On almost universal mixed sums of squares and triangular numbers

In 1997 K. Ono and K. Soundararajan [Invent. Math. 130(1997)] proved that under the generalized Riemann hypothesis any positive odd integer greater than 2719 can be represented by the famous Ramanujan form $x^2+y^2+10z^2$, equivalently the form $2x^2+5y^2+4T_z$ represents all integers greater than 1359, where $T_z$ denotes the triangular number $z(z+1)/2$. Given positive integers $a,b,c$ we employ modular forms and the theory of quadratic forms to determine completely when the general form $ax^2+by^2+cT_z$ represents sufficiently large integers and establish similar results for the forms $ax^2+bT_y+cT_z$ and $aT_x+bT_y+cT_z$. Here are some consequences of our main theorems: (i) All sufficiently large odd numbers have the form $2ax^2+y^2+z^2$ if and only if all prime divisors of $a$ are congruent to 1 modulo 4. (ii) The form $ax^2+y^2+T_z$ is almost universal (i.e., it represents sufficiently large integers) if and only if each odd prime divisor of $a$ is congruent to 1 or 3 modulo 8. (iii) $ax^2+T_y+T_z$ is almost universal if and only if all odd prime divisors of $a$ are congruent to 1 modulo 4. (iv) When $v_2(a)\not=3$, the form $aT_x+T_y+T_z$ is almost universal if and only if all odd prime divisors of $a$ are congruent to 1 modulo 4 and $v_2(a)\not=5,7,...$, where $v_2(a)$ is the 2-adic order of $a$.Comment: 35 page

Sumas y Particiones con Números Poligonales de Rango Positivo

Se usaron resultados recientes relacionados con sumas mixtas de números cuadrados y triangulares con el finn de probar que cada número natural n de la forma n = 8m + k; m 2 N; k 2 f1; 2; 5; 6g, se puede expresar como suma de tres cuadrados de una forma dada. Además, se usaron Particiones-P para obtener fórmulas para el número de algunas composiciones restringidas de un entero positivo n, en el cual cualquier suma parcial de las partes es una suma mixta de números cuadrados y triangulares. / Abstract. We use some recent results concerning universal mixed sums of squares and triangular numbers in order to prove that all positive integers n of the form = 8m + k; m 2 N; k 2 f1; 2; 5; 6g can be written as a sum of three squares of numbers of a given shape. We also some P-Partitions on order to obtain formulas for the number of some restricted compositions of a positive integer n in which any partial sum of the parts is a given mixed sum of squares and triangular numbers.Maestrí

Figurative numbers as a mathematical model for the representation of legality between natural numbers and development of a constructive opinions

Један од основних дидактичких принципа у настави математике је принцип очигледности који подразумева стицање знања визуелизацијом објеката. Визуелизација и репрезентација су од изузетне важности у процесу учења математике и решавања математичких задатака. Још од античког периода датира мишљење чувених филозофа да посредством чула треба доћи до сазнања. Питагорејци су применом очигледности показали да је збир свих непарних бројева од 1 до 2n – 1 једнак n2. Бројни су примери истицања важности очигледности која је само прелазна тачка ка апстрактном мишљењу. У том контексту фигуративни бројеви могу бити одличан апарат за уочавање законитости међу бројевима и развијање визуелно-логичког приступа решавању математичких задатака. Фигуративни бројеви поседују једноставну дефиницију, сликовни приказ и многобројни скуп лако уочљивих законитости између својих чланова. Велики број законитости је установљен у претходном периоду али се стиче утисак да у тој области има још много до сада не откривених веза и релација. Током студијско истраживачког рада обављена су истраживања повезаности фигуративних бројева међусобно као и са природним бројевима, графовима, алгебарским функцијама. Резултати ових истраживања приказани су у 5 научних радова од којих је један публикован у научном часопису међународног значаја. У овој докторској дисертацији изложене су теоријске основе и методолошки оквир истраживања ефикасности увођења фигуративних бројева у наставу математике. Фигуративни бројеви са својим сликовним приказом доприносе визуелизацији и сагледавању законитости међу бројевима, чиме обезбеђују остваривање принципа очигледности. Обављена истраживања су показала да ученици нису у довољној мери навикнути да уочавањем законитости међу бројевима решавају постављене задатке. Такође су показала да након рада са фигуративним бројевима ученици примењују визуелно‒логички приступ проблему и у знатно већој мери успешно решавају задатке са бројним низовима и скуповима. Током истраживања, при раду са ученицима, користили смо савремене технологије што је показало да су ученици у могућности да сврсисходно користе рачунаре и програмске пакете у настави. Такође смо примењивали рад у сарадничким групама. Ученици су током рада на часовима организовани у мале трочлане групе које су састављене од ученика различитог нивоа математичког знања. Такве групе су препоручене од многобројних истраживача ефикасног учења. У дисертацији су описана истраживања која су обављена са ученицима основне и средње школе, њихови резултати и закључци до којих смо дошли. Обавили смо пет истраживања која су обухватила укупно 1148 ученика. Резултати обављених истраживања публиковани су (осим једног који је у процесу рецензије), у домаћим и међународним научним часописима и зборницима научних конференција. Истраживања су показала да фигуративни бројеви могу бити веома добро средство за представљање парадигми и развијање конструктивног мишљења. Дисертација садржи 51 став и 14 теорема у којима су исказане законитости међу природним и фигуративним бројевима, фигуративним бројевима међусобно, фигуративним бројевима и алгебарским функцијама, графовима. Наведене законитости упућују на могућност формирања математичких модела за презентовање разних проблема у области теорије бројева. Наведени су модели који повезују троугаоне бројеве са савршеним бројевима, Питагориним триплетима, Паскаловим троуглом и Фибоначијевим низом бројева

Correspondence of Leonhard Euler with Christian Goldbach

When Leonhard Euler first arrived at the Russian Academy of Sciences, at the age of 20, his career was supported and promoted by the Academy’s secretary, the Prussian jurist and amateur mathematician Christian Goldbach (1690-1764). Their encounter would grow into a lifelong friendship, as evinced by nearly 200 letters sent over 35 years. This exchange – Euler’s most substantial long-term correspondence – has now been edited for the first time with an English translation, ample commentary and documentary indices. These present an overview of 18th-century number theory, its sources and repercussions, many details of the protagonists’ biographies, and a wealth of insights into academic life in St. Petersburg and Berlin between 1725 and 1765. Part I includes an introduction and the original texts of the Euler-Goldbach letters, while Part II presents the English translations and documentary indices