Ganzzahlige Matrizen mit ganzzahligen Eigenwerten

Beim Aufsuchen von Beispielen zur Berechnung von Eigenwerten und Eigenvektoren ist man häufig an ganzzahligen Matrizen mit ganzzahligen Eigenwerten interessiert. In diesem Zusammenhang stellt sich daher die Frage nach der Häufigkeit derartiger Matrizen und nach Verfahren zu ihrer Konstruktion. Hier soll allerdings zunächst nur der einfachste Fall, nämlich der von 2X2-Matrizen untersucht werden, der bereits einen guten Einblick in die Problemstellung vermittelt. Zwei Wege bieten sich bei diesen Untersuchungen an: Einerseits kann man von ganzzahligen Eigenwerten und den zugehörigen Normalformen ausgehen und damit die Ähnlichkeitsklassen in den Vordergrund stellen. Oder man kann zweitens für ganzzahlige Matrizen Bedingungen aufstellen, die die Ganzzahligkeit der Nullstellen ihres charakteristischen Polynoms sichern. Man gelangt so zu unterschiedlichen Darstellungsformen, die jeweils bestimmten Fragestellungen besser angepaßt sind. Eine Sonderstellung nehmen die symmetrischen Matrizen ein, weil bei ihnen von vornherein die Realität der Eigenwerte gesichert ist und weil ihre Ähnlichkeitsklassen sämtlich durch Diagonalmatrizen repräsentiert werden. Nachfolgend soll daher auch zunächst dieser Spezialfall untersucht werden. Generell sollen folgende Festsetzungen gelten: Unter einer Matrix wird stets eine 2X2-Matrix verstanden. Sie heißt genau dann ganzzahlig, wenn ihre vier Elemente ganze Zahlen sind. Zur Menge N der natürlichen Zahlen soll die Null nicht gehören. Die Teilerfremdheit ganzer Zahlen a,b wird, wie üblich, durch (a,b)=l gekennzeichnet. Diese Schreibweise soll automatisch beinhalten, daß a und b nicht beide Null sind und daß im Fall a=0 stets b=±1, im Fall b=0 entsprechend a=±1 gilt

Modular Forms of Weight One Over Finite Fields

The thesis deals with certain aspects of Katz modular forms over finite fields, in particular of weight one. A special case of Serre's conjecture is proved and the faithfulness of the Hecke module of modular symbols is studied.UBL - phd migration 201

Grundlagen der geometrie,

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Grundlagen der geometrie,

I. Über du gerade linie als kürzeste verbindung zweier punkte. [Math. ann., bd. 46].--II. Über den satz von der gleichheit der basiswinkel im gleichschenkligen dreieck. [London math soc. Proc. vol. 35].--III. Neue begründung der Bolayi-Lobatschefskyschen geometrie [Math. ann., bd. 57, 1903].--IV. Über die grundlagen der geometrie. [Math. ann., bd. 56, 1902].--V. Über flachen von konstanter Gausscher krümmlung. [Amer. math. soc. Trans. vol. 2, 1901].Mode of access: Internet

Chronologie der Naturwissenschaften: Der Weg der Mathematik und der Naturwissenschaften von den Anfängen in das 21. Jahrhundert

Das Werk ist eine Chronologie der mathematisch-naturwissenschaftlichen Entdeckungen und deren Protagonisten. Es enthält ca. zwölftausend Einträge über Entdeckungen und Erfindungen mit den Namen jener Personen, die in den einzelnen Disziplinen (Mathematik, Physik, Chemie, Astro-, Geo- und Biowissenschaften) Entdeckungen gemacht haben. Das Nachschlagewerk ist nach Jahren geordnet und umfasst den Zeitraum zwischen 10.000 v.Chr. bis 1990. Das Werk ergibt damit ein Bild von dem langen und komplizierten Prozess, der von den ersten Erfahrungen und Erkenntnissen über die Natur zu einzelnen wissenschaftlichen Kenntnissen über deren Teilgebiete, dann zu systematischem Wissen über diese Teilgebiete und schließlich zu den heutigen Naturwissenschaften führte. Für die Vor- und Frühgeschichte sind dabei auch Leistungen berücksichtigt, denen das Attribut der Wissenschaftlichkeit zwar nur bedingt zuerkannt werden kann, deren Aufnahme jedoch unabdingbar ist, um die historischen Entwicklungslinien im vollen Umfang nachzuzeichnen. Die Geowissenschaften sind in ihrer ganzen, auch die Länder- bzw. Völkerkunde umfassenden Breite vertreten, wobei auch die Anfänge jener Entwicklungen berücksichtigt wurden, die später zu den heute oft als Humangeographie bezeichneten sozial- und geisteswissenschaftlichen Komponenten der Geowissenschaften (Sozial-, Verkehrs-, Wirtschaftsgeographie usw.) führten. Zudem enthält das Werk Daten zu frühen Universitätsgründungen, zur Formierung verschiedener philosophischer Ideen und Systeme, zur Entstehung bedeutender Akademien, zur Gründung von Vereinigungen der einzelnen Disziplinen, zur Herausgabe von Zeitschriften und zur Konstruktion von wissenschaftlichen Geräten, die – wie Mikroskop, Fernrohr oder Teilchenbeschleuniger – die weitere Forschung maßgeblich beeinflussten. Eine besondere Rolle spielte die Umsetzung naturwissenschaftlicher Ideen in technologischen Verfahren und die sich dabei ergebenden Rückwirkungen auf den Erkenntnisfortschritt in der jeweiligen Disziplin. Die Fülle der Einträge ermöglicht es, eine Vorstellung von den bestimmenden Entwicklungslinien der einzelnen naturwissenschaftlichen Gebiete und der Mathematik in einem beliebigen Zeitraum zu gewinnen und zu erkennen, welchen Platz sie und ihre Disziplinen in der Entwicklung der menschlichen Gesellschaft eingenommen haben bzw. wie sich diese Rolle im Laufe der Jahrhunderte veränderte. Zugleich werden auch die Wechselwirkungen zwischen den einzelnen Disziplinen deutlich.:Geleitwort Vorwort und Danksagung Benutzerhinweise Autoren und deren Beiträge Epochen Vorgeschichte und frühe Hochkulturen Griechisch-hellenistische Antike Mittelalter Renaissance, Humanismus, Reformation Wissenschaftliche Revolution und Rationalismus Die Zeit des Durchbruchs zur Industriewirtschaft Der Industriekapitalismus am Ende des 19. und im Übergang ins 20. Jahrhundert Die Herausbildung der modernen Naturwissenschaften Die Zeit des kalten Krieges Verzeichnisse Verzeichnis der Nobelpreisträger Literaturverzeichnis Personenverzeichnis Sachwortverzeichni