Representation of lattices by fuzzy weak congruence relations

Fuzzy (lattice valued) weak congruences of abstract algebras are investigated. For an algebra, the family of all such fuzzy relations is a complete lattice; its structure and cut properties are investigated and fully described. These fuzzy weak congruences are applied in representation of complete and algebraic lattices. A wider class of lattices can be represented in such a fuzzy framework, than in classical algebra. We prove that there is a straightforward representation of any complete lattice, using it as a co-domain. In a more general case, it is proved that several subdirect powers of lattices are also representable by fuzzy weak congruences

Congruencias y factorización como herramientas de reducción en el análisis de conceptos formales

Desde su introducción a principios de los años ochenta por B. Ganter y R. Wille, el Análisis de Conceptos Formales (FCA, de sus siglas en inglés) ha sido una de las herramientas matemáticas para el análisis de datos que más desarrollo ha experimentado. El FCA es una teoría matemática que determina estructuras conceptuales entre conjuntos de datos. En particular, las bases de datos se interpretan formalmente en esta teoría con la noción de contexto, que viene determinado por un conjunto de objetos, un conjunto de atributos y una relación entre ambos conjuntos. Las herramientas que proporciona el FCA permiten manipular adecuadamente los datos y extraer información relevante de ellos. Una de las líneas de investigación con más importancia es la reducción del conjunto de atributos que contienen estos conjuntos de datos, preservando la información esencial y eliminando la redundancia que puedan contener. La reducción de atributos también ha sido estudiada en otros ambientes, como en la Teoría de Conjuntos Rugosos, así como en las distintas generalizaciones difusas de ambas teorías. En el FCA, se ha demostrado que cuando se lleva a cabo una reducción de atributos de un contexto formal, se induce una relación de equivalencia sobre el conjunto de conceptos del contexto original. Esta relación de equivalencia inducida tiene una particularidad, sus clases de equivalencia tienen una estructura de semirretículo superior con un elemento máximo, es decir, no forman estructuras algebraicas cerradas, en general. En esta tesis estudiamos cómo es posible complementar las reducciones de atributos dotando a las clases de equivalencia con una estructura algebraica cerrada. La noción de congruencia consigue este propósito, sin embargo, el uso de este tipo de relación de equivalencia puede desembocar en una gran pérdida de información debido a que las clases de equivalencia agrupan demasiados conceptos. Para abordar este problema, en esta tesis se introduce una noción debilitada de congruencia que denominamos congruencia local. La congruencia local da lugar a clases de equivalencia con estructura de subretículo convexo, siendo más flexible a la hora de agrupar conceptos pero manteniendo propiedades interesantes desde un punto de vista algebraico. Se presenta una discusión general de los principales resultados relativos al estudio y aplicación de las congruencias locales que se han obtenido a lo largo de la investigación desarrollada durante la tesis. En particular, se introduce la noción de congruencia local junto con un análisis de las propiedades que satisface, así como una relación de orden sobre el conjunto de las clases de equivalencia. Además, realizamos un análisis profundo del impacto que genera el uso de las congruencias locales en el FCA, tanto en el contexto formal como en el retículo de conceptos. En este análisis identificamos aquellas clases de equivalencia de la relación inducida por una reducción de atributos, sobre las cuales actuaría la congruencia local, realizando una agrupación de conceptos diferente para obtener subretículos convexos. Adicionalmente, llevamos a cabo un estudio sobre el uso de las congruencias locales cuando en la reducción de atributos considerada se han eliminado todos los atributos innecesarios del contexto, obtienen resultados interesantes. Presentamos diversos mecanismos que permiten calcular congruencias locales y aplicarlas sobre retículos de conceptos, detallando las modificaciones que se realizan sobre el contexto formal para proporcionar un método de reducción basado en congruencias locales. Por otra parte, otra de las estrategias que nos permite reducir la complejidad del análisis de los contextos formales son los mecanismos de factorización. Los procedimientos utilizados para factorizar permiten dividir un contexto en dos o más subcontextos formales de menor tamaño, pudiéndose estudiar por separado más fácilmente. Se presenta un estudio preliminar sobre la factorización de contextos formales difusos usando operadores modales, que no se ha publicado aún en una revista. Estos operadores modales ya han sido utilizados para extraer subcontextos independientes de un contexto formal clásico obteniéndose así una factorización del contexto original. En esta tesis estudiamos también diversas propiedades que nos ayudan a comprender mejor cómo funciona la descomposición de tablas de datos booleanos, para luego realizar una adaptación de dichas propiedades al marco de trabajo multiadjunto. El estudio de estas propiedades generales en el marco de trabajo multiadjunto será de gran relevancia para poder obtener en el futuro un procedimiento que nos permita factorizar contextos formales multiadjuntos. Por tanto, la obtención de mecanismos de factorización de contextos multiadjuntos será clave para el análisis y tratamiento de grandes bases de dato