Polinomis i coeficients de reflexió

Els polinomis es solen representar o bé pels seus coeficients o bé pels seus zeros. Les dues representacions estan lligades per les fórmules de Cardano-Viète que expressen els coeficients com a funcions simètriques elementals dels zeros. La recursió descendent de Levinson defineix els coeficients de reflexió d'un polinomi. En aquest article es veu com es poden caracteritzar els polinomis en termes dels seus coeficients de reflexió, es donen resultats sobre polinomis autoreversos, que juguen un paper singular en aquesta representació, i es donen fórmules homòlogues a les de Cardano-Viète que relacionen zeros amb coeficients de reflexió. També es caracteritzen els polinomis de tipus Kakeya en termes de coeficients de reflexió, cosa que permet donar una demostració alternativa del teorema d'Eneström-Kakeya sobre la localització de zeros d'un polinomi. Molts d'aquests desenvolupaments estan relacionats amb teoria de control i anàlisi de senyals. En aquest context, els texts clàssics de localització de zeros són recursius. Hi ha casos singulars en els quals el procés recursiu queda aturat i s'ha de recórrer a tècniques de pertorbació per continuar-los. Aquestes tècniques sempre funcionen però no estan en general ben fonamentades. Aquí es prova que els polinomis no singulars són densos, amb la norma L2, al disc unitat, cosa que dóna base matemàtica a les tècniques de pertorbació.Polynomials can be represented by their coefficients or by their zeros. The link between these two representations is the Cardan–Vi`ete’s formulas that allow expressing coefficients as elementary symmetric functions in the zeros. Backward Levinson’s recursion defines reflection coefficients of a polynomial. These coefficients can be used to characterize polynomials. A complete classification of the set of all polynomials is obtained and two theorems on self-inversive polynomials are given. As a consequence of Levinson recursion, a counterpart of Cardan-Vi`ete’s formulas is presented. They express polynomial coefficients in terms of its reflection coefficients. Backward Levinson’s recursion for polynomials is used again to obtain the characterization of polynomials of Kakeya type by their reflection coefficients. This result leads to an alternative proof of Enestr¨om and Kakeya theorems on the location of zeros of polynomials. Most of these developments are related to control and signal analysis. In this framework, classical tests for locating zeroes of polynomials are recursive. There are singular cases in which such recursive tests are stopped and perturbation techniques should be applied to proceed. Perturbation techniques, although always successful, are not proven to be well-founded. The non-singular polynomials are proven to be dense in the set of all polynomials with respect to the L2-norm in the unit circle thus giving a mathematical foundation to perturbation techniques

Stabilité structurelle de méthodes de prédiction linéaire

Cette communication concerne la recherche d'une condition systématique de stabilité pour les méthodes de prédiction linéaire de type moindres carrés, dans le cas d'un extrait de signal observé. Sauf le cas d'une matrice normale de Toeplitz, il existe très peu de résultats liés à la structure de la matrice normale, et non pas au prédicteur lui-même. Nous obtenons une condition suffisante générale puis des conséquences originales, qui concernent en particulier la méthode régularisée de Kitagawa et Gersch

Some polynomial representations and the associated applications

Three representations associated with a polynomial are presented, giving algorithms that allow us to determine them as well a s the main associated applications. The first ones have a direct link with the study of the stability of linear filters and the third on e with the time-frequency analysis of polynomial phase signals .Nous exposons dans cet article trois représentations associées à un polynôme en donnant des algorithmes qui permettent de les déterminer ainsi que les principales applications associées. Les deux premières, sont en rapport direct avec l'étude de la stabilité des filtres dynamiques et la troisième avec l'analyse temps-fréquence des signaux à phase polynômiale

Some Properties of Lattice Autoregressive Filters

International audienceAn autoregressive filter is defined either by the components of the regression vector or by the reflection coefficients appearing in its lattice representation. The mathematical expression of the regression vector in terms of the reflection coefficients is very complex but many structural properties can be obtained without this exact expression. In this paper, we present some examples of such structural properties, and we apply these results to prove some extrema1 properties of stable filters such as the maximum value of the components of the regression vector or the maximum value of its norm. Moreover, some properties of the boundary of the stability domain are discussed