Maximal curves from subcovers of the GK-curve

For every $q=n^3$ with $n$ a prime power greater than $2$, the GK-curve is an $\mathbb F_{q^2}$-maximal curve that is not $\mathbb F_{q^2}$-covered by the Hermitian curve. In this paper some Galois subcovers of the GK curve are investigated. We describe explicit equations for some families of quotients of the GK-curve. New values in the spectrum of genera of $\mathbb F_{q^2}$-maximal curves are obtained. Finally, infinitely many further examples of maximal curves that cannot be Galois covered by the Hermitian curve are provided

On maximal curves in cubic surfaces

Orientador: Fernando Eduardo Torres OrihuelaTese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática Estatística e Computação CientíficaResumo: O estudo das curvas maximais foi renovado após Goppa ter mostrado suas aplicações na Teoria de Códigos. Uma curva maximal bem conhecida e estudada (em diferentes contextos) é a curva Hermitiana; a partir dela, surgem outras como os quocientes desta por subgrupos de automorfismos. De fato atualmente sabe-se que existem curvas maximais que não são do tipo acima: a chamada curva GK (e alguns de seus quocientes). Nesta tese estudamos curvas maximais cujo gênero satisfaz condições relativas ao número de Castelnuovo para curvas espaciais. Logo, tendo como suporte um resultado de Joe Harris em característica zero conjecturamos um análogo para característica positiva e mostramos que essas curvas maximais estão contidas numa superfície cúbica. Assim calculamos um invariante geométrico da curva e vemos que, exceto um caso, existe uma curva que os realizam. Para finalizar exibimos dois modelos planos de curvas maximais que são birracionalmente equivalentes e generalizamos um exemplo de Fanali-Giulietti o qual nos permite escrever novos modelos planos de curvas maximaisAbstract: The study of maximal curves was renewed after Goppa have shown their applications in Coding Theory. A well-known and studied maximal curve (in different contexts) is the Hermitian curve; from such a curve, there are others like their quotients by subgroups of automorphisms. Currently it is known that there are maximal curves which do not arise as above, namely the so-called GK-curve (and some of its quotients). This thesis studied maximal curves whose genus satisfy conditions regarding the number of Castelnuovo of space curves. Therefore, having supported on a result of Joe Harris in zero characteristic, we conjecture an analog in positive characteristic and we show that these maximal curves are contained in a cubic surface. So we manage to compute a geometric invariant of the curve and we see that, except one case, there is a curve that performs such invariants. Finally, we show two plane models of a certain maximal curves which are birationally equivalent and we also generalize an example of Fanali-Giulietti which allows us to write new plane models of maximal curvesDoutoradoMatematicaDoutor em Matemátic