On the local metric dimension of graphs

La dimensió mètrica d'un espai mètric general es va introduir el 1953, però va atreure poca atenció fins que, uns vint anys més tard, es va aplicar a les distàncies entre els vèrtexs d'un graf. Des de llavors s'ha utilitzat amb freqüència en la teoria de grafs, la química, la biologia, la robòtica i moltes altres disciplines. A causa de la multiplicitat de situacions de les que pot sorgir el problema de distingir els vèrtexs d'un graf, diverses variants del concepte original de la dimensió mètrica ha anat apareixent en la literatura especialitzada. En aquesta tesi s'estudia una d'aquestes variants, és a dir, la dimensió mètrica local. En concret, aquesta tesi ens centrem en el problema de calcular la dimensió mètrica local de grafs. En primer lloc, presentem l'estat de l'art de la dimensió mètrica local i obtenim alguns resultats originals en els que caracteritzem tots els grafs que atenyen algunes fites conegudes. En segon lloc, obtenim fórmules tancades i fites tenses per a la dimensió mètrica local de diverses famílies de grafs, incloent grafs producte fort, grafs corona i grafs producte lexicogràfic. Finalment, introduïm l'estudi de la dimensió mètrica local simultània i donem alguns resultats generals en aquesta nova línia d'investigació.La dimensión métrica de un espacio métrico general fue introducida en 1953, pero atrajo poca atención hasta que, aproximadamente veinte años más tarde, se aplicó a las distancias entre vértices de un gráfico. Desde entonces se ha utilizado con frecuencia en la teoría de los gráficos, la química, la biología, la robótica y muchas otras disciplinas. Debido a la multiplicidad de situaciones desde las que puede surgir el problema de distinguir los vértices de un gráfico, en la literatura especializada han aparecido varias variantes del concepto original de dimensión métrica. En esta tesis estudiamos una de estas variantes, a saber, la dimensión métrica local. En particular, nos centramos en el problema de calcular la dimensión métrica local de grafos. Primero presentamos el estado del arte de la dimensión métrica local y presentamos algunos resultados originales en los que caracterizamos todos los grafos que alcanzan algunas de las cotas conocidas. En segundo lugar, obtenemos fórmulas cerradas y cotas tensas para la dimensión métrica local de varias familias de grafos, entre los que destacamos los grafos producto fuerte, grafos corona y grafos producto lexicográfico. Finalmente, introducimos el estudio de la dimensión métrica local simultánea y damos algunos resultados generales en esta nueva línea de investigación.The metric dimension of a general metric space was introduced in 1953 but attracted little attention until, about twenty years later, it was applied to the distances between vertices of a graph. Since then it has been frequently used in graph theory, chemistry, biology, robotics and many other disciplines. Due to the variety of situations from which the problem of distinguishing the vertices of a graph can arise, several variants of the original concept of metric dimension have been appearing in specialized literature. In this thesis we study one of these variants, namely, the local metric dimension. Specifically, we focus on the problem of computing the local metric dimension of graphs. We first report on the state of the art on the local metric dimension and present some original results in which we characterize all graphs that reach some known bounds. Secondly, we obtain closed formulas and tight bounds on the local metric dimension of several families of graphs, including strong product graphs, corona product graphs, rooted product graphs and lexicographic product graphs. Finally, we introduce the study of simultaneous local metric dimension and we give some general results on this new research line

Strong resolvability in product graphs.

