An application of Grossone to the study of a family of tilings of the hyperbolic plane

In this paper, we look at the improvement of our knowledge on a family of tilings of the hyperbolic plane which is brought in by the use of Sergeyev's numeral system based on grossone. It appears that the information we can get by using this new numeral system depends on the way we look at the tilings. The ways are significantly different but they confirm some results which were obtained in the traditional but constructive frame and allow us to obtain an additional precision with respect to this information.Comment: 25 pages, 13 figures. The paper will appear in the journal Applied Mathematics and Computations, see below at DO

Algorithms for distance problems in planar complexes of global nonpositive curvature

CAT(0) metric spaces and hyperbolic spaces play an important role in combinatorial and geometric group theory. In this paper, we present efficient algorithms for distance problems in CAT(0) planar complexes. First of all, we present an algorithm for answering single-point distance queries in a CAT(0) planar complex. Namely, we show that for a CAT(0) planar complex K with n vertices, one can construct in O(n^2 log n) time a data structure D of size O(n^2) so that, given a point x in K, the shortest path gamma(x,y) between x and the query point y can be computed in linear time. Our second algorithm computes the convex hull of a finite set of points in a CAT(0) planar complex. This algorithm is based on Toussaint's algorithm for computing the convex hull of a finite set of points in a simple polygon and it constructs the convex hull of a set of k points in O(n^2 log n + nk log k) time, using a data structure of size O(n^2 + k)

Self-Organized Maps

Se han obtenido los siguientes resultados: (1) Estudio de topologías bidimensionales alternativas: se muestra la importancia de topologías alternativas basadas en áreas ajenas como las teselaciones. (2) Estudio comparativo de topologías en una, dos y tres dimensiones: se revela la influencia de la dimensión en el funcionamiento de una SOM a escala local y global. (3) Estudio de alternativas al movimiento euclídeo: se propone y presenta la alternativa FRSOM al algoritmo SOM clásico. En FRSOM, las neuronas esquivan barreras predefinidas en su movimiento. Las conclusiones más relevantes que emanan de esta Tesis Doctoral son las siguientes: (1) La calidad del clustering y de la preservación topológica de una SOM puede ser mejorada mediante el uso de topologías alternativas y también evitando regiones prohibidas que no contribuyan significativamente al Error Cuadrático Medio (ECM). (2) La dimensióon de la SOM que obtiene mejores resultados es la propia dimensión intrínseca de los datos. Además, en general, valores bajos para la dimensión de la SOM producen mejores resultados en términos del ECM, y valores altos ocasionan mejor aprendizaje de la estructura de los datos.Los mapas auto-organizados o redes de Kohonen (SOM por sus siglas en inglés, self-organizing map) fueron introducidos por el profesor finlandés Teuvo Kalevi Kohonen en los años 80. Un mapa auto-organizado es una herramienta que analiza datos en muchas dimensiones con relaciones complejas entre ellos y los reduce o representa en, usualmente, una, dos o tres dimensiones. La propiedad más importante de una SOM es que preserva las propiedades topológicas de los datos, es decir, que datos próximos aparecen próximos en la representación. La literatura relacionada con los mapas auto-organizados y sus aplicaciones es muy diversa y numerosa. Las neuronas en un mapa auto-organizado clásico están distribuidas en una topología (o malla) bidimensional cuadrada o hexagonal y las distancias entre ellas son distancias euclídeas. Una de las disciplinas de investigación en SOM consiste en la modificación y generalización del algoritmo SOM. Esta Tesis Doctoral por compendio de publicaciones se centra en esta línea de investigación. En concreto, los objetivos desarrollados han sido el estudio de topologías bidimensionales alternativas, el estudio comparativo de topologías de una, dos y tres dimensiones y el estudio de variaciones para la distancia y movimientos euclídeos. Estos objetivos se han abordado mediante el método científico a través de las siguientes fases: aprehensión de resultados conocidos, planteamiento de hipótesis, propuesta de métodos alternativos, confrontación de métodos mediante experimentación, aceptación y rechazo de las diversas hipótesis mediante métodos estadísticos