’existence d’une flotte hétérogène et des dépôts multiples, la considération de fenêtres de temps souples chez les clients, la possibilité d’effectuer des livraisons fractionnées, les coûts dépendant du temps, la réalisation de cueillettes et livraisons, la présence d’incertitude dans les données et des aspects environnementaux. Dans le Chapitre 5, nous proposons un algorithme sélectif pour résoudre des sous-problèmes de la génération de colonnes afin de générer des routes relaxées de type arc-ng. Notre méthode considère une généralisation de la dominance par ensemble proposée par Bulhões et al. [1]. Les résultats numériques obtenus sur des instances du PTV avec fenêtres de temps montrent que le nouveau mécanisme aide à réduire le nombre d’étiquettes non-dominées dans l’algorithme d’étiquetage utilisé pour résoudre le sous-problème et, par conséquent, le temps de calcul. Enfin, dans le Chapitre 6, nous présentons une nouvelle méthode de stabilisation pour des POCs avec des structures qui favorisent l’parution de dégénérescence. Le nouvel algorithme de stabilisation, appelé dyn-SAR, est basé sur la séparation dynamique de contraintes agrégées, qui sont obtenues en additionnant des contraintes du problème maître de génération de colonnes. L’effet de stabilisation induit par dyn-SAR provient des fortes interactions qui surviennent entre les variables duales, ce qui n’est pas observé lors de la résolution explicite d’une formulation de partition d’ensemble (recouvrement / empaquetage). L’intérêt principal pour l’utilisation du dyn-SAR est dû à sa simplicité et généralité. Ce dernier aspect est confirmé dans nos expériences, où nous considérons des problèmes dont la fonction objectif et le sous-problème de génération de colonnes sont considérablement différents. Les résultats numériques montrent un avantage important du dyn-SAR par rapport à une méthode de génération de colonnes standard en termes de nombre d’itérations et de temps de calcul.----------ABSTRACT : Several applications arising in the context of logistics and production planning can be modeled as combinatorial optimization problems (COPs). In particular, one of the most studied problems in this field is the vehicle routing problem (VRP). The VRP is the problem of finding least-cost routes to visit a set of customers in such a way that their demand is completely satisfied in a single visit, and the capacity of vehicles is not exceeded. Nowadays, the leading exact method to cope with different classes of VRPs is column generation (CG). In this thesis, we are interested in studying CG algorithms and propose new ideas to enhance their efficiency. In Chapter 4, we present a methodological survey in which we highlight and discuss the main algorithmic and modeling contributions made over the years in the context of branch-priceand-cut methods for VRPs. Our study is divided into two main parts. In the first part, we discuss topics that may apply to most VRPs variants, namely: pricing algorithms, cut separation, branching strategies, and dual variable stabilization. The second part is more problem-oriented and describes how aspects such as heterogeneous fleet, multi-depots, soft time windows, split deliveries, time dependency, pickups and deliveries, uncertainty, and environmental aspects can be handled in devising branch-price-and-cut algorithms. In Chapter 5, we propose a selective pricing algorithm to solve pricing subproblems defined in terms of arc-ng-route relaxations. Our method extends the set-based dominance rule proposed by Bulhões et al. [1], making it more general and stronger. Computational experiments performed over instances of the VRP with time windows show that the proposed mechanism helps in reducing the number of non-dominated labels kept by the labeling algorithm and, as a consequence, the CPU time. Finally, in Chapter 6, we develop a new stabilization framework to tackle COPs with degenerate structures. The new stabilization method, called dyn-SAR, relies on the dynamic separation of aggregated constraints, which are obtained by summing up constraints from the CG master problem. The stabilization effect induced by dyn-SAR is due to strong interactions that arise from dual variables, which is not observed when solving explicitly a set-partitioning (covering/packing) formulation. The main interests in using the dyn-SAR method are its simplicity and generality. The latter aspect is confirmed in our experiments, where we solve instances from problems differing considerably in their objective function and pricing subproblem. Numerical results show a clear advantage of dyn-SAR over a standard CG method in terms of both the number of iterations and running time

New Solution Methods for Joint Chance-Constrained Stochastic Programs with Random Left-Hand Sides

