VC-saturated set systems

The well-known Sauer lemma states that a family $\mathcal{F}\subseteq 2^{[n]}$ of VC-dimension at most $d$ has size at most $\sum_{i=0}^d\binom{n}{i}$. We obtain both random and explicit constructions to prove that the corresponding saturation number, i.e., the size of the smallest maximal family with VC-dimension $d\ge 2$, is at most $4^{d+1}$, and thus is independent of $n$

Equilibration via Gaussification in fermionic lattice systems

In this work, we present a result on the non-equilibrium dynamics causing equilibration and Gaussification of quadratic non-interacting fermionic Hamiltonians. Specifically, based on two basic assumptions - clustering of correlations in the initial state and the Hamiltonian exhibiting delocalizing transport - we prove that non-Gaussian initial states become locally indistinguishable from fermionic Gaussian states after a short and well controlled time. This relaxation dynamics is governed by a power-law independent of the system size. Our argument is general enough to allow for pure and mixed initial states, including thermal and ground states of interacting Hamiltonians on and large classes of lattices as well as certain spin systems. The argument gives rise to rigorously proven instances of a convergence to a generalized Gibbs ensemble. Our results allow to develop an intuition of equilibration that is expected to be more generally valid and relates to current experiments of cold atoms in optical lattices.Comment: 5+15 pages, 3 figures, presentation improve

k-Sums in abelian groups

Given a finite subset A of an abelian group G, we study the set k \wedge A of all sums of k distinct elements of A. In this paper, we prove that |k \wedge A| >= |A| for all k in {2,...,|A|-2}, unless k is in {2,|A|-2} and A is a coset of an elementary 2-subgroup of G. Furthermore, we characterize those finite subsets A of G for which |k \wedge A| = |A| for some k in {2,...,|A|-2}. This result answers a question of Diderrich. Our proof relies on an elementary property of proper edge-colourings of the complete graph.Comment: 15 page

