Um algoritmo de recolora??o de arestas de grafos

The problem to ?nd the minimum of colors that are necessary to color all edges on a graph G, known as Classi?cation Problem, is an NP-complete problem. As stated by the Vizing?s Theorem, we have only two classes for all graphs, that is, the chromatic index of G (the minimum number of colours needed to colour the edges of G) is either ?, in that case G is Class 1, or ? +1, in that case G is Class 2. For some graph classes some polynomial algorithms had been found to determine its chromatic index. This workshowsastudyonapolynomialtimerecolouringproceduretoconstructa ?-edgecolouring of graphs which belong to the class X , that is, the class of graphs whose majors (vertices of degree ?) have local degree sum (the local degree sum of some vertex u is the sum of the degrees of all neighbors of u) at most ?2 ? ?. We conclude showing some ideas for future works which consist of an extension of the class X .O problema de determinar o m?nimo de cores necess?rias para colorir todas as arestas de um grafo G, chamado de Problema da Classi?ca??o de Grafos, ? um problema NP-completo. Como enunciado pelo Teorema de Vizing, existem apenas duas classes que abrangem todos os grafos, o que implica que todo grafo G tem ?ndice crom?tico (menor quantidade de cores necess?rias pala colorir todas as arestas de G) ?, em que ? denominado Classe 1, ou ?+1, em que ? denominado Classe 2. Para algumas classes de grafos foram encontrados algoritmos polinomiais para determinar o seu ?ndice crom?tico. Este trabalho apresenta um estudo de um procedimento de tempo polinomial para construir uma ?-aresta-colora??o para as arestas dos grafos pertencentes ? classe X , que ? a classe dos grafos cujos ?-v?rtices (v?rtices com grau m?ximo) t?m soma de grau local (a soma de grau local de um v?rtice u ? a soma dos graus de todos os seus vizinhos) no m?ximo ?2 ? ?. Por ?m s?o apresentadas algumas propostas para trabalhos futuros que consistem em ampliar a classe X

Novel procedures for graph edge-colouring

Orientador: Dr. Renato CarmoCoorientador: Dr. André Luiz Pires GuedesTese (doutorado) - Universidade Federal do Paraná, Setor de Ciências Exatas, Programa de Pós-Graduação em Informática. Defesa : Curitiba, 05/12/2018Inclui referências e índiceÁrea de concentração: Ciência da ComputaçãoResumo: O índice cromático de um grafo G é o menor número de cores necessário para colorir as arestas de G de modo que não haja duas arestas adjacentes recebendo a mesma cor. Pelo célebre Teorema de Vizing, o índice cromático de qualquer grafo simples G ou é seu grau máximo , ou é ? + 1, em cujo caso G é dito Classe 1 ou Classe 2, respectivamente. Computar uma coloração de arestas ótima de um grafo ou simplesmente determinar seu índice cromático são problemas NP-difíceis importantes que aparecem em aplicações notáveis, como redes de sensores, redes ópticas, controle de produção, e jogos. Neste trabalho, nós apresentamos novos procedimentos de tempo polinomial para colorir otimamente as arestas de grafos pertences a alguns conjuntos grandes. Por exemplo, seja X a classe dos grafos cujos maiorais (vértices de grau ?) possuem soma local de graus no máximo ?2 ?? (entendemos por 'soma local de graus' de um vértice x a soma dos graus dos vizinhos de x). Nós mostramos que quase todo grafo está em X e, estendendo o procedimento de recoloração que Vizing usou na prova para seu teorema, mostramos que todo grafo em X é Classe 1. Nós também conseguimos resultados em outras classes de grafos, como os grafos-junção, os grafos arco-circulares, e os prismas complementares. Como um exemplo, nós mostramos que um prisma complementar só pode ser Classe 2 se for um grafo regular distinto do K2. No que diz respeito aos grafos-junção, nós mostramos que se G1 e G2 são grafos disjuntos tais que |V(G1)| _ |V(G2)| e ?(G1) _ ?(G2), e se os maiorais de G1 induzem um grafo acíclico, então o grafo-junção G1 ?G2 é Classe 1. Além desses resultados em coloração de arestas, apresentamos resultados parciais em coloração total de grafos-junção, de grafos arco-circulares, e de grafos cobipartidos, bem como discutimos um procedimento de recoloração para coloração total. Palavras-chave: Coloração de grafos e hipergrafos (MSC 05C15). Algoritmos de grafos (MSC 05C85). Teoria dos grafos em relação à Ciência da Computação (MSC 68R10). Graus de vértices (MSC 05C07). Operações de grafos (MSC 05C76).Abstract: The chromatic index of a graph G is the minimum number of colours needed to colour the edges of G in a manner that no two adjacent edges receive the same colour. By the celebrated Vizing's Theorem, the chromatic index of any simple graph G is either its maximum degree ? or it is ? + 1, in which case G is said to be Class 1 or Class 2, respectively. Computing an optimal edge-colouring of a graph or simply determining its chromatic index are important NP-hard problems which appear in noteworthy applications, like sensor networks, optical networks, production control, and games. In this work we present novel polynomial-time procedures for optimally edge-colouring graphs belonging to some large sets of graphs. For example, let X be the class of the graphs whose majors (vertices of degree ?) have local degree sum at most ?2 ? ? (by 'local degree sum' of a vertex x we mean the sum of the degrees of the neighbours of x). We show that almost every graph is in X and, by extending the recolouring procedure used by Vizing's in the proof for his theorem, we show that every graph in X is Class 1. We further achieve results in other graph classes, such as join graphs, circular-arc graphs, and complementary prisms. For instance, we show that a complementary prism can be Class 2 only if it is a regular graph distinct from the K2. Concerning join graphs, we show that if G1 and G2 are disjoint graphs such that |V(G1)| _ |V(G2)| and ?(G1) _ ?(G2), and if the majors of G1 induce an acyclic graph, then the join graph G1 ?G2 is Class 1. Besides these results on edge-colouring, we present partial results on total colouring join graphs, cobipartite graphs, and circular-arc graphs, as well as a discussion on a recolouring procedure for total colouring. Keywords: Colouring of graphs and hypergraphs (MSC 05C15). Graph algorithms (MSC 05C85). Graph theory in relation to Computer Science (MSC 68R10). Vertex degrees (MSC 05C07). Graph operations (MSC 05C76)