Swyneshed Revisited

I propose an approach to liar and Curry paradoxes inspired by the work of Roger Swyneshed in his treatise on insolubles (1330-1335). The keystone of the account is the idea that liar sentences and their ilk are false (and only false) and that the so-called ''capture'' direction of the T-schema should be restricted. The proposed account retains what I take to be the attractive features of Swyneshed's approach without leading to some worrying consequences Swyneshed accepts. The approach and the resulting logic (called ''Swynish Logic'') are non-classical, but are consistent and compatible with many elements of the classical picture including modus ponens, modus tollens, and double-negation elimination and introduction. It is also compatible with bivalence and contravalence. My approach to these paradoxes is also immune to an important kind of revenge challenge that plagues some of its rivals

Literature, Logic and Mathematics in the Fourteenth Century

This thesis assesses the extent to which fourteenth-century Middle English poets were interested in, and influenced by, traditions of thinking about logic and mathematics. It attempts to demonstrate the imaginative appeal of the logical problems called sophismata, which postulate absurd situations while making use of a stable but evolving, and distinctly recognisable, pool of examples. Logic and mathematics were linked. The ‘puzzle-based’ approach of late-medieval logic stemmed in part from earlier arithmetical puzzle collections. The fourteenth-century application of the ‘sophismatic’ method to problems concerned with what might now be called ‘Physics’ or ‘Mechanics’ sustained the symbiotic relationship of the two disciplines. An awareness of the importance of this tradition is perhaps indicated by the prominence of logical and mathematical tropes and scenarios in the works of three authors in particular: Geoffrey Chaucer, John Gower and the Gawain-poet. It is argued that, in the poetry of all three, what may loosely be called ‘sophismatic tropes’ are used to present concerns that the poets share with the logical and mathematical thought of their time. Certain themes recur, including the following: problematic promises; problematic reference to non-existent things; problems associated with divisibility, limits and the idea of a continuum; and, most importantly, problems focused on the contingency, or otherwise, of the future. The debate over future contingency was one of the fiercest scholastic controversies of the fourteenth century, with profound implications for both logical and theological thought. It is suggested here that the scholastic debate about future contingency has a visible impact on Chauntecleer’s prophetic dream in the Nun’s Priest’s Tale, Troilus’s apparent determinism in Troilus and Criseyde, Gower’s presentation of causation in the Confessio Amantis, and the Gawain-poet’s treatment of covenants. The conclusion reached is that fourteenth-century logical and mathematical texts had a significantly wider cultural effect than is generally recognised

Sovelluskohtaiset tyyppijärjestelmät

Type system tailored for specific domain could radically improve quality of the program. Many domains have natural types, yet they are difficult to encode in mainstream languages’ type systems. If the encoding is possible, it’s luckily to be very troublesome to work with. We investigate a single approach of developing domain specific type systems and type checking and inference algorithms for them, and apply it to MATLAB and JavaScript programs.Tyyppijärjestelmä, joka on suunniteltu tiettyä sovellusaluetta varten, voi mer- kittävästi parantaa sovelluksen laatua. Monilla sovellusalueilla on luonnollisia tyyppejä, joita ei ole helppo ilmaista yleiskäyttöisten ohjelmointikielten tyyp- pijärjestelmissä. Ja vaikka se olisikin mahdollista, koodaus ei ole välttämättä luonteva. Tässä tutkielmassa tarkastellaan erästä tapaa suunnitella ja toteuttaa sovelluskohtaisia tyyppijärjestelmiä ja niiden tyyppitarkistus- ja tyyppipäättely- algoritmeja. Sovellamme menetelmää Matlab- ja JavaScript-kielillä kirjoitettuihin ohjelmiin