Non-equilibrium dynamics in quantum simulators

This thesis summarizes a course of investigation of various aspects of non-equilibrium dynamics in isolated quantum systems which can be controlled to the extent that one can speak of not just realizing but rather simulating a desired physical effect. The first subject considered concerns a general question of relaxation in a large class of physical models. It is rigorously proven that equilibration can occur for arbitrary local observables despite the entire system being perfectly isolated. Various mechanisms responsible for convergence to local equilibrium are highlighted. These involve in particular the memory loss of non-Gaussian correlations following an interaction quench, a notion of Gaussian ergodicity and a proof of the emergence of translation invariance of correlations due to the presence of this symmetry in the Hamiltonian governing the evolution. These results provide the long time and large system size asymptotics facilitating a thermodynamic limit, but at the same time are relevant for state-of-the-art quantum simulation experiments with large numbers of ultra-cold atoms: A related effect has been observed in a one-dimensional phononic quantum field simulator and additionally a method is provided to study relaxation dynamics of this type in optical lattice quantum simulators. Within the second theme explored in this thesis a novel quantum read-out method is proposed and applied in continuous field quantum simulators which allowed for the first time to measure experimentally various thermodynamical properties of one-dimensional quasi-condensates. In particular, tomographic results concerning thermal properties, non-commuting observables, momentum and time-resolved occupation numbers of phonons are presented. Finally, ideas for practical benchmarking of the dynamics of certain closed quantum systems are put forward, based on the concept of a fidelity witness. It is demonstrated that fidelity, despite being a sensitive measure for large systems, can be efficiently estimated for non-equilibrium dynamics in coherent quantum simulators implementing paradigmatic models of condensed matter physics. The method developed has already found an independent application in studies of variational quantum circuits aiming at achieving so-called quantum chemistry accuracy using the Sycamore quantum processor. The fact that all three themes of research laid out in this thesis have found an experimental realization hints at a prognosis for future developments in physics that it will become standard that quantum simulators will realize experimentally novel theoretical ideas on demand and the time between theoretical insights and experimental observations will be dramatically shortened.Diese Dissertation fasst eine Reihe von Untersuchungen zu unterschiedlichen Aspekten von Nichtgleichgewichtsdynamik in isolierten Quantensystemen zusammen, die in einem Maße präzise kontrolliert werden können, dass man nicht nur von der Realisierung eines physikalischen Effektes, sondern von seiner Simulation sprechen kann. Das erste Thema befasst sich mit einer allgemeiner Frage der Relaxationdynamik in einer grosser Klasse von physikalischen Modellen. Es wird in diesem Rahmen rigoros bewiesen, dass eine Equilibrierung von beliebigen lokalen Observablen auch dann generisch vorliegen kann, wenn das System perfekt isoliert bleibt. Unterschiedliche Mechanismen werden herausgestellt, die für die Konvergenz zu lokalem Gleichgewicht verantwortlich sind. Dies betrifft insbesondere der Gedächtnisverlust von nicht-Gaußchen Korrelationen nach schnellen Änderungen von Wechselwirkungen, eine Begrifflichkeit von Gaußscher Ergodizität und der Beweis einer Emergenz von Translationsinvarianz in Situationen, in denen der Hamiltonoperator eine solche Symmetrie aufweist. Diese Resultate ergeben die Asymptotik eines Übergangs zu langen Zeiten und großen Systemen, die einen thermodynamischen Limes abbilden. Sie sind aber gleichermaßen relevant für moderne Quantensimulationsexperimente, wie sie derzeit mit großskaligen Systemen ultrakalter Atome durchgeführt werden: Ein artverwandter Effekt wurde in einem eindimensionalen Quantenfeldsimulator beobachtet. Aufbauend auf diesen Ergebnissen werden Methoden bereitgestellt zur Untersuchung der Nichtgleichgewichtsdynamik von Systemen ultrakalter Atome in optischen Gittern. Im zweiten Teil der Arbeit wird eine neuartige Auslesemethode vorgeschlagen und auf Quantensimulatoren kontinuierlicher Quantenfelder angewendet, die tatsächlich experimentell erprobt wurde, was erstmals erlaubte, verschiedene thermodynamische Eigenschaften von eindimensionalen Quasikondensaten experimentell zu vermessen. Insbesondere werden tomographische Resultate über thermische Eigenschaften präsentiert, über Erwartungswerte von nichtkommutierenden Observablen und auch Besetzungen von Phononenmoden, in Impuls und Zeit aufgelöst. Schließlich werden Ideen vorgestellt über die Zertifikation der Quantendynamik abgeschlossener Quantensysteme, basierende auf der Idee eines sogenannten Fidelitätszeugen. Es wird gezeigt, dass die Fidelität - eine inhärent fragile Größe für große Quantensysteme - effizient geschätzt werden kann für die Nichtgleichgewichtsdynamik kohärenter Quantensimulatoren, die paradigmatische Systeme aus der Physik der kondensierten Materie implementieren. Die so entwickelte Methode hat bereits eine unabhängige Anwendung gefunden in Studien variationeller Quantenschaltkreise, die darauf abzielen, das Genauigkeitsniveau der Quantenchemie zu erreichen, den Sycamore Quantenprozessor verwendend. Die Tatsache, dass alle drei in dieser Dissertation präsentierten theoretischen Forschungsrichtungen bereits experimentell realisiert werden konnten, deutet darauf hin, dass hier eine Prognose aufgegriffen werden kann, nach der es Standard wird, dass Quantensimulatoren theoretische Ideen gezielt aufgreifen können und die Zeit zwischen theoretischer Einsicht und experimenteller Bestätigung dramatisch verkürzt wird

Additive Combinatorics: A Menu of Research Problems

This text contains over three hundred specific open questions on various topics in additive combinatorics, each placed in context by reviewing all relevant results. While the primary purpose is to provide an ample supply of problems for student research, it is hopefully also useful for a wider audience. It is the author's intention to keep the material current, thus all feedback and updates are greatly appreciated.Comment: This August 2017 version incorporates feedback and updates from several colleague