Pancake Flipping is Hard

Pancake Flipping is the problem of sorting a stack of pancakes of different sizes (that is, a permutation), when the only allowed operation is to insert a spatula anywhere in the stack and to flip the pancakes above it (that is, to perform a prefix reversal). In the burnt variant, one side of each pancake is marked as burnt, and it is required to finish with all pancakes having the burnt side down. Computing the optimal scenario for any stack of pancakes and determining the worst-case stack for any stack size have been challenges over more than three decades. Beyond being an intriguing combinatorial problem in itself, it also yields applications, e.g. in parallel computing and computational biology. In this paper, we show that the Pancake Flipping problem, in its original (unburnt) variant, is NP-hard, thus answering the long-standing question of its computational complexity.Comment: Corrected reference

Restricted assignment scheduling with resource constraints

We consider parallel machine scheduling with job assignment restrictions, i.e., each job can only be processed on a certain subset of the machines. Moreover, each job requires a set of renewable resources. Any resource can be used by only one job at any time. The objective is to minimize the makespan. We present approximation algorithms with constant worst-case bound in the case that each job requires only a fixed number of resources. For some special cases optimal algorithms with polynomial running time are given. If any job requires at most one resource and the number of machines is fixed, we give a PTAS. On the other hand we prove that the problem is APX-hard, even when there are just three machines and the input is restricted to unit-time jobs. (C) 2018 Published by Elsevier B.V

PTAS for Sparse General-Valued CSPs

We study polynomial-time approximation schemes (PTASes) for constraint satisfaction problems (CSPs) such as Maximum Independent Set or Minimum Vertex Cover on sparse graph classes. Baker's approach gives a PTAS on planar graphs, excluded-minor classes, and beyond. For Max-CSPs, and even more generally, maximisation finite-valued CSPs (where constraints are arbitrary non-negative functions), Romero, Wrochna, and \v{Z}ivn\'y [SODA'21] showed that the Sherali-Adams LP relaxation gives a simple PTAS for all fractionally-treewidth-fragile classes, which is the most general "sparsity" condition for which a PTAS is known. We extend these results to general-valued CSPs, which include "crisp" (or "strict") constraints that have to be satisfied by every feasible assignment. The only condition on the crisp constraints is that their domain contains an element which is at least as feasible as all the others (but possibly less valuable). For minimisation general-valued CSPs with crisp constraints, we present a PTAS for all Baker graph classes -- a definition by Dvo\v{r}\'ak [SODA'20] which encompasses all classes where Baker's technique is known to work, except possibly for fractionally-treewidth-fragile classes. While this is standard for problems satisfying a certain monotonicity condition on crisp constraints, we show this can be relaxed to diagonalisability -- a property of relational structures connected to logics, statistical physics, and random CSPs

Case studies in quantum adiabatic optimization

Thesis (Ph. D.)--Massachusetts Institute of Technology, Dept. of Physics, 2011.Cataloged from PDF version of thesis.Includes bibliographical references (p. 139-143).Quantum adiabatic optimization is a quantum algorithm for solving classical optimization problems (E. Farhi, J. Goldstone, S. Gutmann, and M. Sipser. Quantum computation by adiabatic evolution, 2000. arXiv:quant-ph/0001106). The solution to an optimization problem is encoded in the ground state of a "problem Hamiltonian" Hp which acts on the Hilbert space of n spin 1/2 particles and is diagonal in the Pauli z basis. To produce this ground state, one first initializes the quantum system in the ground state of a different Hamiltonian and then adiabatically changes the Hamiltonian into Hp. Farhi et al suggest the interpolating Hamiltonian [mathematical formula] ... where the parameter s is slowly changed as a function of time between 0 and 1. The running time of this algorithm is related to the minimum spectral gap of H(s) for s E (0, 11. We study such transverse field spin Hamiltonians using both analytic and numerical techniques. Our approach is example-based, that is, we study some specific choices for the problem Hamiltonian Hp which illustrate the breadth of phenomena which can occur. We present I A random ensemble of 3SAT instances which this algorithm does not solve efficiently. For these instances H(s) has a small eigenvalue gap at a value s* which approaches 1 as n - oc. II Theorems concerning the interpolating Hamiltonian when Hp is "scrambled" by conjugating with a random permutation matrix. III Results pertaining to phase transitions that occur as a function of the transverse field. IV A new quantum monte carlo method which can be used to compute ground state properties of such quantum systems. We discuss the implications of our results for the performance of quantum adiabatic optimization algorithms.by David Gosset.Ph.D

