Unconditionally Energy Stable Numerical Schemes for Hydrodynamics Coupled Fluids Systems

The thesis consists of two parts. In the first part we propose several second order in time, fully discrete, linear and nonlinear numerical schemes to solve the phase-field model of two-phase incompressible flows in the framework of finite element method. The schemes are based on the second order Crank-Nicolson method for time disretizations, projection method for Navier-Stokes equations, as well as several implicit-explicit treatments for phase-field equations. The energy stability, solvability, and uniqueness for numerical solutions of proposed schemes are further proved. Ample numerical experiments are performed to validate the accuracy and efficiency of the proposed schemes thereafter. In the second part we consider the numerical approximations for the model of smectic-A liquid crystal flows. The model equation, that is derived from the variational approach of the de Gennes energy, is a highly nonlinear system that couples the incompressible Navier-Stokes equations and two nonlinear coupled second-order elliptic equations. Based on some subtle explicit-implicit treatments for nonlinear terms, we develop unconditionally energy stable, linear, decoupled time discretization scheme. We also rigorously prove that the proposed scheme obeys the energy dissipation law. Various numerical simulations are presented to demonstrate the accuracy and the stability thereafter

Doctor of Philosophy

dissertationVisualizing surfaces is a fundamental technique in computer science and is frequently used across a wide range of fields such as computer graphics, biology, engineering, and scientific visualization. In many cases, visualizing an interface between boundaries can provide meaningful analysis or simplification of complex data. Some examples include physical simulation for animation, multimaterial mesh extraction in biophysiology, flow on airfoils in aeronautics, and integral surfaces. However, the quest for high-quality visualization, coupled with increasingly complex data, comes with a high computational cost. Therefore, new techniques are needed to solve surface visualization problems within a reasonable amount of time while also providing sophisticated visuals that are meaningful to scientists and engineers. In this dissertation, novel techniques are presented to facilitate surface visualization. First, a particle system for mesh extraction is parallelized on the graphics processing unit (GPU) with a red-black update scheme to achieve an order of magnitude speed-up over a central processing unit (CPU) implementation. Next, extending the red-black technique to multiple materials showed inefficiencies on the GPU. Therefore, we borrow the underlying data structure from the closest point method, the closest point embedding, and the particle system solver is switched to hierarchical octree-based approach on the GPU. Third, to demonstrate that the closest point embedding is a fast, flexible data structure for surface particles, it is adapted to unsteady surface flow visualization at near-interactive speeds. Finally, the closest point embedding is a three-dimensional dense structure that does not scale well. Therefore, we introduce a closest point sparse octree that allows the closest point embedding to scale to higher resolution. Further, we demonstrate unsteady line integral convolution using the closest point method

Particle Level Set Advection for the Interactive Visualization of Unsteady 3D Flow

Typically, flow volumes are visualized by defining their boundary as iso-surface of a level set function. Grid-based level sets offer a good global representation but suffer from numerical diffusion of surface detail, whereas particle-based methods preserve details more accurately but introduce the problem of unequal global representation. The particle level set (PLS) method combines the advantages of both approaches by interchanging the information between the grid and the particles. Our work demonstrates that the PLS technique can be adapted to volumetric dye advection via streak volumes, and to the visualization by time surfaces and path volumes. We achieve this with a modified and extended PLS, including a model for dye injection. A new algorithmic interpretation of PLS is introduced to exploit the efficiency of the GPU, leading to interactive visualization. Finally, we demonstrate the high quality and usefulness of PLS flow visualization by providing quantitative results on volume preservation and by discussing typical applications of 3D flow visualization

Visualization of two-phase flow dynamics : techniques for droplet interactions, interfaces, and material transport

