Semi-groupes fortement automatiques

International audienceIn this paper, we introduce the notion of strongly automatic semigroup, which implies the usual notion of automaticity. We focus on semigroups of β-adics developpements, for which we obtain a criterion of strong automaticity.Dans cet article, nous introduisons la notion de semi-groupe fortement automatique, qui entraîne la notion d’automaticité des semi-groupes usuelle. On s’intéresse particulièrement aux semi-groupes de développements en base β, pour lesquels on obtient un critère de forte automaticité

Semi-groupes de matrices et applications

Nous étudions les semi-groupes de matrices avec des points de vue variés qui se re-coupent. Le point de vue de la croissance s avère relié à un point de vue géométrique : nous avons partiellement généralisé aux semi-groupes un théorème de Patterson-Sullivan-Paulin sur les groupes, qui donne l égalité entre exposant critique et dimension de Hausdorff de l ensemble limite. Nous obtenons cela dans le cadre général des semi-groupes d isométries d un espace Gromov-hyperbolique, et notre preuve nous a permis d obtenir également d autres résultats nouveaux. Le point de vue informatique s avère également relié à la croissance, puisque la notion de semi-groupe fortement automatique, que nous avons introduit, permet de calculer les exposants critiques exactes de semi-groupes de développement en base b. Et ce point de vue donne également beaucoup d autres informations sur ces semi-groupes. Cette notion de croissance s avère aussi reliée à des conjectures sur les fractions continues telles que celle de Zaremba. Et c est en étudiant certains semi-groupes de matrices que nous avons pu démontrer des résultats sur les fractions continues périodiques bornées qui permettent de petites avancées dans la résolution d'une conjecture de McMullen.We study matrix semigroups with different point of view that overlaps. The growth point of view seems to be related with the geometric point of view : we partially generalize to the semigroups a theorem on groups of Patterson-Sullivan-Paulin, that give the equality between the critical exponent and the Hausdorff dimension of the limit set. We obtain this in the general framework of isometries of a Gromov-hyperbolic space, and our proof give also others new results. The computer science point of view is also related to the growth, since we obtain a way to calculate exact values of critical exponents of somes b-adic development semigroups, from a notion of automatic semigroups that we introduce. Furthermore this point of view give a lot of information on these semigroups. This notion of growth shows to be also related to conjectures on continued fractions like Zaremba s one. And by studing some matrix semigroups we were able to prove some results on bounded periodic continued fractions, doing a little step in the resolution of a conjecture of McMullen.PARIS11-SCD-Bib. électronique (914719901) / SudocORSAY-PARIS 11-Bib. Maths (914712203) / SudocSudocFranceF

Semi-groupes de matrices et applications

We study matrix semigroups with different point of view that overlaps. The growth point of view seems to be related with the geometric point of view : we partially generalize to the semigroups a theorem on groups of Patterson-Sullivan-Paulin, that give the equality between the critical exponent and the Hausdorff dimension of the limit set. We obtain this in the general framework of isometries of a Gromov-hyperbolic space, and our proof give also others new results. The computer science point of view is also related to the growth, since we obtain a way to calculate exact values of critical exponents of somes β- adic development semigroups, from a notion of automatic semigroups that we introduce. Furthermore this point of view give a lot of information on these semigroups. This notion of growth shows to be also related to conjectures on continued fractions like Zaremba’s one. And by studing some matrix semigroups we were able to prove some results on bounded periodic continued fractions, doing a little step in the resolution of McMullen’s conjectures.Nous étudions les semi-groupes de matrices avec des points de vue variés qui se recoupent. Le point de vue de la croissance s’avère relié à un point de vue géométrique : nous avons partiellement généralisé aux semi-groupes un théorème de Patterson-Sullivan- Paulin sur les groupes, qui donne l’égalité entre exposant critique et dimension de Hausdorff de l’ensemble limite. Nous obtenons cela dans le cadre général des semi-groupes d’isométries d’un espace Gromov-hyperbolique, et notre preuve nous a permis d’obtenir également d’autres résultats nouveaux. Le point de vue informatique s’avère également relié à la croissance, puisque la notion de semi-groupe fortement automatique, que nous avons introduit, permet de calculer les exposants critiques exacts de semi-groupes de développement en base β. Et ce point de vue donne également beaucoup d’autres informations sur ces semi-groupes. Cette notion de croissance s’avère aussi reliée à des conjectures sur les fractions continues telles que celle de Zaremba. Et c’est en étudiant certains semi- groupes de matrices que nous avons pu démontrer des résultats sur les fractions continues périodiques bornées qui permettent de petites avancées dans la résolution de conjectures de McMullen

