Konstruksi Famili Graf Hampir Planar dengan Angka Perpotongan Tertentu

KONSTRUKSI FAMILI GRAF HAMPIR PLANAR DENGAN ANGKA PERPOTONGAN TERTENTU Benny Pinontoan1) 1) Program Studi Matematika FMIPA Universitas Sam Ratulangi Manado, 95115ABSTRAK Sebuah graf adalah pasangan himpunan tak kosong simpul dan himpunan sisi. Graf dapat digambar pada bidang dengan atau tanpa perpotongan. Angka perpotongan adalah jumlah perpotongan terkecil di antara semua gambar graf pada bidang. Graf dengan angka perpotongan nol disebut planar. Graf memiliki penerapan penting pada desain Very Large Scale of Integration (VLSI). Sebuah graf dinamakan perpotongan kritis jika penghapusan sebuah sisi manapun menurunkan angka perpotongannya, sedangkan sebuah graf dinamakan hampir planar jika menghapus salah satu sisinya membuat graf yang sisa menjadi planar. Banyak famili graf perpotongan kritis yang dapat dibentuk dari bagian-bagian kecil yang disebut ubin yang diperkenalkan oleh Pinontoan dan Richter (2003). Pada tahun 2010, Bokal memperkenalkan operasi perkalian zip untuk graf. Dalam artikel ini ditunjukkan sebuah konstruksi dengan menggunakan ubin dan perkalian zip yang jika diberikan bilangan bulat k ³ 1, dapat menghasilkan famili tak hingga graf hampir planar dengan angka perpotongan k. Kata kunci: angka perpotongan, ubin graf, graf hampir planar. CONSTRUCTION OF INFINITE FAMILIES OF ALMOST PLANAR GRAPH WITH GIVEN CROSSING NUMBER ABSTRACT A graph is a pair of a non-empty set of vertices and a set of edges. Graphs can be drawn on the plane with or without crossing of its edges. Crossing number of a graph is the minimal number of crossings among all drawings of the graph on the plane. Graphs with crossing number zero are called planar. Crossing number problems find important applications in the design of layout of Very Large Scale of Integration (VLSI). A graph is crossing-critical if deleting of any of its edge decreases its crossing number. A graph is called almost planar if deleting one edge makes the graph planar. Many infinite sequences of crossing-critical graphs can be made up by gluing small pieces, called tiles introduced by Pinontoan and Richter (2003). In 2010, Bokal introduced the operation zip product of graphs. This paper shows a construction by using tiles and zip product, given an integer k ³ 1, to build an infinite family of almost planar graphs having crossing number k

Crossing-critical graphs with large maximum degree

A conjecture of Richter and Salazar about graphs that are critical for a fixed crossing number $k$ is that they have bounded bandwidth. A weaker well-known conjecture of Richter is that their maximum degree is bounded in terms of $k$. In this note we disprove these conjectures for every $k\ge 171$, by providing examples of $k$-crossing-critical graphs with arbitrarily large maximum degree