Propriétés combinatoires des f-palindromes

Ce mémoire fait partie du domaine de la combinatoire des mots et plus particulièrement\ud de l'étude de la complexité palindromique (le nombre de facteurs palindromes) des mots infinis. La conjecture de Hof, Knill et Simon, énoncée pour la première fois en 1995, donne une caractérisation des points fixes dont la complexité palindromique est infinie. Récemment, elle a été résolue pour les points fixes sur un alphabet binaire (Tan, 2007). Dans ce mémoire, nous la démontrons pour les points fixes de morphismes uniformes\ud sur un alphabet binaire (ce n'est pas plus général que le résultat de Tan). De plus, notre approche permet d'obtenir une démonstration d'un résultat similaire pour les points fixes contenant une infinité d'antipalindromes. Afin d'atteindre notre objectif, nous établissons un ensemble de résultats combinatoires sur les mots. En effet, nous faisons une étude des ƒ-palindromes et de certaines équations qui en contiennent. Ensuite, nous introduisons les morphismes de classe P, P¹ et ƒ-P et nous démontrons notamment que l'ensemble des morphismes de classe P¹ est un monoïde. Nous rassemblons également les résultats d'un travail précédent sur les morphismes conjugués. Finalement, nous étudions les chevauchements de mots et nous construisons un graphe de chevauchements, assise de notre démonstration de la conjecture. Toutes ces recherches ont contribué au développement d'un outil informatique voué à l'étude de questions soulevées en combinatoire des mots. Ce dernier est constitué\ud d'un ensemble de classes et de fonctions écrites en langage Python annexées à ce mémoire. Elles seront bientôt incluses dans un paquetage sur la combinatoire des mots associé au logiciel libre Sage. ______________________________________________________________________________ MOTS-CLÉS DE L’AUTEUR : Combinatoire des mots, ƒ-palindrome, Complexité palindromique, Conjecture de Hof, Knill et Simon, Point fixe de morphisme, Chevauchement, Automates

Sur le défaut palindromique des mots infinis

Lorsqu'on s'intéresse à l'étude de la structure combinatoire d'un mot infini w, une stratégie classique consiste à calculer sa fonction de complexité, c'est-à-dire à décrire le nombre de mots de longueur n qui apparaissent dans w, pour chaque entier n ≥ 0. Récemment, des chercheurs se sont intéressés à un raffinement de cette notion en introduisant la fonction de complexité palindromique: pour chaque entier n ≥ 0, nous calculons le nombre de palindromes de longueur n apparaissant dans w. Rappelons qu'un palindrome est un mot qui se lit de la même façon de gauche à droite que de droite à gauche (par exemple, "radar" et "ressasser" sont des palindromes de la langue française). La connaissance des palindromes apparaissant dans un mot permet de déduire de nombreuses informations précieuses sur sa structure. Par exemple, un mot admettant une infinité de palindromes préfixes est nécessairement récurrent (tout facteur apparaît une infinité de fois) et son langage est fermé sous l'opération miroir. D'autre part, nous étudions également les occurrences de facteurs antipalindromiques (une généralisation de la notion de palindrome), qui semblent naturellement en interaction avec les palindromes usuels. En particulier, nous décrivons les complexités palindromique et antipalindromique de quelques familles importantes de mots: les mots périodiques, les mots sturmiens, le mot de Thue-Morse et les suites de Rote. Dans un deuxième temps, nous étudions le défaut palindromique des mots finis et infinis. Il s'agit d'une mesure de "richesse" ou de "pauvreté" en palindromes des mots. Nous montrons en particulier que certains mots associés aux suites de Rote, à l'instar des mots sturmiens (Droubay, Justin et Pirillo, 2001), sont aussi pleins, c'est-à-dire qu'ils réalisent la complexité palindromique maximale, et nous établissons aussi des conditions sous lesquelles les mots périodiques sont pleins. Une section supplémentaire est consacrée à l'étude des lacunes du mot de Thue-Morse, qui admet une infinité de palindromes, mais dont le défaut est infini (c'est-à-dire qu'il possède une infinité de lacunes palindromiques). En dernier lieu, nous mentionnons quelques problèmes ouverts dans ce passionnant champ de recherche. ______________________________________________________________________________ MOTS-CLÉS DE L’AUTEUR : Combinatoire, Mots, Palindromes, Antipalindromes, Complexité, Défaut