Calculabilit\'e de la cohomologie \'etale modulo l

Let $X$ be an algebraic scheme over an algebraically closed field and $\ell$ a prime number invertible on $X$. According to classical results (due essentially to A. Grothendieck, M. Artin and P. Deligne), the \'etale cohomology groups $\mathrm{H}^i(X,\mathbb{Z}/\ell\mathbb{Z})$ are finite-dimensional. Using an $\ell$-adic variant of M. Artin's good neighborhoods and elementary results on the cohomology of pro-$\ell$ groups, we express the cohomology of $X$ as a well controlled colimit of that of toposes constructed on $BG$ where the $G$ are computable finite $\ell$-groups. From this, we deduce that the Betti numbers modulo $\ell$ of $X$ are algorithmically computable (in the sense of Church-Turing). The proof of this fact, along with certain related results, occupies the first part of this paper. This relies on the tools collected in the second part, which deals with computational algebraic geometry. Finally, in the third part, we present a "universal" formalism for computation on the elements of a field.Comment: In French. v2 has been considerably reworked and expanded. v3 incorporates slight corrections and simplifications and a few additions (notably: computability of the morphism from hyper\v{c}ech cohomology, graded algebra structure, and a worked out example); submitted for publicatio

Coloriage du plan discret par jeux de tuiles déterministes

In this thesis, we study some properties of the sets of tilings generated by Wang tilesets that exhibit one or more directions of local determinism, focusing in particular on tilesets that are simultaneously deterministic in the four diagonal directions, referred to as 4-way deterministic. After having exposed an alternative construction of a 4-way deterministic aperiodic tileset, we study several decision problems on these objects and complete in particular Lukkarila’s result of undecidability of the Domino Problem in the 4-way deterministic setting proving the undecidability of the 4-way deterministic periodic Domino Problem. We also prove that some complex families of colorings of the plane such that those generated by substitutions remain sofic in the 4-way deterministic setting. We propose a bi-determinization of the constructions by Durand, Romashchenko and Shen of fixed-point tilesets and give some first applications. Finally, we investigate the idea of extending the radius of the local rule of determinism in order to reduce the set of directions of expansiveness and thus allow the local realization of non-trivial particles and collisions systems. We introduce a new and convenient syntactic model to deal with radius two and revisit some of Lukkarila’s problems in this setting.Nous étudions dans ce mémoire les propriétés des ensembles de pavages engendrés par des jeux de tuiles de Wang exhibant une ou plusieurs directions de déterminisme local, en accordant une importance toute particulière aux jeux déterministes dans les quatre directions diagonales simultanément, dits 4-way déterministes. Après avoir proposé une construction alternative d’un jeu de tuiles apériodique 4-way déterministe, nous étudions plusieurs problèmes de décision sur ces objets et complétons en particulier le résultat d’indécidabilité du problème du pavage dans le cadre 4-way déterministe établi par Lukkarila en montrant l’indécidabilité du problème du pavage périodique 4-way déterministe. Nous montrons également que des familles complexes de coloriages du plan telles que celles engendrées par les substitutions restent sofiques dans un cadre 4-way déterministe. Nous proposons une bi-déterminisation des constructions de jeux de tuiles point-fixe de Durand, Romashchenko et Shen et en tirons quelques premières applications. Enfin, nous considérons l’opportunité d’élargir le rayon de la règle locale de déterminisme afin de limiter les directions d’expansivité et ainsi de permettre la construction localement déterministe de systèmes de particules et collisions non triviaux. Nous introduisons un nouveau modèle syntaxique commode afin de travailler à rayon deux et revisitons des problématiques de Lukkarila dans ce cadre

Contribution à la théorie des langages de tuiles

Tiles are finite, linear or tree-like structures, with a notion of overlapping.In computer science, they offer a useful way to represent musical objects,as studied by Janin [2016]. We will study the sets of tiles, especially asrepresentations of algebraic objects, based on the theory of inverse semigroups.Our main focus will be languages of tiles, and the appropriate recognizers,than can be defined by the adaptation to tiles of well-known notions over languagesof words. We will look into the recognition by automata, by presentingautomata over linear and tree-like tiles. We will remark the limits of the powerof such automata.While the notion of recognizability by morphisms is unsuitable to languagesof tiles, we will define recognizability by premorphisms, or quasi-recognizability.We will study the links between quasi-recognizability and recognizability bytile automata.We will finally look into the closure properties of the set of tile languages recognizedby automata, and of the set of quasi-recognizable languages. The lastpart will be dedicated to linear tiles, and will present the monoid of restricteddecompositions, a tool for the product of linear tile languages.Les tuiles sont des structures finies, linéaires ou arborescentes, possédantune notion de chevauchement. Elles sont utiles en informatique pourreprésenter des objets musicaux, comme étudié par Janin [2016]. Nous étudieronsles ensembles de tuiles, en particulier comme représentations d’objetsalgébriques, en se basant sur la théorie des semigroupes inversifs.Nos principaux objets d’étude seront les langages de tuiles, et les reconnaisseursappropriés, que l’on peut définir en adaptant aux tuiles des notionsbien connues sur les langages de mots. Nous nous intéresserons à la reconnaissancepar automate, en présentant des automates sur les tuiles linéaires etarborescentes. Nous remarquerons les limites de la puissance de tels automates.Tandis que la notion de reconnaissance par morphisme de monoïdes estinadaptée aux langages de tuiles, nous définirons celle de reconnaissabilité parprémorphisme, ou quasi-reconnaissabilité. Nous étudierons les liens entre quasireconnaissabilitéet reconnaissabilité par automate de tuile.Nous explorerons enfin les propriétés de clôtures de l’ensemble de langagesde tuiles reconnus par automate, et de ceux reconnus par prémorphisme. Ladernière partie sera essentiellement consacrée aux tuiles linéaires, et présenterale monoïde des décompositions restreintes, un outil pour le produit de langagesde tuiles linéaires

