Packing multiway cuts in capacitated graphs

We consider the following "multiway cut packing" problem in undirected graphs: we are given a graph G=(V,E) and k commodities, each corresponding to a set of terminals located at different vertices in the graph; our goal is to produce a collection of cuts {E_1,...,E_k} such that E_i is a multiway cut for commodity i and the maximum load on any edge is minimized. The load on an edge is defined to be the number of cuts in the solution crossing the edge. In the capacitated version of the problem the goal is to minimize the maximum relative load on any edge--the ratio of the edge's load to its capacity. Multiway cut packing arises in the context of graph labeling problems where we are given a partial labeling of a set of items and a neighborhood structure over them, and, informally, the goal is to complete the labeling in the most consistent way. This problem was introduced by Rabani, Schulman, and Swamy (SODA'08), who developed an O(log n/log log n) approximation for it in general graphs, as well as an improved O(log^2 k) approximation in trees. Here n is the number of nodes in the graph. We present the first constant factor approximation for this problem in arbitrary undirected graphs. Our approach is based on the observation that every instance of the problem admits a near-optimal laminar solution (that is, one in which no pair of cuts cross each other).Comment: The conference version of this paper is to appear at SODA 2009. This is the full versio

Um problema de dominação eterna : classes de grafos, métodos de resolução e perspectiva prática

Orientadores: Cid Carvalho de Souza, Orlando LeeTese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de ComputaçãoResumo: O problema do conjunto dominante m-eterno é um problema de otimização em grafos que tem sido muito estudado nos últimos anos e para o qual se têm listado aplicações em vários domínios. O objetivo é determinar o número mínimo de guardas que consigam defender eternamente ataques nos vértices de um grafo; denominamos este número o índice de dominação m-eterna do grafo. Nesta tese, estudamos o problema do conjunto dominante m-eterno: lidamos com aspectos de natureza teórica e prática e abordamos o problema restrito a classes especícas de grafos e no caso geral. Examinamos o problema do conjunto dominante m-eterno com respeito a duas classes de grafos: os grafos de Cayley e os conhecidos grafos de intervalo próprios. Primeiramente, mostramos ser inválido um resultado sobre os grafos de Cayley presente na literatura, provamos que o resultado é válido para uma subclasse destes grafos e apresentamos outros achados. Em segundo lugar, fazemos descobertas em relação aos grafos de intervalo próprios, incluindo que, para estes grafos, o índice de dominação m-eterna é igual à cardinalidade máxima de um conjunto independente e, por consequência, o índice de dominação m-eterna pode ser computado em tempo linear. Tratamos de uma questão que é fundamental para aplicações práticas do problema do conjunto dominante m-eterno, mas que tem recebido relativamente pouca atenção. Para tanto, introduzimos dois métodos heurísticos, nos quais formulamos e resolvemos modelos de programação inteira e por restrições para computar limitantes ao índice de dominação m-eterna. Realizamos um vasto experimento para analisar o desempenho destes métodos. Neste processo, geramos um benchmark contendo 750 instâncias e efetuamos uma avaliação prática de limitantes ao índice de dominação m-eterna disponíveis na literatura. Por m, propomos e implementamos um algoritmo exato para o problema do conjunto dominante m-eterno e contribuímos para o entendimento da sua complexidade: provamos que a versão de decisão do problema é NP-difícil. Pelo que temos conhecimento, o algoritmo proposto foi o primeiro método exato a ser desenvolvido e implementado para o problema do conjunto dominante m-eternoAbstract: The m-eternal dominating set problem is a graph-protection optimization problem that has been an active research topic in the recent years and reported to have applications in various domains. It asks for the minimum number of guards that can eternally defend attacks on the vertices of a graph; this number is called the m-eternal domination number of the graph. In this thesis, we study the m-eternal dominating set problem by dealing with aspects of theoretical and practical nature and tackling the problem restricted to specic classes of graphs and in the general case. We examine the m-eternal dominating set problem for two classes of graphs: Cayley graphs and the well-known proper interval graphs. First, we disprove a published result on the m-eternal domination number of Cayley graphs, show that the result is valid for a subclass of these graphs, and report further ndings. Secondly, we present several discoveries regarding proper interval graphs, including that, for these graphs, the m- eternal domination number equals the maximum size of an independent set and, as a consequence, the m-eternal domination number can be computed in linear time. We address an issue that is fundamental to practical applications of the m-eternal dominating set problem but that has received relatively little attention. To this end, we introduce two heuristic methods, in which we propose and solve integer and constraint programming models to compute bounds on the m-eternal domination number. By performing an extensive experiment to validate the features of these methods, we generate a 750-instance benchmark and carry out a practical evaluation of bounds for the m-eternal domination number available in the literature. Finally, we propose and implement an exact algorithm for the m-eternal dominating set problem and contribute to the knowledge on its complexity: we prove that the decision version of the problem is NP-hard. As far as we know, the proposed algorithm was the first developed and implemented exact method for the m-eternal dominating set problemDoutoradoCiência da ComputaçãoDoutor em Ciência da Computação141964/2013-8CAPESCNP