We consider joint chance-constrained programs with random lefthand sides. The motivation of this project is that this class of problem has many important applications, but there are few existing solution methods. For the most part, we deal with the subclass of problems for which the underlying parameter distributions are discrete. This assumption allows the original problem to be formulated as a deterministic equivalent mixed-integer program. We rst approach the problem as a mixed-integer program and derive a class of optimality cuts based on irreducibly infeasible subsets of the constraints of the scenarios of the problem. The IIS cuts can be computed effciently by means of a linear program. We give a method for improving the upper bound of the problem when no IIS cut can be identifi ed. We also give an implementation of an algorithm incorporating these ideas and finish with some computational results. We present a tabu search metaheuristic for fi nding good feasible solutions to the mixed-integer formulation of the problem. Our heuristic works by de ning a sufficient set of scenarios with the characteristic that all other scenarios do not have to be considered when generating upper bounds. We then use tabu search on the one-opt neighborhood of the problem. We give computational results that show our metaheuristic outperforming the state-of-the-art industrial solvers. We then show how to reformulate the problem so that the chance-constraints are monotonic functions. We then derive a convergent global branch-and-bound algorithm using the principles of monotonic optimization. We give a finitely convergent modi cation of the algorithm. Finally, we give a discussion on why this algorithm is computationally ine ffective. The last section of this dissertation details an application of joint chance-constrained stochastic programs to a vaccination allocation problem. We show why it is necessary to formulate the problem with random parameters and also why chance-constraints are a good framework for de fining an optimal policy. We give an example of the problem formulated as a chance constraint and a short numerical example to illustrate the concepts

An updated annotated bibliography on arc routing problems

The number of arc routing publications has increased significantly in the last decade. Such an increase justifies a second annotated bibliography, a sequel to Corberán and Prins (Networks 56 (2010), 50–69), discussing arc routing studies from 2010 onwards. These studies are grouped into three main sections: single vehicle problems, multiple vehicle problems and applications. Each main section catalogs problems according to their specifics. Section 2 is therefore composed of four subsections, namely: the Chinese Postman Problem, the Rural Postman Problem, the General Routing Problem (GRP) and Arc Routing Problems (ARPs) with profits. Section 3, devoted to the multiple vehicle case, begins with three subsections on the Capacitated Arc Routing Problem (CARP) and then delves into several variants of multiple ARPs, ending with GRPs and problems with profits. Section 4 is devoted to applications, including distribution and collection routes, outdoor activities, post-disaster operations, road cleaning and marking. As new applications emerge and existing applications continue to be used and adapted, the future of arc routing research looks promising.info:eu-repo/semantics/publishedVersio

Exploiting Local Optimality and Strong Inequalities for Solving Bilevel Combinatorial and Submodular Optimization Problems

Bilevel combinatorial and submodular optimization problems arise in a broad range of real-life applications including price setting, network design, information gathering, viral marketing, and so on. However, the current state-of-the-art solution approaches still have difficulties to solve them exactly for many broad classes of practically relevant problems. In this dissertation, using the concepts of local optimality and strong valid inequalities, we explore the fundamental mathematical structure of these problems and boost the computational performance of exact solution methods for these two important classes of optimization problems. In our initial study, we focus on a class of bilevel spanning tree (BST) problems, motivated by a hierarchical (namely, bilevel) generalization of the classical minimum spanning tree problem. We show that depending on the type of the objective function involved at each level, BST can be solved to optimality either in polynomial time by a specialized algorithm or via a mixed-integer linear programming (MILP) model solvable by an off-the-shelf solver. The latter case corresponds to an NP-hard class of the problem. Our second study proposes a hierarchy of upper and lower bounds for the bilevel problems, where the follower’s variables are all binary. In particular, we develop a generalized bilevel framework that explores the local optimality conditions at the lower level. Submodularity and disjunctive-based approach are then exploited to derive strong MILP formulations for the resulting framework. Computational experiments indicate that the quality of our newly proposed bounds is superior to the current standard approach. Furthermore, we generalize our aforementioned results for BST and show that the proposed bounds are sharp for bilevel matroid problems. Finally, to address the computational challenges in the submodular maximization problem, we present the polyhedral study of its mixed 0–1 set. Specifically, we strengthen some existing results in the literature by finding two families of facet-defining inequalities through the lens of sequence independent lifting. We further extend the scope of this work and describe the multi-dimensional sequence independent lifting for a more complex set. The developed polyhedral results complement the classical results from the literature for the mixed0–1 knapsack and single-node flow sets