Continuum limit of the nonlocal p-Laplacian evolution problem on random inhomogeneous graphs

International audienceIn this paper we study numerical approximations of the evolution problem for the nonlocal p-Laplacian operator with homogeneous Neumann boundary conditions on inhomogeneous random conver-gent graph sequences. More precisely, for networks on convergent inhomogeneous random graph sequences (generated first by deterministic and then random node sequences), we establish their continuum limits and provide rate of convergence of solutions for the discrete models to their continuum counterparts as the number of vertices grows. Our bounds reveals the role of the different parameters, and in particular that of p and the geometry/regularity of the data

Limits and consistency of non-local and graph approximations to the Eikonal equation

In this paper, we study a non-local approximation of the time-dependent (local) Eikonal equation with Dirichlet-type boundary conditions, where the kernel in the non-local problem is properly scaled. Based on the theory of viscosity solutions, we prove existence and uniqueness of the viscosity solutions of both the local and non-local problems, as well as regularity properties of these solutions in time and space. We then derive error bounds between the solution to the non-local problem and that of the local one, both in continuous-time and Backward Euler time discretization. We then turn to studying continuum limits of non-local problems defined on random weighted graphs with $n$ vertices. In particular, we establish that if the kernel scale parameter decreases at an appropriate rate as $n$ grows, then almost surely, the solution of the problem on graphs converges uniformly to the viscosity solution of the local problem as the time step vanishes and the number vertices $n$ grows large

Rates of convergence for regression with the graph Poly-Laplacian

In the (special) smoothing spline problem one considers a variational problem with a quadratic data fidelity penalty and Laplacian regularisation. Higher order regularity can be obtained via replacing the Laplacian regulariser with a poly-Laplacian regulariser. The methodology is readily adapted to graphs and here we consider graph poly-Laplacian regularisation in a fully supervised, non-parametric, noise corrupted, regression problem. In particular, given a dataset {xi}ni=1 and a set of noisy labels {yi}ni=1⊂R we let un:{xi}ni=1→R be the minimiser of an energy which consists of a data fidelity term and an appropriately scaled graph poly-Laplacian term. When yi=g(xi)+ξi, for iid noise ξi, and using the geometric random graph, we identify (with high probability) the rate of convergence of un to g in the large data limit n→∞. Furthermore, our rate, up to logarithms, coincides with the known rate of convergence in the usual smoothing spline model

Nonlocal doubly nonlinear diffusion problems with nonlinear boundary conditions

We study the existence and uniqueness of mild and strong solutions of nonlocal nonlinear diffusion problems of $p$-Laplacian type with nonlinear boundary conditions posed in metric random walk spaces. These spaces include, among others, weighted discrete graphs and $\mathbb{R}^N$ with a random walk induced by a nonsingular kernel. We also study the case of nonlinear dynamical boundary conditions. The generality of the nonlinearities considered allow us to cover the nonlocal counterparts of a large scope of local diffusion problems: Stefan problems, Hele-Shaw problems, diffusion in porous media problems, obstacle problems, and more. Nonlinear semigroup theory is the basis for this study

Nonlocal p-Laplacian evolution problems on graphs

National audienceL' équation d'évolution du p-Laplacien non-local, gou-vernée par un noyau donné, a de très nombreuses applications pour modéliser les phénomènes de diffusion, notam-ment en traitement du signal et des images sur graphes. En pratique, cette équation d'évolution est implémenté sous une forme discrète (en temps et en espace) comme une approximation numérique du problème continu, où le noyau est remplacé par la matrice d'adjacence d'un graphe. La question naturelle est alors d'étudier la structure des solutions du problème discret et d'en établir la limite continue. C'est l'objectif poursuivi dans ce travail. En combinant des outils issus de la théorie des graphes et des équations d'évolution non-linéaires, nous donnons une interprétation rigoureuse à la limite continue du probléme du p-Laplacien discret sur graphes. Plus spécifiquement, nous considérons une suite de graphes déterministes, pondérés dont l'objet limite est appelé graphon. L'équation d'évolution du p-Laplacien est alors discrétisée en temps et en espace sur cette suite de graphes. Ainsi, nous prouvons la convergence des solutions de la suite des problèmes discrétisés vers la solution du problème d'évolution continu gouverné par le graphon lorsque le nombre des noeuds du graphe tend vers l'infini. Ce faisant, nous exhibons le vitesse de convergence correspondante. Mots Clef Diffusion nonlocale; p-Laplacien; limites de graphes; approximation numérique. Abstract The non-local p-Laplacian evolution equation, governed by given kernel, has various applications to model diffusion phenomena, in particular in signal and image processing. In practice, such an evolution equation is implemented in discrete form (in space and time) as a numerical approximation to a continuous problem, where the kernel is replaced by an adjacency matrix of graph. The natural question that arises is to understand the structure of solutions to the discrete problem, and study their continuous limit. This is the goal pursued in this work. Combining tools from graph theory and non-linear evolution equations , we give a rigorous interpretation to the continuous limit of the discrete p-Laplacian on graphs. More specifically , we consider a sequence of deterministic weighted graphs converging to a so-called graphon. The continuous p-Laplacian evolution equation is then discretized on this graph sequence both in space and time. We therefore prove that the solutions of the sequence of discrete problems converge to the solution of the continuous evolution problem governed by the graphon, when the number of graph ver-tices grows to infinity. We exhibit the corresponding convergence rate

