Echinocyte Shapes: Bending, Stretching and Shear Determine Spicule Shape and Spacing

We study the shapes of human red blood cells using continuum mechanics. In particular, we model the crenated, echinocytic shapes and show how they may arise from a competition between the bending energy of the plasma membrane and the stretching/shear elastic energies of the membrane skeleton. In contrast to earlier work, we calculate spicule shapes exactly by solving the equations of continuum mechanics subject to appropriate boundary conditions. A simple scaling analysis of this competition reveals an elastic length which sets the length scale for the spicules and is, thus, related to the number of spicules experimentally observed on the fully developed echinocyte.Comment: Revtex, 27 pages, 8 figures; some minor change

Sparse Coding on Symmetric Positive Definite Manifolds using Bregman Divergences

This paper introduces sparse coding and dictionary learning for Symmetric Positive Definite (SPD) matrices, which are often used in machine learning, computer vision and related areas. Unlike traditional sparse coding schemes that work in vector spaces, in this paper we discuss how SPD matrices can be described by sparse combination of dictionary atoms, where the atoms are also SPD matrices. We propose to seek sparse coding by embedding the space of SPD matrices into Hilbert spaces through two types of Bregman matrix divergences. This not only leads to an efficient way of performing sparse coding, but also an online and iterative scheme for dictionary learning. We apply the proposed methods to several computer vision tasks where images are represented by region covariance matrices. Our proposed algorithms outperform state-of-the-art methods on a wide range of classification tasks, including face recognition, action recognition, material classification and texture categorization

Analysis and Manipulation of Repetitive Structures of Varying Shape

Self-similarity and repetitions are ubiquitous in man-made and natural objects. Such structural regularities often relate to form, function, aesthetics, and design considerations. Discovering structural redundancies along with their dominant variations from 3D geometry not only allows us to better understand the underlying objects, but is also beneficial for several geometry processing tasks including compact representation, shape completion, and intuitive shape manipulation. To identify these repetitions, we present a novel detection algorithm based on analyzing a graph of surface features. We combine general feature detection schemes with a RANSAC-based randomized subgraph searching algorithm in order to reliably detect recurring patterns of locally unique structures. A subsequent segmentation step based on a simultaneous region growing is applied to verify that the actual data supports the patterns detected in the feature graphs. We introduce our graph based detection algorithm on the example of rigid repetitive structure detection. Then we extend the approach to allow more general deformations between the detected parts. We introduce subspace symmetries whereby we characterize similarity by requiring the set of repeating structures to form a low dimensional shape space. We discover these structures based on detecting linearly correlated correspondences among graphs of invariant features. The found symmetries along with the modeled variations are useful for a variety of applications including non-local and non-rigid denoising. Employing subspace symmetries for shape editing, we introduce a morphable part model for smart shape manipulation. The input geometry is converted to an assembly of deformable parts with appropriate boundary conditions. Our method uses self-similarities from a single model or corresponding parts of shape collections as training input and allows the user also to reassemble the identified parts in new configurations, thus exploiting both the discrete and continuous learned variations while ensuring appropriate boundary conditions across part boundaries. We obtain an interactive yet intuitive shape deformation framework producing realistic deformations on classes of objects that are difficult to edit using repetition-unaware deformation techniques

Some Classical Problems in Random Geometry

International audienceThis chapter is intended as a first introduction to selected topics in random geometry. It aims at showing how classical questions from recreational mathematics can lead to the modern theory of a mathematical domain at the interface of probability and geometry. Indeed, in each of the four sections, the starting point is a historical practical problem from geometric probability. We show that the solution of the problem, if any, and the underlying discussion are the gateway to the very rich and active domain of integral and stochastic geometry, which we describe at a basic level. In particular, we explain how to connect Buffon’s needle problem to integral geometry, Bertrand’s paradox to random tessellations, Sylvester’s four-point problem to random polytopes and Jeffrey’s bicycle wheel problem to random coverings. The results and proofs selected here have been especially chosen for non-specialist readers. They do not require much prerequisite knowledge on stochastic geometry but nevertheless comprise many of the main results on these models

Desarrollo de herramienta de visualización para la reparación de piezas arqueológicas basado en su simetría

La simetría es la correspondencia exacta en la disposición regular de las partes o puntos de un cuerpo con relación a un centro, un eje o un plano. Esta característica está presente en la naturaleza y en objetos fabricados por el hombre. Asimismo, en el caso de objetos simétricos realizados por el hombre, existen vasijas de la cultura inca conocidos como keros que representan una simetría rotacional. Sin embargo, muchos de estos cerámicos no se encuentran en óptimas condiciones, debido a que fueron deteriorados por la tierra y por las piedras. Además, muchos de estos estuvieron enterrados o fueron parcialmente dañados en guerras. En años recientes, el estudio de la simetría ha captado la atención de las comunidades de computación gráfica. La simetría puede facilitar el entendimiento computacional de algunas representaciones de manera visual, por lo tanto esta característica ubicua puede brindar una gran ayuda en la reconstrucción de objetos. Uno de los problemas está relacionado con la verificación y detección de la simetría en un objeto. Algunos métodos encontrados en la literatura, tales como Momentos generalizados y Curvas del eje de simetría, para poder realizar la verificación de la simetría en un objeto necesita que este posea una estructura completa, dejando de esta manera inaplicable estos métodos para la reconstrucción de restos arqueológicos. Otro problema encontrado es el recurso computacional que se necesita para realizar los cálculos, debido a que se componen de pasos muy complejos computacionalmente. Además, al ser algoritmos complejos, estos pueden poseer un tiempo de ejecución mayor a 15 minutos, siendo esto un factor negativo debido a que se espera que la reconstrucción de los objetos arqueológicos sea interactiva y rápida.Desde el punto de vista de los arqueólogos, el proceso de reconstrucción de objetos arqueológicos de manera manual puede tomar varios días. Sumado a esto, en la mayoría de los casos, la reconstrucción no es precisa, porque se realizan muchas maquetas hasta obtener un modelo final con la posible reconstrucción del objeto. Existen distintos métodos como alternativa para el tratamiento de reconstrucción de objetos, claro que la precisión dependerá de qué tan completo se pueda tener a estos. En el presente proyecto de fin de carrera se pretende plantear una interfaz gráfica en la cual el usuario pueda interactuar con el método extraído de aproximación de detección de simetrías en Mallas 3D (Sipiran, Gregor, & Schreck, 2014). Como objetivo se busca reducir el campo de análisis del método anteriormente mencionado, por lo cual se plantea el uso de una interfaz gráfica para la interacción entre el usuario con el uso de una herramienta OpenGL, para de esta manera reducir el tiempo de respuesta que presenta este método. Esta reducción se realizó con la interacción que brindó el usuario usando la interfaz gráfica, donde el usuario podrá brindar información indicando dónde es posible que se encuentren los ejes de simetría o planos de simetría que servirán como entrada para el método a utilizar para la reconstrucción de los objetos arqueológicos.Tesi