Real root isolation for exact and approximate polynomials using descartes' rule of signs

Collins und Akritas (1976) have described the Descartes method for isolating the real roots of an integer polynomial in one variable. This method recursively subdivides an initial interval until Descartes' Rule of Signs indicates that all roots have been isolated. The partial converse of Descartes' Rule by Obreshkoff (1952) in conjunction with the bound of Mahler (1964) and Davenport (1985) leads us to an asymptotically almost tight bound for the resulting subdivision tree. It implies directly the best known complexity bounds for the equivalent forms of the Descartes method in the power basis (Collins/Akritas, 1976), the Bernstein basis (Lane/Riesenfeld, 1981) and the scaled Bernstein basis (Johnson, 1991), which are presented here in a unified fashion. Without losing correctness of the output, we modify the Descartes method such that it can handle bitstream coefficients, which can be approximated arbitrarily well but cannot be determined exactly. We analyze the computing time and precision requirements. The method described elsewhere by the author together with Kerber/Wolpert (2007) and Kerber (2008) to determine the arrangement of plane algebraic curves rests in an essential way on variants of the bitstream Descartes algorithm; we analyze a central part of it.Collins und Akritas (1976) haben das Descartes-Verfahren zur Einschließung der reellen Nullstellen eines ganzzahligen Polynoms in einer Veränderlichen angegeben. Das Verfahren unterteilt rekursiv ein Ausgangsintervall, bis die Descartes'sche Vorzeichenregel anzeigt, dass alle Nullstellen getrennt worden sind. Die partielle Umkehrung der Descartes'schen Regel nach Obreschkoff (1952) in Verbindung mit der Schranke von Mahler (1964) und Davenport (1985) führt uns auf eine asymptotisch fast scharfe Schranke für den sich ergebenden Unterteilungsbaum. Daraus folgen direkt die besten bekannten Komplexitätsschranken für die äquivalenten Formen des Descartes-Verfahrens in der Monom-Basis (Collins/Akritas, 1976), der Bernstein-Basis (Lane/Riesenfeld, 1981) und der skalierten Bernstein-Basis (Johnson, 1991), die hier vereinheitlicht dargestellt werden. Ohne dass die Korrektheit der Ausgabe verloren geht, modifizieren wir das Descartes-Verfahren so, dass es mit "Bitstream"-Koeffizienten umgehen kann, die beliebig genau angenähert, aber nicht exakt bestimmt werden können. Wir analysieren die erforderliche Rechenzeit und Präzision. Das vom Verfasser mit Kerber/Wolpert (2007) und Kerber (2008) an anderer Stelle beschriebene Verfahren zur Bestimmung des Arrangements (der Schnittfigur) ebener algebraischer Kurven fußt wesentlich auf Varianten des Bitstream-Descartes-Verfahrens; wir analysieren einen zentralen Teil davon

New Techniques for the Modeling, Processing and Visualization of Surfaces and Volumes

With the advent of powerful 3D acquisition technology, there is a growing demand for the modeling, processing, and visualization of surfaces and volumes. The proposed methods must be efficient and robust, and they must be able to extract the essential structure of the data and to easily and quickly convey the most significant information to a human observer. Independent of the specific nature of the data, the following fundamental problems can be identified: shape reconstruction from discrete samples, data analysis, and data compression. This thesis presents several novel solutions to these problems for surfaces (Part I) and volumes (Part II). For surfaces, we adopt the well-known triangle mesh representation and develop new algorithms for discrete curvature estimation,detection of feature lines, and line-art rendering (Chapter 3), for connectivity encoding (Chapter 4), and for topology preserving compression of 2D vector fields (Chapter 5). For volumes, that are often given as discrete samples, we base our approach for reconstruction and visualization on the use of new trivariate spline spaces on a certain tetrahedral partition. We study the properties of the new spline spaces (Chapter 7) and present efficient algorithms for reconstruction and visualization by iso-surface rendering for both, regularly (Chapter 8) and irregularly (Chapter 9) distributed data samples

Structure-Preserving Matrix Methods for Computations on Univariate and Bivariate Bernstein Polynomials

Curve and surface intersection finding is a fundamental problem in computer-aided geometric design (CAGD). This practical problem motivates the undertaken study into methods for computing the square-free factorisation of univariate and bivariate polynomials in Bernstein form. It will be shown how these two problems are intrinsically linked and how finding univariate polynomial roots and bivariate polynomial factors is equivalent to finding curve and surface intersection points. The multiplicities of a polynomial’s factors are maintained through the use of a square free factorisation algorithm and this is analogous to the maintenance of smooth intersections between curves and surfaces, an important property in curve and surface design. Several aspects of the univariate and bivariate polynomial factorisation problem will be considered. This thesis examines the structure of the greatest common divisor (GCD) problem within the context of the square-free factorisation problem. It is shown that an accurate approximation of the GCD can be computed from inexact polynomials even in the presence of significant levels of noise. Polynomial GCD computations are ill-posed, in that noise in the coefficients of two polynomials which have a common factor typically causes the polynomials to become coprime. Therefore, a method for determining the approximate greatest common divisor (AGCD) is developed, where the AGCD is defined to have the same degree as the GCD and its coefficients are sufficiently close to those of the exact GCD. The algorithms proposed assume no prior knowledge of the level of noise added to the exact polynomials, differentiating this method from others which require derived threshold values in the GCD computation. The methods of polynomial factorisation devised in this thesis utilise the Sylvester matrix and a sequence of subresultant matrices for the GCD finding component. The classical definition of the Sylvester matrix is extended to compute the GCD of two and three bivariate polynomials defined in Bernstein form, and a new method of GCD computation is devised specifically for bivariate polynomials in Bernstein form which have been defined over a rectangular domain. These extensions are necessary for the computation of the factorisation of bivariate polynomials defined in the Bernstein form