Mots équilibrés et mots lisses

Dans ce travail, nous nous intéressons à divers problèmes de la combinatoire des mots, portant principalement sur deux familles: les mots équilibrés et les mots lisses infinis. Il est facile de vérifier que l'intersection entre ces deux familles de mots est vide; c'est pourquoi nous les traiterons de façon indépendante. Dans la première partie, nous étudions les mots équilibrés et des familles de mots dérivées de ces derniers. Les mots infinis sturmiens, aussi appelés des suites sturmiennes, sont étudiés depuis plus de cent ans et sont caractérisés de plusieurs façons : pour un alphabet à deux lettres, ce sont exactement les suites équilibrées non ultimement périodiques et les suites de complexité minimale, c'est-à-dire les suites ayant seulement (n + 1) facteurs de longueur\ud n. Une autre propriété caractéristique des suites sturmiennes est qu'elles décrivent une droite discrète. Les suites épisturmiennes ont récemment été introduites comme étant l'une des généralisations sur plus de 2 lettres des suites sturmiennes : un mot de Christoffel est la version finie d'une suite sturmienne. Dans un premier temps, nous introduisons donc une généralisation des mots de Christoffel sur un alphabet à plus de 2 lettres. Pour ce faire, nous utilisons la propriété qu'un mot de Christoffel est l'image d'une lettre par morphisme sturmien. Nous appelons les mots ainsi obtenus des mols épichristoffels. Il est intéressant de remarquer que ces mots ne sont généralement pas équilibrés, tout comme les suites épisturmiennes. Nous montrons comment\ud obtenir des mots épichristoffels, comment les reconnaître et nous montrons que certaines propriétés des mots de Christoffel se généralisent bien aux mots épichristoffels. Dans un deuxième temps, nous nous intéressons aux mots équilibrés, en lien avec la conjecture de Fraenkel. Cette conjecture énonce que pour un alphabet à k lettres, avec k ≥ 3, il n'existe qu'un unique mot infini équilibré, à permutation des lettres et à décalage près, ayant des fréquences de lettres toutes différentes. Par exemple, pour l'alphabet \ud {1, 2, 3}, ce mot est (1213121)w. Nous montrons que la conjecture est vraie si elle est restreinte à la famille des suites épisturmiennes et du coup, nous caractérisons les suites épisturmiennes équilibrées.\ud Nous approchons ensuite la conjecture de Fraenkel en travaillant sur la superposition de mots de Christoffel. Nous traduisons les travaux de R. Simpson et de R. Morikawa sur les suites de Beatty en terme de mots de Christoffel et nous fournissons les détails passés sous silence dans leurs preuves. Nous obtenons ainsi une condition nécessaire et suffisante pour que deux mots de Christoffel se superposent. Comme un mot équilibré à k lettres peut être vu comme la superposition de k mots équilibrés sur 2 lettres, cette condition nous permet de nous approcher de la conjecture de Fraenkel, sans toutefois la prouver. Nous prouvons toutefois une formule donnant le nombre de superpositions pour deux mots de Christoffel superposables et nous montrons de nouvelles propriétés concernant les mots de Christoffel. La deuxième partie de ce travail porte sur l'étude des mots lisses infinis, principalement les mots lisses extrémaux, c'est-à-dire le plus petit et le plus grand selon l'ordre lexicographique. Nous caractérisons ces mots sur des alphabets à deux lettres de même parité. Pour ce faire, nous décrivons d'abord des algorithmes qui permettent de les construire en temps linéaire selon le nombre d'opérations. Nous montrons ensuite des propriétés de fermeture et dee récurrence pour les mots lisses en général sur un alphabet de même parité, nous fournissons une formule explicite pour la fréquence des lettres dans les mots extrémaux et nous décrivons la factorisation de Lyndon pour une sous-classe des mots extrémaux. Ces résultats sont forts intéressants puisque les propriétés démontrées ne sont pour la plupart que des conjectures pour les mots lisses sur l'alphabet {1, 2}. Par ailleurs, nous montrons que les mots lisses maximaux sur des alphabets contenant deux lettres paires et certains mots de Kolakoski généralisés coïncident. Du coup, nous prouvons plusieurs propriétés concernant la factorisation de Lyndon, les fréquences, la fermeture de l'ensemble des facteurs sous l'image miroir et la récurrence pour les mots de Kolakoski généralisés. Finalement, nous étudions les mots lisses infinis en lien avec les surfaces discrètes. Nous montrons que les seuls pavages lisses du quart de plan décrivant un morceau de surface discrète sont engendrés par des mots de Kolakoski généralisés. ______________________________________________________________________________ MOTS-CLÉS DE L’AUTEUR : Combinatoire des mots, Mot de Christoffel, Suite sturmienne, Mot épichristoffel, Suite épisturmienne, Conjecture de Fraenkel, Suite équilibrée, Mot lisse, Mot de Kolakoski, Mot de Lyndon, Mot extrémal, Surface discrète