Réalisabilité et paramétricité dans les systèmes de types purs

Cette thèse porte sur l adaptation de la réalisabilité et la paramétricité au cas des types dépendants dans le cadre des Systèmes de Types Purs. Nous décrivons une méthode systématique pour construire une logique à partir d un langage de programmation, tous deux décrits comme des systèmes de types purs. Cette logique fournit des formules pour exprimer des propriétés des programmes et elle offre un cadre formel adéquat pour développer une théorie de la réalisabilité au sein de laquelle les réalisateurs des formules sont exactement les programmes du langage de départ. Notre cadre permet alors de considérer les théorèmes de représentation pour le système T de Gödel et le système F de Girard comme deux instances d'un théorème plus général.Puis, nous expliquons comment les relations logiques de la théorie de la paramétricité peuvent s'exprimer en terme de réalisabilité, ce qui montre que la logique engendrée fournit un cadre adéquat pour développer une théorie de la paramétricité du langage de départ. Pour finir, nous montrons comment cette théorie de la paramétricité peut-être adaptée au système sous-jacent à l'assistant de preuve Coq et nous donnons un exemple d'application original de la paramétricité à la formalisation des mathématiques.This thesis focuses on the adaptation of realizability and parametricity to dependent types in the framework of Pure Type Systems. We describe a systematic method to build a logic from a programming language, both described as pure type systems. This logic provides formulas to express properties of programs and offers a formal framework that allows us to develop a theory of realizability in which realizers of formulas are exactly programs of the starting programming language. In our framework, the standard representation theorems of Gödel's system T and Girard's system F may be seen as two instances of a more general theorem. Then, we explain how the so-called logical relations of parametricity theory may be expressed in terms of realizability, which shows that the generated logic provides an adequate framework for developping a general theory of parametricity. Finally, we show how this parametricity theory can be adapted to the underlying type system of the proof assistant Coq and we give an original example of application of parametricity theory to the formalization of mathematics.LYON-ENS Sciences (693872304) / SudocSudocFranceF

Constructions par greffe, combinatoire analytique et génération analytique

Analytic combinatorics is a field which consist in applying methods from complex ana- lysis to combinatorial classes in order to obtain results on their asymptotic properties. We use for that specifications, which are a way to formalise the (often recursive) structure of the objects. In this thesis, we mainly devote ourselves to find new specifications for some combinatorial classes, in order to then apply more effective enumerative or random sampling methods. Indeed, for one combinatorial class several different specifications, based on different decompositions, may exist, making the classical methods - of asymptotic enu- meration or random sampling - more or less adapted. The first set of presented results focuses on Rémy’s algorithm and its underlying holonomic specification, based on a grafting operator. We develop a new and more efficient random sampler of binary trees and a random sampler of Motzkin trees based on the same principle. We then address some question relative to the study of subclasses of λ-terms. Finally, we present two other sets of results, on automatic specification of trees where occurrences of a given pattern are marked and on the asymptotic behaviour and the random sampling of digitally convex polyominoes. In every case, the new specifications give access to methods which could not be applied previously and lead to numerous new results.La combinatoire analytique est un domaine qui consiste à appliquer des méthodes issues de l’analyse complexe à des classes combinatoires afin d’obtenir des résultats sur leurs propriétés asymptotiques. On utilise pour cela des spécifications, qui sont une manière de formaliser la structure (souvent récursive) des objets. Dans cette thèse, nous nous attachons principalement à trouver des nouvelles spécifications pour certaines classes combinatoires, afin de pouvoir ensuite y appliquer des méthodes efficaces d’énumération ou de génération aléatoire. En effet, pour une même classe combinatoire il peut exister différentes spécifications, basées sur des décompositions différentes, rendant les méthodes classiques d’énumération asymptotique et de génération aléatoire plus ou moins adaptées. Le premier volet de résultats présentés concerne l’algorithme de Rémy et la spécification holonome qui y est sous-jacente, basée sur un opérateur de greffe. On y développe un nouvel algorithme, plus efficace, de génération aléatoire d’arbres binaires et un générateur aléatoire d’arbres de Motzkin basé sur le même principe. Nous abordons ensuite des questions relatives à l’étude de sous-classes de λ-termes. Enfin, nous présentons deux autres ensembles de résultats, sur la spécification automatique d’arbres où les occurrences d’un motif donné sont marquées et sur le comportement asymptotique et la génération aléatoire de polyominos digitalement convexes. Dans tous les cas, les nouvelles spécifications obtenues donnent accès à des méthodes qui ne pouvaient pas être utilisées jusque là et nous permettent d’obtenir de nombreux nouveaux résultats