Computational visualization allows scientists and engineers to better understand simulation data and gain insights into the studied natural processes. Particularly in the field of computational fluid dynamics, interactive visual presentation is essential in the investigation of physical phenomena related to gases and liquids. To ensure effective analysis, flow visualization techniques must adapt to the advancements in the field of fluid dynamics that benefits substantially from the growing computational power of both commodity desktops and supercomputers on the one hand, and steadily expanding knowledge about fluid physics on the other. A prominent example of these advances can be found in the research of two-phase flow with liquid droplets and jets, where high performance computation and sophisticated algorithms for phase tracking enable well resolved and physically accurate simulations of liquid dynamics. Yet, the field of two-phase flow has remained largely unexplored in visualization research so far, leaving the scientists and engineers with a number of challenges when analyzing the data. These include the difficulty in tracking and investigating topological events in large droplet groups, high complexity of droplet dynamics due to the involved interfaces, and a limited choice of high quality interactive methods for the analysis of related transport phenomena. It is therefore the aim of this thesis to address these challenges by providing a multi-scale approach for the visual investigation of two-phase flow, with the focus on the analysis of droplet interaction, fluid interfaces, and material transport. To address the problem of analyzing highly complex two-phase flow simulations with droplet groups and jets, a linked-view approach with three-dimensional and abstract space-time graph representation of droplet dynamics is proposed. The interactive brushing and linking allows for general exploration of topological events as well as detailed inspection of dynamics in terms of oscillations and rotations of droplets. Another approach further examines the separation of liquid phases by segmenting liquid volumes according to their topological changes in future time. For visualization, boundary surfaces of these volume segments are extracted that reveal intricate details of droplet topology dynamics. Additionally, within this framework, visualization of advected particles corresponding to arbitrarily selected segment provides useful insights into the spatio-temporal evolution of the segment. The analysis of interfaces is necessary to understand the interplay of interface dynamics and the dynamics of droplet interactions. A commonly used technique for interface tracking in the volume of fluid-based simulations is the piecewise linear approximation which, although accurate, can affect the quality of the simulation results. To study the influence of the interface reconstruction on the phase tracking procedure, a visualization method is presented that extracts the interfaces by means of the first-order Taylor approximation, and provides several derived quantities that help assess the simulation results in relation to the interface reconstruction quality. The liquid interface is further investigated from the physical standpoint with an approach based on quantities derived from velocity and surface tension gradients. The developed method supports examination of surface tension forces and their impact on the interface instability, as well as detailed analysis of interface deformation characteristics. A line of research important for engineering applications is the analysis of electric fields on droplet interfaces. It is, however, complicated by higher-order elements used in the simulations to preserve field discontinuities. A visualization method has been developed that correctly visualizes these discontinuities at material boundaries. Additionally, the employed space-time representation of the droplet-insulator contact line reveals characteristics of electric field dynamics. The dynamics of droplets are often examined assuming single-phase flow, for instance when the internal material transport is of interest. From the visualization perspective, this allows for adaption of traditional vector field visualization