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Ganzzahlige Matrizen mit ganzzahligen Eigenwerten
Beim Aufsuchen von Beispielen zur Berechnung von Eigenwerten und Eigenvektoren ist man hÀufig an ganzzahligen Matrizen mit ganzzahligen Eigenwerten interessiert. In diesem Zusammenhang stellt sich daher die Frage nach der HÀufigkeit derartiger Matrizen und nach Verfahren zu ihrer Konstruktion. Hier soll allerdings zunÀchst nur der einfachste Fall, nÀmlich der von 2X2-Matrizen untersucht werden, der bereits einen guten Einblick in die Problemstellung vermittelt.
Zwei Wege bieten sich bei diesen Untersuchungen an: Einerseits kann man von ganzzahligen Eigenwerten und den zugehörigen Normalformen ausgehen und damit die Ăhnlichkeitsklassen in den Vordergrund stellen. Oder man kann zweitens fĂŒr ganzzahlige Matrizen Bedingungen aufstellen, die die Ganzzahligkeit der Nullstellen ihres charakteristischen Polynoms sichern. Man gelangt so zu unterschiedlichen Darstellungsformen, die jeweils bestimmten Fragestellungen besser angepaĂt sind.
Eine Sonderstellung nehmen die symmetrischen Matrizen ein, weil bei ihnen von vornherein die RealitĂ€t der Eigenwerte gesichert ist und weil ihre Ăhnlichkeitsklassen sĂ€mtlich durch Diagonalmatrizen reprĂ€sentiert werden. Nachfolgend soll daher auch zunĂ€chst dieser Spezialfall untersucht werden.
Generell sollen folgende Festsetzungen gelten:
Unter einer Matrix wird stets eine 2X2-Matrix verstanden. Sie heiĂt genau dann ganzzahlig, wenn ihre vier Elemente ganze Zahlen sind.
Zur Menge N der natĂŒrlichen Zahlen soll die Null nicht gehören.
Die Teilerfremdheit ganzer Zahlen a,b wird, wie ĂŒblich, durch (a,b)=l gekennzeichnet. Diese Schreibweise soll automatisch beinhalten, daĂ a und b nicht beide Null sind und daĂ im Fall a=0 stets b=±1, im Fall b=0 entsprechend a=±1 gilt
Modular Forms of Weight One Over Finite Fields
The thesis deals with certain aspects of Katz modular forms over finite fields, in particular of weight one. A special case of Serre's conjecture is proved and the faithfulness of the Hecke module of modular symbols is studied.UBL - phd migration 201
Grundlagen der geometrie,
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Grundlagen der geometrie,
I. Ăber du gerade linie als kĂŒrzeste verbindung zweier punkte. [Math. ann., bd. 46].--II. Ăber den satz von der gleichheit der basiswinkel im gleichschenkligen dreieck. [London math soc. Proc. vol. 35].--III. Neue begrĂŒndung der Bolayi-Lobatschefskyschen geometrie [Math. ann., bd. 57, 1903].--IV. Ăber die grundlagen der geometrie. [Math. ann., bd. 56, 1902].--V. Ăber flachen von konstanter Gausscher krĂŒmmlung. [Amer. math. soc. Trans. vol. 2, 1901].Mode of access: Internet
Die Kunst des Möglichen I: Grundlinien einer dialektischen Philosophie der Technik - Technikphilosophie als Reflexion der MedialitÀt
Ein groĂer Teil herkömmlicher Technikphilosophien basiert auf naturalistisch-anthropologischen Grundvorstellungen oder Handlungskonzepten, die bereits nach einem Grundmuster von Technik modelliert und insofern "technomorph" sind. Sie reflektieren nicht den eigenen Standpunkt. Die vorliegende Untersuchung ist der Frage gewidmet, inwiefern die TechnizitĂ€t unserer WeltbezĂŒge hintergehbar ist bzw. was uns wie veranlasst, den Möglichkeitshorizont des Technischen nĂ€her zu erschlieĂen. Als "MedialitĂ€t des Technischen" ist dieser Gegenstand historischer und systematischer Analysen, die im ersten Band die theoretischen, im zweiten die praktischen Aspekte der Fragestellung behandeln. Dabei werden die qualitativen VerĂ€nderungen herausgestellt, die die modernen Hochtechnologien aufweisen