Nonlocal p-Laplacian evolution problems on graphs

International audienceIn this paper we study numerical approximations of the evolution problem for the nonlocal p-Laplacian with homogeneous Neumann boundary conditions. First, we derive a bound on the distance between two continuous-in-time trajectories defined by two different evolution systems (i.e. with different kernels and initial data). We then provide a similar bound for the case when one of the trajectories is discrete-in-time and the other is continuous. In turn, these results allow us to establish error estimates of the discretized p-Laplacian problem on graphs. More precisely, for networks on convergent graph sequences (simple and weighted graphs), we prove convergence and provide rate of convergence of solutions for the discrete models to the solution of the continuous problem as the number of vertices grows. We finally touch on the limit as p → ∞ in these approximations and get uniform convergence results

Gradient flows in random walk spaces

El món digital ha comportat l'aparició de molts tipus de dades, de mida i complexitat creixents. De fet, els dispositius moderns ens permeten obtenir fàcilment imatges de major resolució, així com recopilar dades sobre cerques a la xarxa, anàlisis sanitàries, xarxes socials, sistemes d'informació geogràfica, etc. En conseqüència, l'estudi i el tractament d'aquests grans conjunts de dades té un gran interès i valor. En aquest sentit, els grafs ponderats proporcionen un espai de treball natural i flexible on representar les dades. En aquest context, un vèrtex representa una dada concreta i a cada aresta se li assigna un pes segons alguna mesura de semblança adequadament triada entre els vèrtexs corresponents. Històricament, les principals eines per a l’estudi de grafs provenien de la combinatòria i la teoria de grafs. No obstant això, després de la implementació de l'operador laplacià (discret) associat a un graf en el desenvolupament de l'agrupació espectral als anys setanta, la teoria d'equacions diferencials parcials en grafs ha obtingut resultats importants en aquest camp. Això ha provocat un gran augment de la investigació de les equacions diferencials parcials en grafs. A més, l'interès s'ha vist reforçat per l'estudi de problemes en el processament d'imatges. En aquesta àrea de recerca, els píxels juguen el paper dels vèrtexs i els pesos estan associats a la similitud entre els píxels corresponents. La forma en què es defineixen aquests pesos depèn del problema que ens ocupa. D'una altra banda, sigui J una funció no negativa de R^N en R, radialment simètrica i contínua amb integral igual a 1. Equacions d'evolució no local de la forma: u_t(x,t)=\int_{R^N}J(y-x)u(y,t)dy-u(x,t) i les seves variacions, han sorgit de manera natural en diversos camps científics com a mitjà per modelar una àmplia gamma de processos de difusió. Per exemple, en biologia, sistemes de partícules, models de coagulació, models anisotròpics no locals per a transicions de fase, finances matemàtiques mitjançant una teoria de control òptima, processament d'imatges, etc. Un raonament intuïtiu que explica el grau d'aplicabilitat d’aquest model prové de pensar en u(x,t) com la densitat d’una població en un punt x en el moment t i en J(y-x) com a la distribució de probabilitats de passar de y a x en un salt. Aleshores, \int_{R^N}J(y-x)u(y,t)dy és la taxa a la qual els individus arriben a x des de qualsevol altre lloc i -u(x,t)=-\int_{R^N} J(y-x)u(x,t)dy és la velocitat a la qual surten de la ubicació x. Per tant, en absència de fonts externes o internes, ens conduirà a l'equació anterior com a model per a l'evolució de la densitat de població al llarg del temps. Recapitulant, hem avançat dos casos en què hi ha un gran interès en l’estudi d’equacions diferencials parcials en un entorn no local (o discret). L'anàlisi de la formulació peridinàmica de la mecànica contínua, així com l'estudi dels processos de salt de Markov i altres models no locals, han augmentat aquest interès. L'objectiu d'aquesta tesi és unificar en un marc ampli l'estudi de molts dels problemes esmentats anteriorment. Per fer-ho, observem que hi ha una forta relació entre alguns d’aquests problemes i la teoria de la probabilitat, i és en aquest camp on trobem els espais adequats per desenvolupar aquest estudi unificador. Concretament, els espais de passeig aleatori proporcionen el marc adequat per complir els nostres objectius d'unificar una àmplia varietat de models no locals. Aquests espais estan constituïts per un espai mesurable (X,B) i un nucli de probabilitat de transició P en X que codifica els salts d'un procés de Markov. Adoptarem la notació m_x:=P(x,.) per a cada x a X. A més, requerirem una mena de propietat d'estabilitat per a aquests espais, és a dir, l'existència d'una mesura invariant \nu. Aleshores, direm que [X, B, m, \nu] és un espai de passeig aleatori. Degut a la generalitat d’aquests espais, els resultats que obtindrem tindran un gran ventall d’aplicabilitat a una àmplia gamma de problemes d’evolució sorgits en diversos camps científics. Malauradament, aquest marc no cobreix problemes relacionats amb el nucli fraccionari degut a la seva naturalesa singular. Durant els darrers anys i tenint en compte l’objectiu esmentat, hem estudiat alguns fluxos gradient en el marc general d’un espai de passeig aleatori. En particular, hem estudiat el flux de la calor, el flux per la variació total i problemes d’evolució del tipus Leray-Lions amb diferents tipus de condicions de frontera no homogènies. Concretament, juntament amb l’existència i la unicitat de solucions a aquests problemes i el comportament asimptòtic de les seves solucions, s’han estudiat una àmplia varietat de propietats, així com els operadors de difusió no locals que hi participen