En aquesta tesi s'estudia la dimensió mètrica forta de grafs producte. Els resultats més importants de la tesi se centren en la recerca de relacions entre la dimensió mètrica forta de grafs producte i la dels seus factors, juntament amb altres invariants d'aquests factors. Així, s'han estudiat els següents productes de grafs: producte cartesià, producte directe, producte fort, producte lexicogràfic, producte corona, grafs unió, suma cartesiana, i producte arrel, d'ara endavant "grafs producte". Hem obtingut fórmules tancades per la dimensió mètrica forta de diverses famílies no trivials de grafs producte que inclouen, per exemple, grafs bipartits, grafs vèrtexs transitius, grafs hamiltonians, arbres, cicles, grafs complets, etc, i hem donat fites inferiors i superiors generals, expressades en termes d'invariants dels grafs factors, com ara, l'ordre, el nombre d'independència, el nombre de cobriment de vèrtexs, el nombre d'aparellament, la connectivitat algebraica, el nombre de cliqué, i el nombre de cliqué lliure de bessons. També hem descrit algunes classes de grafs producte, on s'assoleixen aquestes fites. És conegut que el problema de trobar la dimensió mètrica forta d'un graf connex es pot transformar en el problema de trobar el nombre de cobriment de vèrtexs de la seva corresponent graf de resolubilitat forta. En aquesta tesi hem aprofitat aquesta eina i hem trobat diverses relacions entre el graf de resolubilitat forta de grafs producte i els grafs de resolubilitat forta dels seus factors. Per exemple, és notable destacar que el graf de resolubilitat forta del producte cartesià de dos grafs és isomorf al producte directe dels grafs de resolubilitat forta dels seus factors.En esta tesis se estudia la dimensión métrica fuerte de grafos producto. Los resultados más importantes de la tesis se centran en la búsqueda de relaciones entre la dimensión métrica fuerte de grafos producto y la de sus factores, junto con otros invariantes de estos factores. Así, se han estudiado los siguientes productos de grafos: producto cartesiano, producto directo, producto fuerte, producto lexicográfico, producto corona, grafos unión, suma cartesiana, y producto raíz, de ahora en adelante "grafos producto". Hemos obtenido fórmulas cerradas para la dimensión métrica fuerte de varias familias no triviales de grafos producto que incluyen, por ejemplo, grafos bipartitos, grafos vértices transitivos, grafos hamiltonianos, árboles, ciclos, grafos completos, etc, y hemos dado cotas inferiores y superiores generales, expresándolas en términos de invariantes de los grafos factores, como por ejemplo, el orden, el número de independencia, el número de cubrimiento de vértices, el número de emparejamiento, la conectividad algebraica, el número de cliqué, y el número de cliqué libre de gemelos. También hemos descrito algunas clases de grafos producto, donde se alcanzan estas cotas. Es conocido que el problema de encontrar la dimensión métrica fuerte de un grafo conexo se puede transformar en el problema de encontrar el número de cubrimiento de vértices de su correspondiente grafo de resolubilidad fuerte. En esta tesis hemos aprovechado esta herramienta y hemos encontrado varias relaciones entre el grafo de resolubilidad fuerte de grafos producto y los grafos de resolubilidad fuerte de sus factores. Por ejemplo, es notable destacar que el grafo de resolubilidad fuerte del producto cartesiano de dos grafos es isomorfo al producto directo de los grafos de resolubilidad fuerte de sus factores.In this thesis we study the strong metric dimension of product graphs. The central results of the thesis are focused on finding relationships between the strong metric dimension of product graphs and that of its factors together with other invariants of these factors. We have studied the following products: Cartesian product graphs, direct product graphs, strong product graphs, lexicographic product graphs, corona product graphs, join graphs, Cartesian sum graphs, and rooted product graphs, from now on ``product graphs''. We have obtained closed formulaes for the strong metric dimension of several nontrivial families of product graphs involving, for instance, bipartite graphs, vertex-transitive graphs, Hamiltonian graphs, trees, cycles, complete graphs, etc., or we have given general lower and upper bounds, and have expressed these in terms of invariants of the factor graphs like, for example, order, independence number, vertex cover number, matching number, algebraic connectivity, clique number, and twin-free clique number. We have also described some classes of product graphs where these bounds are achieved. It is known that the problem of finding the strong metric dimension of a connected graph can be transformed to the problem of finding the vertex cover number of its strong resolving graph. In the thesis we have strongly exploited this tool. We have found several relationships between the strong resolving graph of product graphs and that of its factor graphs. For instance, it is remarkable that the strong resolving graph of the Cartesian product of two graphs is isomorphic to the direct product of the strong resolving graphs of its factors

The Simultaneous Strong Resolving Graph and the Simultaneous Strong Metric Dimension of Graph Families

We consider in this work a new approach to study the simultaneous strong metric dimension of graphs families, while introducing the simultaneous version of the strong resolving graph. In concordance, we consider here connected graphs G whose vertex sets are represented as V(G), and the following terminology. Two vertices u,v is an element of V(G) are strongly resolved by a vertex w is an element of V(G), if there is a shortest w-v path containing u or a shortest w-u containing v. A set A of vertices of the graph G is said to be a strong metric generator for G if every two vertices of G are strongly resolved by some vertex of A. The smallest possible cardinality of any strong metric generator (SSMG) for the graph G is taken as the strong metric dimension of the graph G. Given a family F of graphs defined over a common vertex set V, a set S subset of V is an SSMG for F, if such set S is a strong metric generator for every graph G is an element of F. The simultaneous strong metric dimension of F is the minimum cardinality of any strong metric generator for F, and is denoted by Sds(F). The notion of simultaneous strong resolving graph of a graph family F is introduced in this work, and its usefulness in the study of Sds(F) is described. That is, it is proved that computing Sds(F) is equivalent to computing the vertex cover number of the simultaneous strong resolving graph of F. Several consequences (computational and combinatorial) of such relationship are then deduced. Among them, we remark for instance that we have proved the NP-hardness of computing the simultaneous strong metric dimension of families of paths, which is an improvement (with respect to the increasing difficulty of the problem) on the results known from the literature