Invariance of o-minimal cohomology with definably compact supports

In this paper we find general criteria to ensure that, in an arbitrary o-minimal structure, the o-minimal cohomology without supports and with definably compact supports of a definable space with coefficients in a sheaf is invariant in elementary extensions and in o-minimal expansions. We also prove the o-minimal analogue of Wilder's finiteness theorem in this context.Comment: 30 pages, uses xy-pi

O-minimal cohomology: finiteness and invariance results

We prove that the cohomology groups of a definably compact set over an o-minimal expansion of a group are finitely generated and invariant under elementary extensions and expansions of the language. We also study the cohomology of the intersection of a definable decreas-ing family of definably compact sets, under the additional assumption that the o-minimal structure expands a field.Comment: 28 pages, 7 figures and diagrams Added the hypothesis that singletons are construcible to section 3. Corrected misprint

Poincar\'e-Verdier duality in o-minimal structures

Here we prove a Poincar\'e-Verdier duality theorem for the o-minimal sheaf cohomology with definably compact supports of definably normal, definably locally compact spaces in an arbitrary o-minimal structure.Comment: 23 pages, uses xy-pi

Sheaves on T-topologies

The aim of this paper is to give a unifying description of various constructions (subanalytic, semialgebraic, o-minimal site) using the notion of T-topology. We then study the category of T-sheaves.Comment: 31 pages, uses xy-pic, revised versio

Definable mathcalCmathcal{C}r^{r} sheaf on o-minimal spectrum (Model theoretic aspects of the notion of independence and dimension)

Consider an o-minimal expansion of the real field ℝ~ and a definable $mathcal{C}$$^{r}$ submanifold M of ℝm, where r is a nonnegative integer. Let L be the first-order language of ℝ~. The o-minimal spectrum M~ of M is the set of all complete m-types of the first-order theory Thℝ(ℝ~) which imply a formula defining M. A stalk of the sheaf of definable $mathcal{C}$$^{r}$ functions on M~ at a point α ∈ M~ is a local ring. Its residue field is naturally an L-structure. We show that the residue field is a minimal elementary extension of the o-minimal structure ℝ containing $mathcal{C}$$^{r}$df(M)/supp(α) and satisfying that, for any a⁻ ∈ ($mathcal{C}$$^{r}$df(M))n and any formula φ(x⁻), the extension satisfies the sentence φ(a⁻) if and only if the definable subset of M defined by φ(a⁻) is an element of a. Here, the notation $mathcal{C}$$^{r}$df(M) denotes the ring of all definable $mathcal{C}$$^{r}$ functions on M

Anneaux p-adiquement clos et anneaux de fonctions définissables

Nous considérons des théories d'anneaux locaux reliées aux corps p-adiques, p un nombre premier. Dans le §1 nous établissons les axiomatisations données dans [B1], ainsi qu'une autre axiomatisation des anneaux apparaissant dans [R1]. Il s'agit d'anneaux locaux henséliens dont le corps résiduel est élémentairement équivalent à une extension finie d'un corps p-adique. Nous les appelons anneaux locaux p-adiquement clos. Dans le contexte de [R1] et [B1] ils apparaissent comme fibres du faisceau structural (aussi appelé faisceau de Nash dans [BS]) accompagnant les spectres p-adiques. L'intérêt de nos axiomatisations provient de la simplicité des axiomes qui rendent compte des propriétés henséliennes. Dans le §2 nous donnons une axiomatisation d'une théorie d'anneaux locaux qui apparaît naturellement dans le contexte de la théorie des modèles des corps valués, et se trouve être une complétion d'une théorie du §1. Nous appelons ces anneaux, anneaux intègres p-adiquement clos.\ud \ud Dans le §3 nous utilisons §2 pour montrer que les anneaux intègres p-adiquement clos apparaissent aussi comme anneaux quotients d'anneaux de fonctions continues définissables sur les courbes affines p-adiques. Nous représentons alors un idéal premier comme le noyau d'un morphisme d'évaluation en un point non-standard de la courbe. Le spectre p-adique fournit un outil commode qui permet de décrire la situation de façon concise