Characterizing algebraic curves with infinitely many integral points

A classical theorem of Siegel asserts that the set of S-integral points of an algebraic curve C over a number field is finite unless C has genus 0 and at most two points at infinity. In this paper we give necessary and sufficient conditions for C to have infinitely many S-integral points.Comment: Int. J. Number Th. 5 (2009), 585-59

Upper Bounds for the Number of Integral Points on Quadratic Curves and Surfaces

We are interested in investigating the number of integral points on quadrics. First, we consider non-degenerate plane conic curves defined over Z. In particular we look at two types of conic sections: hyperbolas with two rational points at infinity, and ellipses. We give upper bounds for the number of integral points on such curves which depends on the number of divisors of the determinant of a given conic. Next we consider quadratic surfaces of the form q(x, y, z) = k, where k is an integer and q is a non-degenerate homogeneous quadratic form defined over Z. We give an upper bound for the number of integral points (x, y, z) with bounded height

Some New Symbolic Algorithms for the Computation of Generalized Asymptotes

We present symbolic algorithms for computing the g-asymptotes, or generalized asymptotes, of a plane algebraic curve, C, implicitly or parametrically defined. The g-asymptotes generalize the classical concept of asymptotes of a plane algebraic curve. Both notions have been previously studied for analyzing the geometry and topology of a curve at infinity points, as well as to detect the symmetries that can occur in coordinates far from the origin. Thus, based on this research, and in order to solve practical problems in the fields of science and engineering, we present the pseudocodes and implementations of algorithms based on the Puiseux series expansion to construct the g-asymptotes of a plane algebraic curve, implicitly or parametrically defined. Additionally, we propose some new symbolic methods and their corresponding implementations which improve the efficiency of the preceding. These new methods are based on the computation of limits and derivatives; they show higher computational performance, demanding fewer hardware resources and system requirements, as well as reducing computer overload. Finally, as a novelty in this research area, a comparative analysis for all the algorithms is carried out, considering the properties of the input curves and their outcomes, to analyze their efficiency and to establish comparative criteria between them.Agencia Estatal de Investigació

Estudio asintótico de curvas y superficies

Esta memoria se encuadra en el área de la geometría algebraica, el cálculo simbólico y sus aplicaciones en el diseño geométrico asistido por ordenador (Computer Aided Geometric Design, CAGD). Su objetivo es avanzar, desde los estudios preliminares relacionados con la caracterización de curvas algebraicas planas, hacia el análisis de las propiedades de las ramas de una curva en puntos con coordenadas "suficientemente grandes" y hacia la construcción de las "asíntotas generalizadas" de una curva, extendiendo la investigación al caso de superficies algebraicas. Se crean nuevos métodos de computación simbólica, que caracterizan a las curvas algebraicas planas y analizan el comportamiento de sus ramas infinitas, pudiendo extraer una gran parte de la información sobre el comportamiento de una curva, estudiar la topología de ciertas variedades algebraicas, curvas planas y superficies en tres dimensiones, y representarlas gráficamente en el infinito. Además, se presentan algoritmos e implementaciones que construyen de manera efectiva las asíntotas generalizadas de una curva dada, junto con un análisis de su rendimiento. Se trata, por tanto, de una investigación que involucra a dos disciplinas científicas: la matemática y la computación, haciendo que las expresiones matemáticas y los objetos matemáticos puedan manejarse, utilizando el cálculo simbólico, para resolver problemas del mundo real. Así, las principales aportaciones e innovaciones de esta tesis doctoral son: (1) el desarrollo de métodos efectivos y exactos para la construcción de las ramas infinitas y de las asíntotas de una curva algebraica plana, mediante el cálculo de límites y derivadas, (2) el diseño e implementación de algoritmos eficientes para el cálculo de las asíntotas de curvas algebraicas planas (con el software de álgebra Mapl), así como el análisis de su rendimiento computacional, (3) la determinación de ciertas propiedades obtenidas a partir de las ramas infinitas y construcción de familias de curvas a partir de ciertas asíntotas y (4) definición de conceptos de rama infinita, ramas infinitas convergentes y aproximación aplicados a superficies algebraicas. Estos resultados pueden adaptarse al espacio $n$-dimensional y a curvas definidas por parametrizaciones no necesariamente racionales. Además, se abren futuras líneas de investigación aplicada, en el área del diseño gráfico en 3-D, en el campo de la ingeniería de datos, o en el ámbito del análisis del rendimiento y eficiencia computacional de algoritmos, entre otras áreas de investigación y desarrollo. Palabras clave: Curvas algebraicas, superficies algebraicas, ramas infinitas, ramas convergentes, curvas aproximantes, asíntotas generalizadas, g-asíntotas, rendimiento computacional