16 research outputs found
A Survey of Automated Deduction
We survey research in the automation of deductive inference, from its beginnings in the early history of computing to the present day. We identify and describe the major areas of research interest and their applications. The area is characterised by its wide variety of proof methods, forms of automated deduction and applications
Least Generalizations and Greatest Specializations of Sets of Clauses
The main operations in Inductive Logic Programming (ILP) are generalization
and specialization, which only make sense in a generality order. In ILP, the
three most important generality orders are subsumption, implication and
implication relative to background knowledge. The two languages used most often
are languages of clauses and languages of only Horn clauses. This gives a total
of six different ordered languages. In this paper, we give a systematic
treatment of the existence or non-existence of least generalizations and
greatest specializations of finite sets of clauses in each of these six ordered
sets. We survey results already obtained by others and also contribute some
answers of our own. Our main new results are, firstly, the existence of a
computable least generalization under implication of every finite set of
clauses containing at least one non-tautologous function-free clause (among
other, not necessarily function-free clauses). Secondly, we show that such a
least generalization need not exist under relative implication, not even if
both the set that is to be generalized and the background knowledge are
function-free. Thirdly, we give a complete discussion of existence and
non-existence of greatest specializations in each of the six ordered languages.Comment: See http://www.jair.org/ for any accompanying file
Investigations in Belnap's Logic of Inconsistent and Unknown Information
Nuel Belnap schlug 1977 eine vierwertige Logik vor, die -- im Gegensatz zur klassischen Logik -- die Faehigkeit haben sollte, sowohl mit widerspruechlicher als auch mit fehlender Information umzugehen. Diese Logik hat jedoch den Nachteil, dass sie Saetze der Form 'wenn ..., dann ...' nicht ausdruecken kann. Ausgehend von dieser Beobachtung analysieren wir die beiden nichtklassischen Aspekte, Widerspruechlichkeit und fehlende Information, indem wir eine dreiwertige Logik entwickeln, die mit widerspruechlicher Information umgehen kann und eine Modallogik, die mit fehlender Information umgehen kann. Beide Logiken sind nicht monoton. Wir untersuchen Eigenschaften, wie z.B. Kompaktheit, Entscheidbarkeit, Deduktionstheoreme und Berechnungkomplexitaet dieser Logiken. Es stellt sich heraus, dass die dreiwertige Logik, nicht kompakt und ihre Folgerungsmenge im Allgemeinen nicht rekursiv aufzaehlbar ist. Beschraenkt man sich hingegen auf endliche Formelmengen, so ist die Folgerungsmenge rekursiv entscheidbar, liegt in der Klasse der polynomiellen Zeithierarchie und ist DIFFP-schwer. Wir geben ein auf semantischen Tableaux basierendes, korrektes und vollstaendiges Berechnungsverfahren fuer endliche Praemissenmengen an. Darueberhinaus untersuchen wir Abschwaechungen der Kompaktheitseigenschaft. Die nichtmonotone auf S5-Modellen basierende Modallogik stellt sich als nicht minder komplex heraus. Auch hier untersuchen wir eine sinnvolle Abschwaechung der Kompaktheitseigenschaft. Desweiteren studieren wir den Zusammenhang zu anderen nichtmonotonen Modallogiken wie Moores autoepistemischer Logik (AEL) und McDermotts NML-2. Wir zeigen, dass unsere Logik zwischen AEL und NML-2 liegt. Schliesslich koppeln wir die entworfene Modallogik mit der dreiwertigen Logik. Die dabei enstehende Logik MKT ist eine Erweiterung des nichtmonotonen Fragments von Belnaps Logik. Wir schliessen unsere Betrachtungen mit einem Vergleich von MKT und verschiedenen informationstheoretischen Logiken, wie z.B. Nelsons N und Heytings intuitionistischer Logik ab
Aspects of the constructive omega rule within automated deduction
In general, cut elimination holds for arithmetical systems with the w -rule, but not for systems with ordinary induction. Hence in the latter, there is the problem of generalisation, since arbitrary formulae can be cut in. This makes automatic theorem -proving very difficult. An important technique for investigating derivability in formal systems of arithmetic has been to embed such systems into semi- formal systems with the w -rule. This thesis describes the implementation of such a system. Moreover, an important application is presented in the form of a new method of generalisation by means of "guiding proofs" in the stronger system, which sometimes succeeds in producing proofs in the original system when other methods fail