The Price of Stability of Weighted Congestion Games.

We give exponential lower bounds on the Price of Stability (PoS) of weighted congestion games with polynomial cost functions. In particular, for any positive integer $d$ we construct rather simple games with cost functions of degree at most $d$ which have a PoS of at least $\varOmega(\Phi_d)^{d+1}$, where $\Phi_d\sim d/\ln d$ is the unique positive root of equation $x^{d+1}=(x+1)^d$. This almost closes the huge gap between $\varTheta(d)$ and $\Phi_d^{d+1}$. Our bound extends also to network congestion games. We further show that the PoS remains exponential even for singleton games. More generally, we provide a lower bound of $\varOmega((1+1/\alpha)^d/d)$ on the PoS of $\alpha$-approximate Nash equilibria for singleton games. All our lower bounds hold for mixed and correlated equilibria as well. On the positive side, we give a general upper bound on the PoS of $\alpha$-approximate Nash equilibria, which is sensitive to the range $W$ of the player weights and the approximation parameter $\alpha$. We do this by explicitly constructing a novel approximate potential function, based on Faulhaber's formula, that generalizes Rosenthal's potential in a continuous, analytic way. From the general theorem, we deduce two interesting corollaries. First, we derive the existence of an approximate pure Nash equilibrium with PoS at most $(d+3)/2$; the equilibrium's approximation parameter ranges from $\varTheta(1)$ to $d+1$ in a smooth way with respect to $W$. Secondly, we show that for unweighted congestion games, the PoS of $\alpha$-approximate Nash equilibria is at most $(d+1)/\alpha$

The Price of Stability of Weighted Congestion Games

We give exponential lower bounds on the Price of Stability (PoS) of weighted congestion games with polynomial cost functions. In particular, for any positive integer $d$ we construct rather simple games with cost functions of degree at most $d$ which have a PoS of at least $\varOmega(\Phi_d)^{d+1}$, where $\Phi_d\sim d/\ln d$ is the unique positive root of the equation $x^{d+1}=(x+1)^d$. This almost closes the huge gap between $\varTheta(d)$ and $\Phi_d^{d+1}$. Our bound extends also to network congestion games. We further show that the PoS remains exponential even for singleton games. More generally, we provide a lower bound of $\varOmega((1+1/\alpha)^d/d)$ on the PoS of $\alpha$-approximate Nash equilibria for singleton games. All our lower bounds hold for mixed and correlated equilibria as well. On the positive side, we give a general upper bound on the PoS of $\alpha$-approximate Nash equilibria, which is sensitive to the range $W$ of the player weights and the approximation parameter $\alpha$. We do this by explicitly constructing a novel approximate potential function, based on Faulhaber's formula, that generalizes Rosenthal's potential in a continuous, analytic way. From the general theorem, we deduce two interesting corollaries. First, we derive the existence of an approximate pure Nash equilibrium with PoS at most $(d+3)/2$; the equilibrium's approximation parameter ranges from $\varTheta(1)$ to $d+1$ in a smooth way with respect to $W$. Second, we show that for unweighted congestion games, the PoS of $\alpha$-approximate Nash equilibria is at most $(d+1)/\alpha$. Read More: https://epubs.siam.org/doi/10.1137/18M120788

