Integer Programming Formulations for Approximate Packing Circles in a Rectangular Container

A problem of packing a limited number of unequal circles in a fixed size rectangular container is considered. The aim is to maximize the (weighted) number of circles placed into the container or minimize the waste. This problem has numerous applications in logistics, including production and packing for the textile, apparel, naval, automobile, aerospace, and food industries. Frequently the problem is formulated as a nonconvex continuous optimization problem which is solved by heuristic techniques combined with local search procedures. New formulations are proposed for approximate solution of packing problem. The container is approximated by a regular grid and the nodes of the grid are considered as potential positions for assigning centers of the circles. The packing problem is then stated as a large scale linear 0-1 optimization problem. The binary variables represent the assignment of centers to the nodes of the grid. Nesting circles inside one another is also considered. The resulting binary problem is then solved by commercial software. Numerical results are presented to demonstrate the efficiency of the proposed approach and compared with known results

Packing equal circles in a damaged square using simulated annealing and greedy vacancy search.

This thesis defines and investigates a generalized circle packing problem, called Packing Equal Circles into a Damaged Square (PECDS). We introduce a new heuristic algorithm that enhances and combines the Greedy Vacancy Search (GVS) and Stimulated Annealing (SA), and demonstrate, through a series of experiments, its ability to find better solutions than either GVS or SA alone. The synergy between the enhanced GVS and SA, along with explicit convergence detection, makes the algorithm robust in escaping the points of local optimum. --Leaf ii.The original print copy of this thesis may be available here: http://wizard.unbc.ca/record=b200686

Modelos enteros para el problema de empaquetamiento de círculos en un contenedor rectangular.

Título de Estudio: MODELOS ENTEROS PARA EL PROBLEMA DE EMPAQUETAMIENTO DE CIRCULOS EN UN CONTENEDOR RECTANGULAR OBJETIVOS Y METODOS DE ESTUDIO: El objetivo general de este trabajo consiste en desarrollar e implementar un modelo de optimización lineal entera para el problema de empaquetamiento de círculos en un contenedor rectangular. La formulación de un problema es de suma importancia para encontrar su solución, por tal motivo, en el presente trabajo se estudian cuatro formulaciones equivalentes para el problema de empaquetamiento de círculos en un contenedor rectangular y se busca aprovechar la estructura del mismo con el propósito de comparar la calidad de las diversas formulaciones. Se busca encontrar una solución similar a lo existente en la literatura que depende de la cantidad de círculos a empaquetar, y otro de los objetivos que se espera es obtener un mejor tiempo para la solución del problema. Para esto, se desarrolla un modelo lineal entero binario para encontrar la solución y no un modelo basado en variables continúas que es lo que se hace comúnmente en la literatura para resolver el empaquetamiento de círculos. Se encuentra una mejor solución que proporciona la solución factible para el problema, y se estudia además el tiempo en el que se encuentran dichas soluciones. Se utiliza una formulación que cumple con todas las características del problema de empaquetamiento, una segunda formulación que cuenta con las restricciones de intersección, una tercera formulación que es compacta ya que elimina las restricciones que se duplican en la restricción de intersección y una última formulación que es compacta y utiliza las restricciones de intersección. CONTRIBUCIONES Y CONCLUSIONES: Se comparan numéricamente las diferentes soluciones que se encuentran, dependiendo de la cantidad de círculos que se empaquetaron, el tiempo en el que se resuelven las formulaciones, así como con las obtenidas en la literatura. En la mayoría de los trabajos que tratan el problema de empaquetamiento son modelos no lineales, en donde las variables continuas son las coordenadas de los centros de los círculos que se procura empaquetar. Sin embargo, en la experimentación encontramos que con un modelo lineal binario: a) se pueden encontrar los mismos resultados, o la misma cantidad de círculos a empaquetar en el contenedor rectangular. b) el tiempo para encontrar la solución es el mismo o menor dependiendo del caso. Algunos de los resultados de este trabajo se han presentado en congresos o foros nacionales e internacionales como: • Segundo Congreso de la Sociedad Mexicana de Investigación de Operaciones/ Quinto Taller Iberoamericano de Investigación de Operaciones (TLAIO), Acapulco, México, noviembre 2013. • Ciclo de Seminarios de la Universidad Estadual Paulista campus S. J. do Rio Preto, S.P. Brasil, Agosto 2013. • Semana Cultural de la FIME, UANL, San Nicolás de los Garza, Nuevo León, México, Octubre 2013. • XXIII Escuela Nacional de Optimización y Análisis Numérico (ENOAN), Saltillo Coahuila, México, Abril 2013. • Seminario de Investigación del Posgrado en Ingeniería en Sistemas, UANL, Abril 2013

Modelos enteros para el problema de empaquetamiento de círculos en un contenedor rectangular.