Decomposition methods for mixed-integer nonlinear programming

En esta tesis se pueden distinguir dos líneas principales de investigación. La primera se ocupa de los métodos de Aproximación Externa (Outer Approximation), mientras que la segunda estudia un solución basada en el método de Generación de Columnas (Column Generation). En esta tesis investigamos y analizamos aspectos teóricos y prácticos de ambas ideas dentro del marco de la descomposición. El objetivo principal de este estudio es desarrollar métodos sistemáticos basados en la descomposición para resolver problemas de gran escala utilizando los métodos de Aproximación Externa y Generación de Columnas. En el capítulo 1 se introduce un concepto importante necesario para la descomposición. Este concepto consiste en una reformulación separable en bloques del problema de programación no lineal de enteros mixtos. En el capítulo 1 también se hace una descripción de los métodos mencionados anteriormente, incluyendo los de Ramificación y Acotación, además de otros conceptos clave que son necesarios para esta tesis, como por ejemplo los de Aproximación Interior, etc. Los capítulos 2, 3 y 4 investigan el uso del concepto de Aproximación Externa. Específicamente, en el capítulo 2 se presenta un algoritmo de Aproximación Externa basado en descomposición para resolver problemas de programación no-lineales convexos enteros-mixtos, basados en la construcción de hiperplanos soporte para un conjunto factible. El capítulo 3 amplia el marco de aplicación de un algoritmo de Aproximación Externa basado en descomposición, a problemas de programación no lineales no convexos enteros mixtos, introduciendo una Aproximación Externa convexa por partes de un conjunto factible no convexo. Otra perspectiva de la definición de Aproximación Externa para problemas no convexos se considera en el capítulo 4, que presenta un algoritmo de Refinamiento Interno y Externo basado en descomposición, que construye una Aproximación Externa al mismo tiempo que calcula la Aproximación Interna usando Generación de Columnas. La Aproximación Externa usada en el algoritmo de Refinamiento Interno y Externo se basa en la visión multiobjetivo de la denominada versión recursos restringidos del problema original. Dos capítulos están dedicados a la Generación de Columnas. En el capítulo 4 se presenta un algoritmo de Generación de Columnas para calcular una Aproximación Interna del problema original. Además se describe un algoritmo heurístico basado en particiones que usa un refinamiento de la Aproximación Interna. El capítulo 5 analiza varias técnicas de aceleración para la Generación de Columnas, donde se describe un algoritmo heurístico general basado en la Generación de Columnas, que puede generar varias soluciones candidatas de alta calidad. El capítulo 6 contiene una breve descripción de la implementación en Python de DECOGO (software de programación no lineal de enteros mixtos).La programación no lineal de enteros mixtos es un campo de optimización importante y desafiante. Este tipo de problemas pueden contener variables continuas e enteras, así como restricciones lineales y no lineales. Esta clase de problemas tiene un papel fundamental en la ciencia y la industria, ya que proporcionan una forma precisa de describir fenómenos en diferentes áreas como ingeniería química y mecánica, cadena de suministro, gestión, etc. La mayoría de los algoritmos de última generación para resolver los problemas de programación no lineal de enteros mixtos no convexos están basados en los métodos de ramificación y acotación. El principal inconveniente de este enfoque es que el árbol de búsqueda puede crecer muy rápido impidiendo que el algoritmo encuentre una solución de alta calidad en un tiempo razonable. Una posible alternativa que evite la generación de grandes árboles consiste en hacer uso del concepto de descomposición para hacer que el procedimiento sea más manejable. La descomposición proporciona un marco general en el que el problema original se divide en pequeños subproblemas y sus resultados se combinan en un problema maestro más sencillo. Esta tesis analiza los métodos de descomposición para la programación no lineal de enteros mixtos. El principal objetivo de esta tesis es desarrollar métodos alternativos al de ramificación y acotación, basados en el concepto de descomposición. Para la industria y la ciencia, es importante calcular una solución óptima, o al menos, mejorar la mejor solución disponible hasta ahora. Además, esto debe hacerse en un plazo de tiempo razonable. Por lo tanto, el objetivo de esta tesis es diseñar algoritmos eficientes que permitan resolver problemas de gran escala que tienen una aplicación práctica directa. En particular, nos centraremos en modelos que pueden ser aplicados en la planificación y operación de sistemas energéticos