Vergleichen und Aggregieren von partiellen Ordnungen

Das Vergleichen und Aggregieren von Informationen ist ein zentraler Bereich in der Analyse von Wahlsystemen. In diesen müssen die verschiedenen Meinungen von Wählern über eine Menge von Kandidaten zu einem möglichst gerechten Wahlergebnis aggregiert werden. In den meisten politischen Wahlen entscheidet sich jeder Wähler durch Ankreuzen für einen einzigen Kandidaten. Daneben werden aber auch Rangordnungsprobleme als eine Variante von Wahlsystemen untersucht. Bei diesen bringt jeder Wähler seine Meinung in Form einer totalen Ordnung über der Menge der Kandidaten zum Ausdruck, wodurch seine oftmals komplexe Meinung exakter repräsentiert werden kann als durch die Auswahl eines einzigen, favorisierten Kandidaten. Das Wahlergebnis eines Rangordnungsproblems ist dann eine ebenfalls totale Ordnung der Kandidaten, welche die geringste Distanz zu den Meinungen der Wähler aufweist. Als Distanzmaße zwischen zwei totalen Ordnungen haben sich neben anderen Kendalls Tau-Distanz und Spearmans Footrule-Distanz etabliert. Durch moderne Anwendungsmöglichkeiten von Rangordnungsproblemen im maschinellen Lernen, in der künstlichen Intelligenz, in der Bioinformatik und vor allem in verschiedenen Bereichen des World Wide Web rücken bereits bekannte, jedoch bislang eher wenig studierte Aspekte in den Fokus der Forschung. Zum einen gewinnt die algorithmische Komplexität von Rangordnungsproblemen an Bedeutung. Zum anderen existieren in vielen dieser Anwendungen unvollständige „Wählermeinungen“ mit unentschiedenen oder unvergleichbaren Kandidaten, so dass totale Ordnungen zu deren Repräsentation nicht länger geeignet sind. Die vorliegende Arbeit greift diese beiden Aspekte auf und betrachtet die algorithmische Komplexität von Rangordnungsproblemen, in denen Wählermeinungen anstatt durch totale Ordnungen durch schwache oder partielle Ordnungen repräsentiert werden. Dazu werden Kendalls Tau-Distanz und Spearmans Footrule-Distanz auf verschiedene nahe liegende Arten verallgemeinert. Es zeigt sich dabei, dass nun bereits die Distanzberechnung zwischen zwei Ordnungen ein algorithmisch komplexes Problem darstellt. So ist die Berechnung der verallgemeinerten Versionen von Kendalls Tau-Distanz oder Spearmans Footrule-Distanz für schwache Ordnungen noch effizient möglich. Sobald jedoch partielle Ordnungen betrachtet werden, sind die Probleme NP-vollständig, also vermutlich nicht mehr effizient lösbar. In diesem Fall werden Resultate zur Approximierbarkeit und zur parametrisierten Komplexität der Probleme vorgestellt. Auch die Komplexität der Rangordnungsprobleme selbst erhöht sich. Für totale Ordnungen effizient lösbare Varianten werden für schwache Ordnungen NP-vollständig, für totale Ordnungen NP-vollständige Varianten hingegen liegen für partielle Ordnungen teilweise außerhalb der Komplexitätsklasse NP. Die Arbeit schließt mit einem Ausblick auf offene Problemstellungen