techniques to the investigation of the studied phenomena. As one such concept, dye based visualization is proposed that extends the transport analysis to advection-diffusion problems, therefore revealing true transport behavior. The employed high quality advection preserves fine details of the dye, while the implementation on graphics processing units ensures interactive visualization. Several streamline-based concepts are applied in space-time representation of 2D unsteady flow. By interpreting time as the third spatial dimension, many 3D streamline-based visualization techniques can be applied to investigate 2D unsteady flow. The introduced vortex core ribbons support the examination of vortical flow behavior by revealing rotation near the core lines. For the study of topological structures, a method has been developed that extracts separatrices implicitly as boundaries of regions with different flow behavior, and therefore avoids potentially complicated explicit extraction of various topological structures. All proposed techniques constitute a novel multi-scale approach for visual analysis of two-phase flow. The analysis of droplet interactions is addressed with visualization of the phenomena leading to breakups and with detailed visual inspection of these breakups. On the interface level, techniques for the interface analysis give insights into the simulation quality, mechanisms behind topology changes, as well as the behavior of electrically charged droplets. Further down the scale, the dye-based visualization, streamline-based concepts for space-time analysis, and the implicit extraction of flow topology allow for the investigation of droplet internal transport as well as general single-phase flow scenarios. The applicability of the proposed methods extends, in a varying degree, beyond the use in two-phase flow. Their usability is demonstrated on data from simulations based on Navier-Stokes equations that exemplify practical problems in the research of fluid dynamics.Die numerische Visualisierung ermöglicht Wissenschaftlern und Ingenieuren, Simulationsergebnisse besser zu verstehen und Einblicke in Naturprozesse zu gewinnen. Insbesondere ist die visuelle Darstellung von Ergebnissen numerischer Strömungsmechanik für die Untersuchung physikalischer Phänomene bei Gasen und Flüssigkeiten äußerst wichtig. Die numerische Strömungsmechanik profitiert einerseits von wachsender Rechenleistung handelsüblicher Desktops und Supercomputer, andererseits von den neuen Entwicklungen in der Strömungsforschung. Um eine effektive Analyse von Strömungen zu gewährleisten, müssen sich die Visualisierungstechniken kontinuierlich den Fortschritten in der Strömungsmechanik anpassen. Ein bemerkenswertes Beispiel hierfür ist die Forschung in der Zweiphasenströmung, in der Hochleistungsrechner und effiziente Algorithmen zur Phasenverfolgung hochaufgelöste und physikalisch genaue Simulationen der Flüssigkeitsdynamik ermöglichen. Dennoch ist die Zweiphasenströmung seitens der Visualisierung weitgehend unerforscht geblieben. Insbesondere sehen sich Wissenschaftler und Ingenieure mit verschiedenen Problemen konfrontiert, die mit angepassten Visualisierungstechniken vermieden werden können. Zu den Problemen zählen beispielweise die Verfolgung und Untersuchung der topologischen Ereignisse in Tropfengruppen, hohe Komplexität der Tropfendynamik und die begrenzte Auswahl an interaktiven Methoden zur Untersuchung der Transportphänomene. Demzufolge ist das Ziel dieser Dissertation, die Entwicklung eines Ansatzes zur visuellen Analyse von Zweiphasenströmung auf mehreren Skalen mit dem Fokus auf Interaktionen zwischen den Tropfen, Dynamik der Oberfläche und Materialtransport. Um die Analyse hochkomplexer Simulationsdaten der Zweiphasenströmung zu behandeln, wird eine auf Linked-View-Verfahren basierte Visualisierungstechnik präsentiert, in der die Tropfen sowohl in einer 3D Darstellung als auch in einer abstrakten Graph-Repräsentation visualisiert werden. Der interaktive Brushing-and-Linking-Ansatz ermöglicht eine globale Exploration der topologischen Ereignisse sowie eine detaillierte Inspektion der Dynamik im Hinblick auf die Oszillation und Rotation der Tropfen. Eine andere Technik zeigt die Aufteilung des Tropfenvolumens im zeitlichen