Borel generators

We use the notion of Borel generators to give alternative methods for computing standard invariants, such as associated primes, Hilbert series, and Betti numbers, of Borel ideals. Because there are generally few Borel generators relative to ordinary generators, this enables one to do manual computations much more easily. Moreover, this perspective allows us to find new connections to combinatorics involving Catalan numbers and their generalizations. We conclude with a surprising result relating the Betti numbers of certain principal Borel ideals to the number of pointed pseudo-triangulations of particular planar point sets.Comment: 23 pages, 2 figures; very minor changes in v2. To appear in J. Algebr

Explicit CM-theory for level 2-structures on abelian surfaces

For a complex abelian variety $A$ with endomorphism ring isomorphic to the maximal order in a quartic CM-field $K$, the Igusa invariants $j_1(A), j_2(A),j_3(A)$ generate an abelian extension of the reflex field of $K$. In this paper we give an explicit description of the Galois action of the class group of this reflex field on $j_1(A),j_2(A),j_3(A)$. We give a geometric description which can be expressed by maps between various Siegel modular varieties. We can explicitly compute this action for ideals of small norm, and this allows us to improve the CRT method for computing Igusa class polynomials. Furthermore, we find cycles in isogeny graphs for abelian surfaces, thereby implying that the `isogeny volcano' algorithm to compute endomorphism rings of ordinary elliptic curves over finite fields does not have a straightforward generalization to computing endomorphism rings of abelian surfaces over finite fields

Algebraic Discrete Morse Theory and Applications to Commutative Algebra

In dieser Doktorarbeit verallgemeinern wir die Diskrete Morse Theorie von Forman auf eine algebraische Version, die wir Algebraische Diskrete Morse- Theorie nennen. Ziel der Theorie ist es zu einem gegebenem algebraischem Kettenkomplex freier R-Moduln einen Homotopie-äquivalenten Kettenkomplex zu konstruieren, dessen Ränge in den einzelnen homologischen Graden kleiner sind. Die Idee unserer Theorie ist es den Komplex als gerichteten Graphen zu interpretieren, und dann in diesem Graphen nach möglichst großen azyklischen Matchings zu suchen. Mit Hilfe dieser azyklischen Matchings wird ein sogenannter Morse-Graph konstruiert und wir beweisen, dass dessen zugehöriger Kettenkomplex dieselbe Homologie wie der Ausgangskomplex hat. Der Hauptteil der Arbeit besteht aus Anwendungen unserer Theorie in der Kommutativen Algebra. Wir verwenden unser Verfahren zur Konstruktion von minimalen multigraduierten freien Auflösungen verschiedener Moduln. In erster Linie beschäftigen wir uns mit der Konstruktion von minimalen freien Auflösungen des Restklassenkörpers über Quotientenringen aus dem (nicht notwendig kommutativen) Polynomring und einem beliebigen Ideal. Hier bekommen wir für verschiedene Klassen von Ringen neue minimale Auflösungen des Restklassenkörpers. Unter anderem können wir damit eine Vermutung von Sturmfels beweisen und ein Resultat von BACH zur Berechnung der Hochschild-Homologie deutlich verallgemeinern. Für den Fall, dass der Quotientenring aus einem kommutativen Polynomring und einem monomialen Ideal gebildet wird sind wir insbesondere an der Poincare-Betti Reihe interessiert. Bekannt ist, dass in diesem Fall die Poincare-Betti Reihe eine rationale Funktion ist. Eine konkrete Gestalt war jedoch bis jetzt nicht bekannt. Mit Hilfe der Algebraischen Diskreten Morse-Theorie konstruieren wir einen graduierten Vektorraum von dem wir vermuten, dass er als Vektorraum isomorph zur minimalen Auflösung des Körpers ist. Da wir die Hilbertreihe dieses Vektorraums ausrechnen können, bekommen wir eine explizite Gestalt der multigraduierten Poincare-Betti Reihe für solche Ringe. Unsere Form der Poincare-Betti Reihe präzisiert eine Vermutung von Charalambous und Reeves. Wir beweisen unsere Vermutung über die minimale Auflösung des Restklassenkörpers für verschiedene Klassen von monomialen Ringen. Da die Golod-Eigenschaft von monomialen Ringen durch eine spezielle Form der Poincare-Betti Reihe charakterisiert werden kann, bekommen wir mit unserer Gestalt der Poincare-Betti Reihe neue kombinatorische Kriterien für die Golod-Eigenschaft von monomialen Ringen, die nur von den Erzeugern des herausdividierten Ideals abhängen. Ein weiterer Teil der Arbeit beschäftigt sich mit der Konstruktion minimaler Auflösungen von Borel bzw. p-Borel fixed Idealen. Über Auflösungen von p-Borel fixed Idealen war bislang sehr wenig bekannt. Wir beweisen die Existenz von zellulären minimalen Auflösungen für eine neue, relativ große, Klasse von p-Borel fixed Idealen und geben Formeln für deren Poincare-Betti Reihe sowie deren Regularität. Diese Formeln verallgemeinern bestehende Resultate. Zum Schluss werden zwei verwandte Probleme aus der algebraischen Kombinatorik diskutiert. Das erste Problem beschäftigt sich mit Homologien von nilpotenten Lie-Algebren und das zweite behandelte Problem ist die Neggers-Stanley Vermutung über die Unimodalität spezieller Polynome. Für beide Probleme präsentieren wir einige Resultate und Lösungsansätze für den allgemeinen Fall