Highly Interactive Web-Based Courseware

Zukünftige Lehr-/Lernprogramme sollen als vernetzte Systeme die Lernenden befähigen, Lerninhalte zu erforschen und zu konstruieren, sowie Verständnisschwierigkeiten und Gedanken in der Lehr-/Lerngemeinschaft zu kommunizieren. Lehrmaterial soll dabei in digitale Lernobjekte übergeführt, kollaborativ von Programmierern, Pädagogen und Designern entwickelt und in einer Datenbank archiviert werden, um von Lehrern und Lernenden eingesetzt, angepasst und weiterentwickelt zu werden. Den ersten Schritt in diese Richtung machte die Lerntechnologie, indem sie Wiederverwendbarkeit und Kompabilität für hypermediale Kurse spezifizierte. Ein größeres Maß an Interaktivität wird bisher allerdings noch nicht in Betracht gezogen. Jedes interaktive Lernobjekt wird als autonome Hypermedia-Einheit angesehen, aufwändig in der Erstellung, und weder mehrstufig verschränk- noch anpassbar, oder gar adäquat spezifizierbar. Dynamische Eigenschaften, Aussehen und Verhalten sind fest vorgegeben. Die vorgestellte Arbeit konzipiert und realisiert Lerntechnologie für hypermediale Kurse unter besonderer Berücksichtigung hochgradig interaktiver Lernobjekte. Innovativ ist dabei zunächst die mehrstufige, komponenten-basierte Technologie, die verschiedenste strukturelle Abstufungen von kompletten Lernobjekten und Werkzeugsätzen bis hin zu Basiskomponenten und Skripten, einzelnen Programmanweisungen, erlaubt. Zweitens erweitert die vorgeschlagene Methodik Kollaboration und individuelle Anpassung seitens der Teilnehmer eines hypermedialen Kurses auf die Software-Ebene. Komponenten werden zu verknüpfbaren Hypermedia-Objekten, die in der Kursdatenbank verwaltet und von allen Kursteilnehmern bewertet, mit Anmerkungen versehen und modifiziert werden. Neben einer detaillierten Beschreibung der Lerntechnologie und Entwurfsmuster für interaktive Lernobjekte sowie verwandte hypermediale Kurse wird der Begriff der Interaktivität verdeutlicht, indem eine kombinierte technologische und symbolische Definition von Interaktionsgraden vorgestellt und daraus ein visuelles Skriptschema abgeleitet wird, welches Funktionalität übertragbar macht. Weiterhin wird die Evolution von Hypermedia und Lehr-/Lernprogrammen besprochen, um wesentliche Techniken für interaktive, hypermediale Kurse auszuwählen. Die vorgeschlagene Architektur unterstützt mehrsprachige, alternative Inhalte, bietet konsistente Referenzen und ist leicht zu pflegen, und besitzt selbst für interaktive Inhalte Online-Assistenten. Der Einsatz hochgradiger Interaktivität in Lehr-/Lernprogrammen wird mit hypermedialen Kursen im Bereich der Computergraphik illustriert.The grand vision of educational software is that of a networked system enabling the learner to explore, discover, and construct subject matters and communicate problems and ideas with other community members. Educational material is transformed into reusable learning objects, created collaboratively by developers, educators, and designers, preserved in a digital library, and utilized, adapted, and evolved by educators and learners. Recent advances in learning technology specified reusability and interoperability in Web-based courseware. However, great interactivity is not yet considered. Each interactive learning object represents an autonomous hypermedia entity, laborious to create, impossible to interlink and to adapt in a graduated manner, and hard to specify. Dynamic attributes, the look and feel, and functionality are predefined. This work designs and realizes learning technology for Web-based courseware with special regard to highly interactive learning objects. The innovative aspect initially lies in the multi-level, component-based technology providing a graduated structuring. Components range from complex learning objects to toolkits to primitive components and scripts. Secondly, the proposed methodologies extend community support in Web-based courseware – collaboration and personalization – to the software layer. Components become linkable hypermedia objects and part of the courseware repository, rated, annotated, and modified by all community members. In addition to a detailed description of technology and design patterns for interactive learning objects and matching Web-based courseware, the thesis clarifies the denotation of interactivity in educational software formulating combined levels of technological and symbolical interactivity, and deduces a visual scripting metaphor for transporting functionality. Further, it reviews the evolution of hypermedia and educational software to extract substantial techniques for interactive Web-based courseware. The proposed framework supports multilingual, alternative content, provides link consistency and easy maintenance, and includes state-driven online wizards also for interactive content. The impact of great interactivity in educational software is illustrated with courseware in the Computer Graphics domain