Verlauf. Somit ermöglicht diese Methode eine ausführliche Untersuchung der Topologiedynamik mit Hilfe einer statischen Visualisierung. Dafür werden Grenzflächen erzeugt, die das ursprüngliche Volumen des Tropfens hinsichtlich der sich entwickelnden Zerfallskomponenten aufzeigen. Zusätzlich werden die zur Verfolgung der Tropfen benutzten Partikel visualisiert, um Einblicke in die Dynamik der Separation zu gewähren. Die Analyse der Oberfläche ist notwendig, um die Wechselwirkung zwischen der Oberflächendynamik und der Dynamik der Tropfeninteraktion besser zu verstehen. Eine häufig angewendete Technik zur Verfolgung der Phasengrenzen im Volume-of-Fluid-Verfahren ist die zellenweise planare Approximation. Obwohl diese einen guten Kompromiss zwischen Genauigkeit und Performanz bietet, kann die Approximation die Qualität der Simulationsergebnisse erheblich beeinflussen. Es wird deshalb eine Visualisierungsmethode präsentiert, die die Oberfläche mit Hilfe der Taylor-Approximation erster Ordnung extrahiert und unter anderem darauf basierte Größen bereitstellt, die die Relation zwischen der Simulationsapproximation und Qualität der Ergebnisse zeigt. Die Tropfenoberfläche wird weiterhin mit einer Visualisierungsmethode analysiert, die von den Geschwindigkeits- und Oberflächenspannungsgradienten abgeleitete Größen verwendet. Die entwickelte Methode unterstützt die Untersuchung der Deformation der Oberfläche sowie die Untersuchung der Oberflächenspannung und deren Auswirkung auf die Oberflächenstabilität. Eine wichtige Forschungsrichtung in der Zweiphasenströmung ist die Analyse elektrischer Felder auf der Tropfenoberfläche. Die in der Simulation angewendeten Elemente höherer Ordnung ermöglichen physikalische Diskontinuitäten, die für die visuelle Analyse eine gesonderte Behandlung benötigen. Im Zuge dessen wird eine Methode präsentiert, welche die Diskontinuitäten visuell korrekt darstellt und zusätzlich eine Raum-Zeit-Darstellung anwendet, um Einblicke in die Phänomene an der Kontaktlinie zwischen den Tropfen und dem untersuchten Isolator zu gewähren. Die Tropfendynamik wird oft mit der Annahme einer Einphasenströmung analysiert, beispielsweise für die Untersuchung der internen Strömung des Tropfens. Dies ermöglicht eine Anpassung und Verwendung traditioneller Visualisierungsmethoden für Vektorfelder. Eine solche Technik ist die ,,Dye-Advection'', die in dieser Dissertation nicht nur zur Analyse der Advektion, sondern auch zur Untersuchung der Diffusion verwendet wird. Die eingesetzte hochqualitative Rekonstruktion des virtuellen Pigments bewahrt feine Details, während die Implementierung auf der Grafikkarte eine interaktive Visualisierung ermöglicht. Überdies werden einige auf Stromlinien basierende Konzepte in Raum-Zeit-Darstellung angewendet, in der die Zeit als die dritte Raumachse interpretiert wird. Demzufolge können diese Methoden zur Analyse der zeitabhängigen zweidimensionalen Strömung verwendet werden. Die eingeführten ,,Vortex Core Ribbons" unterstützen die Analyse der rotierenden Strömung um die Wirbelkernlinien. Für die Analyse der topologischen Strukturen wurde eine Methode entwickelt, die die Separatrizen implizit als Ränder einer Segmentierung des Vektorfeldes extrahiert. Damit wird eine möglicherweise komplexe direkte Extraktion der Separatrizen vermieden. Die präsentierten Visualisierungsmethoden bilden ein neuartiges Multiskalen-Verfahren zur visuellen Analyse von Zweiphasenströmungen. Die Tropfeninteraktionen werden mit Hilfe einer Visualisierung dargestellt, die sich auf die Ursache des Tropfenzerfalls und deren Ablauf konzentriert. Für die Untersuchung der Oberfläche zeigen die vorgeschlagenen Techniken die Qualität der Ergebnisse hinsichtlich der Oberflächenrekonstruktion, die Mechanismen hinter den topologischen Ereignissen, als auch die Dynamik der elektrisch geladenen Tropfen auf. Andererseits werden unter Annahme der Einphasenströmung neue Techniken basierend auf Dye-Advection, Stromlinien-basierte Konzepte, sowie Verfahren zur Extraktion der Topologie untersucht, um einen besseren Einblick in den Materialtransport zu gewinnen. Die Anwendung dieser Methoden wird in dieser Dissertation auf Daten demonstriert, die durch Simulation, basierend auf Navier-Stokes-Gleichungen, erzeugt wurden