Computable Hilbert Schemes

In this PhD thesis we propose an algorithmic approach to the study of the Hilbert scheme. Developing algorithmic methods, we also obtain general results about Hilbert schemes. In Chapter 1 we discuss the equations defining the Hilbert scheme as subscheme of a suitable Grassmannian and in Chapter 5 we determine a new set of equations of degree lower than the degree of equations known so far. In Chapter 2 we study the most important objects used to project algorithmic techniques, namely Borel-fixed ideals. We determine an algorithm computing all the saturated Borel-fixed ideals with Hilbert polynomial assigned and we investigate their combinatorial properties. In Chapter 3 we show a new type of flat deformations of Borel-fixed ideals which lead us to give a new proof of the connectedness of the Hilbert scheme. In Chapter 4 we construct families of ideals that generalize the notion of family of ideals sharing the same initial ideal with respect to a fixed term ordering. Some of these families correspond to open subsets of the Hilbert scheme and can be used to a local study of the Hilbert scheme. In Chapter 6 we deal with the problem of the connectedness of the Hilbert scheme of locally Cohen-Macaulay curves in the projective 3-space. We show that one of the Hilbert scheme considered a "good" candidate to be non-connected, is instead connected. Moreover there are three appendices that present and explain how to use the implementations of the algorithms proposed.Comment: This is the PhD thesis of the author. Most of the results appeared or are going to appear in some paper. However the thesis contains more detailed explanations, proofs and remarks and it can be used also as handbook for all algorithms proposed and available at http://www.personalweb.unito.it/paolo.lella/HSC/index.html . arXiv admin note: text overlap with arXiv:1101.2866 by other author

Algebraic Discrete Morse Theory and Applications to Commutative Algebra

In dieser Doktorarbeit verallgemeinern wir die Diskrete Morse Theorie von Forman auf eine algebraische Version, die wir Algebraische Diskrete Morse- Theorie nennen. Ziel der Theorie ist es zu einem gegebenem algebraischem Kettenkomplex freier R-Moduln einen Homotopie-äquivalenten Kettenkomplex zu konstruieren, dessen Ränge in den einzelnen homologischen Graden kleiner sind. Die Idee unserer Theorie ist es den Komplex als gerichteten Graphen zu interpretieren, und dann in diesem Graphen nach möglichst großen azyklischen Matchings zu suchen. Mit Hilfe dieser azyklischen Matchings wird ein sogenannter Morse-Graph konstruiert und wir beweisen, dass dessen zugehöriger Kettenkomplex dieselbe Homologie wie der Ausgangskomplex hat. Der Hauptteil der Arbeit besteht aus Anwendungen unserer Theorie in der Kommutativen Algebra. Wir verwenden unser Verfahren zur Konstruktion von minimalen multigraduierten freien Auflösungen verschiedener Moduln. In erster Linie beschäftigen wir uns mit der Konstruktion von minimalen freien Auflösungen des Restklassenkörpers über Quotientenringen aus dem (nicht notwendig kommutativen) Polynomring und einem beliebigen Ideal. Hier bekommen wir für verschiedene Klassen von Ringen neue minimale Auflösungen des Restklassenkörpers. Unter anderem können wir damit eine Vermutung von Sturmfels beweisen und ein Resultat von BACH zur Berechnung der Hochschild-Homologie deutlich verallgemeinern. Für den Fall, dass der Quotientenring aus einem kommutativen Polynomring und einem monomialen Ideal gebildet wird sind wir insbesondere an der Poincare-Betti Reihe interessiert. Bekannt ist, dass in diesem Fall die Poincare-Betti Reihe eine rationale Funktion ist. Eine konkrete Gestalt war jedoch bis jetzt nicht bekannt. Mit Hilfe der Algebraischen Diskreten Morse-Theorie konstruieren wir einen graduierten Vektorraum von dem wir vermuten, dass er als Vektorraum isomorph zur minimalen Auflösung des Körpers ist. Da wir die Hilbertreihe dieses Vektorraums ausrechnen können, bekommen wir eine explizite Gestalt der multigraduierten Poincare-Betti Reihe für solche Ringe. Unsere Form der Poincare-Betti Reihe präzisiert eine Vermutung von Charalambous und Reeves. Wir beweisen unsere Vermutung über die minimale Auflösung des Restklassenkörpers für verschiedene Klassen von monomialen Ringen. Da die Golod-Eigenschaft von monomialen Ringen durch eine spezielle Form der Poincare-Betti Reihe charakterisiert werden kann, bekommen wir mit unserer Gestalt der Poincare-Betti Reihe neue kombinatorische Kriterien für die Golod-Eigenschaft von monomialen Ringen, die nur von den Erzeugern des herausdividierten Ideals abhängen. Ein weiterer Teil der Arbeit beschäftigt sich mit der Konstruktion minimaler Auflösungen von Borel bzw. p-Borel fixed Idealen. Über Auflösungen von p-Borel fixed Idealen war bislang sehr wenig bekannt. Wir beweisen die Existenz von zellulären minimalen Auflösungen für eine neue, relativ große, Klasse von p-Borel fixed Idealen und geben Formeln für deren Poincare-Betti Reihe sowie deren Regularität. Diese Formeln verallgemeinern bestehende Resultate. Zum Schluss werden zwei verwandte Probleme aus der algebraischen Kombinatorik diskutiert. Das erste Problem beschäftigt sich mit Homologien von nilpotenten Lie-Algebren und das zweite behandelte Problem ist die Neggers-Stanley Vermutung über die Unimodalität spezieller Polynome. Für beide Probleme präsentieren wir einige Resultate und Lösungsansätze für den allgemeinen Fall