Maximale Kreispackungen für verallgemeinerte Petersen Graphen und die Bestimmung der Kreispackungszahl unter Verwendung von Knotenseparatoren

For a graph G = (V;E) a maximum cycle packing is a collection of pairwise edgedisjoint cycles. The maximum cardinality n(G) of such a packing is denoted as the cycle packing number of G. In general the determination of a maximum cycle packing and n(G), respectively, is NP-hard. In this thesis we first introduce the theoretical problem by some examples of cycle packings for three particular graphs. Afterwards we give three practical examples, where you can use cycle packings on special graphs for establishing a practical solution. In Chapter 3 we outline the connection between vertex cuts and maximum cylce packings. We first have a look at graphs which contain a vertex cut of cardinality two or three. Following this we regard graphs with a given vertex cut of an arbitrary cardinality. At least we consider the family P(n;k) of generalized Petersen graphs. In case k even, we outline, that there exists always an maximum cycle packing, where all cycles excepted one are shortest cycles of length eight, if n is big enough. In case k odd, we also prove this for some special cases.Für einen gegebenen Graphen G = (V;E) ist eine maximale Kreispackung eine maximale Menge paarweise kantendisjunkter Kreise in G. Die maximale Anzahl n(G) wird als Kreispackungszahl bezeichnet. Es ist bekannt, dass die Bestimmung einer maximalen Kreispackung sowie der Kreispackungszahl ein NPschweres Problem darstellen. In dieser Arbeit werden maximale Kreispackungen zunächst an Hand einiger graphentheoretischer Beispiele eingeführt. Anschließend werden drei praktische Problemstellungen vorgestellt, deren Lösungen sich durch das Auffinden einer maximalen Kreispackung oder die Bestimmung der Kreispackungszahl auf einem geeigneten Graphen herleiten lassen. Im dritten Kapitel wird der Zusammenhang zwischen Knotenseparatoren und maximalen Kreispackungen erläutert. Dazu werden zunächst Graphen betrachtet, welche einen Knotenseparator mit zwei bzw. drei Knoten enthalten. Abschließend wird der Fall eines Graphen mit einem gegebenen Knotenseparator mit einer beliebigen Anzahl von Knoten behandelt. Im letzten Kapitel wird eine spezielle Graphenfamilie, die Familie der verallgemeinerten Petersen Graphen P(n;k) vorgestellt. Es wird für den Fall k mod 2 = 0 gezeigt, dass immer eine maximale Kreispackung existiert, welche, bis auf höchstens einen Kreis, ausschließlich aus kürzesten Kreisen der Länge acht besteht, sofern n groß genug ist. Für den Fall k mod 2 = 1 wird diese Aussage ebenfalls für einige Spezialfälle bewiesen