The Price of Stability of Weighted Congestion Games

We give exponential lower bounds on the Price of Stability (PoS) of weighted congestion games with polynomial cost functions. In particular, for any positive integer $d$ we construct rather simple games with cost functions of degree at most $d$ which have a PoS of at least $\varOmega(\Phi_d)^{d+1}$, where $\Phi_d\sim d/\ln d$ is the unique positive root of equation $x^{d+1}=(x+1)^d$. This essentially closes the huge gap between $\varTheta(d)$ and $\Phi_d^{d+1}$ and asymptotically matches the Price of Anarchy upper bound. We further show that the PoS remains exponential even for singleton games. More generally, we also provide a lower bound of $\varOmega((1+1/\alpha)^d/d)$ on the PoS of $\alpha$-approximate Nash equilibria, even for singleton games. All our lower bounds extend to network congestion games, and hold for mixed and correlated equilibria as well. On the positive side, we give a general upper bound on the PoS of $\alpha$-approximate Nash equilibria, which is sensitive to the range $W$ of the player weights and the approximation parameter $\alpha$. We do this by explicitly constructing a novel approximate potential function, based on Faulhaber's formula, that generalizes Rosenthal's potential in a continuous, analytic way. From the general theorem, we deduce two interesting corollaries. First, we derive the existence of an approximate pure Nash equilibrium with PoS at most $(d+3)/2$; the equilibrium's approximation parameter ranges from $\varTheta(1)$ to $d+1$ in a smooth way with respect to $W$. Secondly, we show that for unweighted congestion games, the PoS of $\alpha$-approximate Nash equilibria is at most $(d+1)/\alpha$

Computing Approximate Equilibria in Weighted Congestion Games via Best-Responses

We present a deterministic polynomial-time algorithm for computing $d^{d+o(d)}$-approximate (pure) Nash equilibria in weighted congestion games with polynomial cost functions of degree at most $d$. This is an exponential improvement of the approximation factor with respect to the previously best deterministic algorithm. An appealing additional feature of our algorithm is that it uses only best-improvement steps in the actual game, as opposed to earlier approaches that first had to transform the game itself. Our algorithm is an adaptation of the seminal algorithm by Caragiannis et al. [FOCS'11, TEAC 2015], but we utilize an approximate potential function directly on the original game instead of an exact one on a modified game. A critical component of our analysis, which is of independent interest, is the derivation of a novel bound of $[d/\mathcal{W}(d/\rho)]^{d+1}$ for the Price of Anarchy (PoA) of $\rho$-approximate equilibria in weighted congestion games, where $\mathcal{W}$ is the Lambert-W function. More specifically, we show that this PoA is exactly equal to $\Phi_{d,\rho}^{d+1}$, where $\Phi_{d,\rho}$ is the unique positive solution of the equation $\rho (x+1)^d=x^{d+1}$. Our upper bound is derived via a smoothness-like argument, and thus holds even for mixed Nash and correlated equilibria, while our lower bound is simple enough to apply even to singleton congestion games

Оптимізація стратегії діяльності із використанням чисельних методів визначення рівноваги