La paradoja de Curry: un examen crítico

Se busca relacionar a la paradoja de Curry con la de El Mentiroso y la de Bertrand Russell. Para ello, se presenta cada paradoja acompañada de una de sus múltiples soluciones. Después de esta presentación, se realizan las comparaciones entre las paradojas expuestas para constar que si bien todas estas paradojas hacen uso de la autorreferencia o del predicado de ser miembro de sí mismo (autopertenecencia) se distinguen en que la de Curry no usa negaciones ni deriva en contradicciones. Además, solo la de Curry hace uso del principio de contracción. Finalmente, previa distinción entre solución y disolución (la primera consiste en elaborar una herramienta y explicar las causas de la aparición del problema; mientras que la segunda busca limitar o prohibir que ciertas expresiones puedan ser siquiera elaboradas), en el caso de la paradoja de Curry se expone la disolución (o bloqueo) presentada por Łukowski (2011) que consiste básicamente en conjuntar la expresión de Curry con un enunciado falso. Se sitúa esta propuesta algo artificiosa pero ingeniosa dentro del campo de la lógica clásica pues solo apela a tablas de verdad y ciertas leyes básicas de conectores lógicos. En la segunda parte, se parte tratando la paradoja de Curry desde un enfoque clásico. Se llegan a interesantes resultados en este punto como, por ejemplo que A (A B) puede reducirse a A∧B o que básicamente la paradoja de Curry pide algo en contra de las leyes de la tabla de verdad del condicional pues en ningún caso un condicional se reduce a su antecedente. Asimismo, se encuentra cierta repetición cíclica cuando se opera el condicional de Curry siendo A 0 B equivalente a A y siendo A n+1 B equivalente a la expresión (A n B) B. De tal modo que, cuando n=0, A 1 B sería equivalente a (A 0 B) B, es decir, a A B, y cuando n=1, A 2 B sería equivalente a (A 1 B) B, es decir, a (A B) B. Y así sucesivamente se obtiene: A B, (A B) B, [(A B) B] B, etc. Después, se presentan las soluciones que se han planteado desde la lógica no-clásica, en especial, las lógicas paracompleta y paraconsistente. Para el primer caso se sigue la propuesta de Field (2008), el cual a su vez toma resultados previos de Kripke (1975) y Gupta y Belnap (1993), llegando a constatar la no-verdad y no-falsedad del enunciado de Curry y para el segundo caso en base a Priest (2006a) se modifica la relación condicional haciendo uso del concepto de mundos no normales que son aquellos en los cuales, de acuerdo a Priest (1992) los teoremas lógicos no son verdaderos. Ambos de estos intentos son elaboraciones técnicas y con alto grado de complejidad. Sin embargo, se advierte con Beall y Shapiro (2018) que ambos intentos se han visto frustrados pues no logran eludir del todo a la escurridiza paradoja de Curry. Finalmente, en la parte tercera, se plantea las bases para una comprensión clarificadora sobre la paradoja de Curry. Como se sabe, la paradoja de Curry se plantea al suponer que si un condicional es cierto entonces B. Con esto se consigue probar cualquier proposición. Pues bien, primero, se realizan las observaciones sobre las diversas partes de la paradoja de Curry. De este modo, cuestionamos premisa, desarrollo y conclusión de esta paradoja. En cuanto a la premisa, Curry es acusado de ser un enunciado un tanto ambiguo (o incluso irrelevante); en cuanto al desarrollo, se observa la obsesión por desarrollar a Curry solo usando la prueba condicional y no las otras dos; finalmente, en cuanto a la conclusión, se indica la posibilidad de que tal vez no se llegue a probar cualquier cosa habida cuenta que, después de todo, la conclusión B también está incluida en el enunciado original de Curry. Enseguida, se utiliza el recurso de la lógica relevante que parecía ser un buen aliciente para acabar con esta paradoja. Así, se sostiene que esta lógica relevante buscaba que los razonamientos válidos compartan variables entre premisas y conclusiones y, además, que la premisa sea usada para derivar tal conclusión. Se observa cómo esta lógica le hace frente a las paradojas de la implicación y este tema particularmente nos interesa pues hay cierta semejanza entre el enunciado de Curry y estas paradojas. Sin embargo, después de todo, la esperanza era en vano: la lógica relevante tampoco logra frenar a la paradoja de Curry. Al final, se aborda el tema de la pragmática para tratar de interpretar esta paradoja. Se utiliza el marco teórico de Paul Grice (1975) para intentar plantear un enfoque propio de la paradoja de Curry. Se llega a la conclusión de que se trata de una implicatura conversacional que burla la máxima de cantidad y que, al parecer, solo busca indicar la seguridad que tenemos en un cierto enunciado B. También se señala que este aparente condicional se trataría de una conjunción encubierta.Tesi

Ordered geometry in Hilbert’s Grundlagen der Geometrie

The Grundlagen der Geometrie brought Euclid’s ancient axioms up to the standards of modern logic, anticipating a completely mechanical verification of their theorems. There are five groups of axioms, each focused on a logical feature of Euclidean geometry. The first two groups give us ordered geometry, a highly limited setting where there is no talk of measure or angle. From these, we mechanically verify the Polygonal Jordan Curve Theorem, a result of much generality given the setting, and subtle enough to warrant a full verification. Along the way, we describe and implement a general-purpose algebraic language for proof search, which we use to automate arguments from the first axiom group. We then follow Hilbert through the preliminary definitions and theorems that lead up to his statement of the Polygonal Jordan Curve Theorem. These, once formalised and verified, give us a final piece of automation. Suitably armed, we can then tackle the main theorem