Título de Estudio: MODELOS ENTEROS PARA EL PROBLEMA DE EMPAQUETAMIENTO DE CIRCULOS EN UN CONTENEDOR RECTANGULAR OBJETIVOS Y METODOS DE ESTUDIO: El objetivo general de este trabajo consiste en desarrollar e implementar un modelo de optimización lineal entera para el problema de empaquetamiento de círculos en un contenedor rectangular. La formulación de un problema es de suma importancia para encontrar su solución, por tal motivo, en el presente trabajo se estudian cuatro formulaciones equivalentes para el problema de empaquetamiento de círculos en un contenedor rectangular y se busca aprovechar la estructura del mismo con el propósito de comparar la calidad de las diversas formulaciones. Se busca encontrar una solución similar a lo existente en la literatura que depende de la cantidad de círculos a empaquetar, y otro de los objetivos que se espera es obtener un mejor tiempo para la solución del problema. Para esto, se desarrolla un modelo lineal entero binario para encontrar la solución y no un modelo basado en variables continúas que es lo que se hace comúnmente en la literatura para resolver el empaquetamiento de círculos. Se encuentra una mejor solución que proporciona la solución factible para el problema, y se estudia además el tiempo en el que se encuentran dichas soluciones. Se utiliza una formulación que cumple con todas las características del problema de empaquetamiento, una segunda formulación que cuenta con las restricciones de intersección, una tercera formulación que es compacta ya que elimina las restricciones que se duplican en la restricción de intersección y una última formulación que es compacta y utiliza las restricciones de intersección. CONTRIBUCIONES Y CONCLUSIONES: Se comparan numéricamente las diferentes soluciones que se encuentran, dependiendo de la cantidad de círculos que se empaquetaron, el tiempo en el que se resuelven las formulaciones, así como con las obtenidas en la literatura. En la mayoría de los trabajos que tratan el problema de empaquetamiento son modelos no lineales, en donde las variables continuas son las coordenadas de los centros de los círculos que se procura empaquetar. Sin embargo, en la experimentación encontramos que con un modelo lineal binario: a) se pueden encontrar los mismos resultados, o la misma cantidad de círculos a empaquetar en el contenedor rectangular. b) el tiempo para encontrar la solución es el mismo o menor dependiendo del caso. Algunos de los resultados de este trabajo se han presentado en congresos o foros nacionales e internacionales como: • Segundo Congreso de la Sociedad Mexicana de Investigación de Operaciones/ Quinto Taller Iberoamericano de Investigación de Operaciones (TLAIO), Acapulco, México, noviembre 2013. • Ciclo de Seminarios de la Universidad Estadual Paulista campus S. J. do Rio Preto, S.P. Brasil, Agosto 2013. • Semana Cultural de la FIME, UANL, San Nicolás de los Garza, Nuevo León, México, Octubre 2013. • XXIII Escuela Nacional de Optimización y Análisis Numérico (ENOAN), Saltillo Coahuila, México, Abril 2013. • Seminario de Investigación del Posgrado en Ingeniería en Sistemas, UANL, Abril 2013

Formulation space search for two-dimensional packing problems

This thesis was submitted for the degree of Doctor of Philosophy and awarded by Brunel University.The two-dimension packing problem is concerned with the arrangement of items without overlaps inside a container. In particular we have considered the case when the items are circular objects, some of the general examples that can be found in the industry are related with packing, storing and transportation of circular objects. Although there are several approaches we want to investigate the use of formulation space search. Formulation space search is a fairly recent method that provides an easy way to escape from local optima for non-linear problems allowing to achieve better results. Despite the fact that it has been implemented to solve the packing problem with identical circles, we present an improved implementation of the formulation space search that gives better results for the case of identical and non-identical circles, also considering that they are packed inside different shaped containers, for which we provide the needed modifications for an appropriate implementation. The containers considered are: the unit circle, the unit square, two rectangles with different dimension (length 5, width 1 and length 10 width 1), a right-isosceles triangle, a semicircle and a right-circular quadrant. Results from the tests conducted shown several improvements over the best previously known for the case of identical circles inside three different containers: a right-isosceles triangle, a semicircle and a circular quadrant. In order to extend the scope of the formulation space search approach we used it to solve mixed-integer non-linear problems, in particular those with zero-one variables. Our findings suggest that our implementation provides a competitive way to solve these kind of problems.This study was funded by the Mexican National Council for Science and Technology (CONACyT)