The paper considers issues on the theoretical substantiation of options for choosing an optimal strategy to integrate an agricultural enterprise into the wholesale market by using methodological tools of the non-cooperative game theory. We have proposed modeling the behavior of an agrarian enterprise in the market by achieving a Nash equilibrium under various scenarios of competitors’ activities and volumes of information on market conditions.The methodology has been substantiated to apply the iterative algorithms to calculate equilibria in a general class of non-quadratic convex polyhedra in order to form the methodologies and construct algorithms for a behavior of agricultural enterprises in market activity. It was determined that decision-making occurs in parallel to the real conditions of activity of an agricultural enterprise in the wholesale market. The comprehensive application of numerical methods based on solving the optimization problems provides a smooth approach to the Nash equilibrium. A game can have multiple isolated Nash equilibria if players have non-quadratic payment functions when solving such problems. Based on the above, the results were determined of local convergence, since global results have strong constraints in non-quadratic problems. However, there is a connection with semi-global practical asymptotic stability if players have quadratic payoff functions. It has been shown that there is a shift in the convergence in proportion to the amplitudes of disturbance signals and the third derivative of payoff functions for non-quadratic payoff functions. This shift in the convergence corresponds to the shift in a numerical example.It has been determined that the learning strategy developed in accordance with the main provisions of the theory of games remains attractive if one has partial information on the state of the market. Application of the indicated action strategy provides a company with a possibility to improve its initial position by measuring its own payoff values only and not using estimates of potentially uncertain parameters. It has been proposed to use applied tools from the game theory to determine an optimal action strategy for an agricultural enterprise for its integration into the wholesale market of vegetable productsРассмотрены вопросы теоретического обоснования вариантов выбора оптимальной стратегии интеграции аграрного предприятия на оптовый рынок с применением методологического инструментария некооперативных теории игр. Предложено моделирование поведения аграрного предприятия на рынке, путём достижения равновесия Нэша при различных сценариях действий конкурентов и объёмах информации о рыночных условиях.Обоснована методика применения итерационных алгоритмов для вычисления равновесий в общем классе неквадратичних выпуклых многогранников для формирования методик и построения алгоритмов поведения аграрных предприятий в рыночной деятельности. Определено, что в реальных условиях деятельности аграрного предприятия на оптовом рынке принятие решений происходит параллельно. Путём комплексного использования численных методов на основе решения задач по оптимизации гарантируется плавное сближение с равновесием Нэша. При решении таких задач, игра может иметь множественные изолированные равновесия Нэша, если у игроков есть неквадратичные функции выплат. Исходя из этого, определены результаты локальной конвергенции, так как в неквадратичных задачах глобальные результаты подвергаются сильным ограничениям. Однако существует связь с полуглобальной практической асимптотической стабильностью, если у игроков существуют квадратичные функции выигрыша. Для неквадратичних функций выигрыша показано, что сходимость смещена пропорционально амплитудам сигналов возмущений и третьим производным функций выигрыша, что соответствует этому смещению в численном примере.Определено, что при наличии частичной информации о состоянии рынка стратегия обучения, разработанная в соответствии с основными положениями теории игр, остаётся привлекательной. Применение обозначенной стратегии действий позволяет предприятию улучшить своё первоначальное положение, измеряя только собственные значения выигрыша и не применяя оценки потенциально неопределённых параметров. Предложено использование прикладного инструментария теории игр для определения оптимальной стратегии действий аграрного предприятия для задач интеграции его на оптовый рынок овощной продукцииРозглянуто питання теоретичного обґрунтування варіантів вибору оптимальної стратегії інтеграції аграрного підприємства до оптового ринку із застосуванням методологічного інструментарію некооперативної теорії ігор. Запропоновано моделювання поведінки аграрного підприємства на ринку, шляхом досягнення рівноваги Неша за різних сценаріїв дій конкурентів і обсягів інформації про ринкові умови.Обґрунтовано методику застосування ітераційних алгоритмів для обчислення рівноваг у загальному класі неквадратичних опуклих багатогранників для формування методик і побудови алгоритмів поведінки аграрних підприємств у ринковій діяльності. Визначено, що в реальних умовах діяльності аграрного підприємства на оптовому ринку прийняття рішень відбувається паралельно. Шляхом комплексного використання чисельних методів на основі розв’язання задач по оптимізації гарантується плавне зближення з рівновагою Неша. При вирішенні таких задач, гра може мати множинні ізольовані рівноваги Неша, якщо у гравців є неквадратичні функції виплат. З цього визначаються результати локальної конвергенції, тому що в неквадратичних завданнях глобальні результати піддаються сильним обмеженням. Однак існує зв’язок з напівглобальною практичною асимптотичною стабільністю, якщо у гравців є квадратичні функції виграшу. Для неквадратичних функцій виграшу показано, що збіжність зміщена пропорційно амплітудам сигналів збурень і третім похідним функцій виграшу і відповідає цьому зміщенню в чисельному прикладі.Визначено, що за умови часткової інформації про стан ринку стратегія навчання, розроблена відповідно до основних положень теорії ігор, залишається привабливою. Застосування визначеної стратегії дій підприємству поліпшити своє початкове становище, вимірюючи тільки власні значення виграшу і не застосовуючи оцінки потенційно невизначених параметрів. Запропоновано використання прикладного інструментарію теорії ігор для визначення оптимальної стратегії дій аграрного підприємства для задач інтеграції його до оптового ринку овочевої продукці