Model order reduction for bilinear systems with non-zero initial states -- different approaches with error bounds

In this paper, we consider model order reduction for bilinear systems with non-zero initial conditions. We discuss choices of Gramians for both the homogeneous and the inhomogeneous parts of the system individually and prove how these Gramians characterize the respective dominant subspaces of each of the two subsystems. Proposing different, not necessarily structure preserving, reduced order methods for each subsystem, we establish several strategies to reduce the dimension of the full system. For all these approaches, error bounds are shown depending on the truncated Hankel singular values of the subsystems. Besides the error analysis, stability is discussed. In particular, a focus is on a new criterion for the homogeneous subsystem guaranteeing the existence of the associated Gramians and an asymptotically stable realization of the system

Low-dimensional approximations of high-dimensional asset price models

We consider high-dimensional asset price models that are reduced in their dimension in order to reduce the complexity of the problem or the effect of the curse of dimensionality in the context of option pricing. We apply model order reduction (MOR) to obtain a reduced system. MOR has been previously studied for asymptotically stable controlled stochastic systems with zero initial conditions. However, stochastic differential equations modeling price processes are uncontrolled, have non-zero initial states and are often unstable. Therefore, we extend MOR schemes and combine ideas of techniques known for deterministic systems. This leads to a method providing a good pathwise approximation. After explaining the reduction procedure, the error of the approximation is analyzed and the performance of the algorithm is shown conducting several numerical experiments. Within the numerics section, the benefit of the algorithm in the context of option pricing is pointed out

Data-Driven Reduced Model Construction with Time-Domain Loewner Models

This work presents a data-driven nonintrusive model reduction approach for large-scale time-dependent systems with linear state dependence. Traditionally, model reduction is performed in an intrusive projection-based framework, where the operators of the full model are required either explicitly in an assembled form or implicitly through a routine that returns the action of the operators on a vector. Our nonintrusive approach constructs reduced models directly from trajectories of the inputs and outputs of the full model, without requiring the full-model operators. These trajectories are generated by running a simulation of the full model; our method then infers frequency-response data from these simulated time-domain trajectories and uses the data-driven Loewner framework to derive a reduced model. Only a single time-domain simulation is required to derive a reduced model with the new data-driven nonintrusive approach. We demonstrate our model reduction method on several benchmark examples and a finite element model of a cantilever beam; our approach recovers the classical Loewner reduced models and, for these problems, yields high-quality reduced models despite treating the full model as a black box. Key words: data-driven model reduction, nonintrusive model reduction, projection-based reduced models, Loewner framework, black-box models, dynamical systems, partial differential equationsNational Science Foundation (U.S.) (Award 1507488

Redusoitujen dynaamisten sähkömagneettisten mallien kytkeminen piirisimulaattoriin.

The progress made in power electronics has raised new challenges concerning devices which contain magnetic components. It is crucial to be able to model the electromagnetic phenomena inside a device and also the behaviour of the device when it works as a part of a circuit. The first case is usually dealt with using finite element analysis and the second case by using circuit simulators. One goal of this thesis is to allow the results of the detailed analysis to be utilized also in the behavioural study conducted using circuit simulators. In this thesis we firstly introduce some background of electromagnetic modelling. Next two promising methods, proper orthogonal decomposition (POD) and discrete empirical interpolation method (DEIM), are studied with detail and they are applied as an example to a single-phase transformer. The main emphasis is to show how these methods are applied to a dynamic nonlinear electromagnetic model. First a finite element model of the transformer is constructed and reduced. The reduced order model is attached to a circuit simulator Simscape and a simple example circuit is solved to obtain numerical results. The results show that POD and DEIM methods decrease the computational work of the original model and the results remain feasibly accurate. The dimension of the equation system reduces 99% from the original. We also see a 75% decrease in stepwise computational time and a 44% decrease in the computational time of the circuit simulator run. However in this case the performance of the circuit simulator is limited and there is a lot of overhead involved. The reduction is expected to be better if these techniques are applied to larger 3-D problems and if the performance of the circuit simulator coupling is improved. In conclusion these methods can be applied to a general class of dynamic nonlinear electromagnetic problems. They could be used to link finite element models to circuit simulators. It could be possible to develop a software module which creates a circuit model automatically based on some finite element model. The techniques can also be used to form homogenized material models of materials which have a fine microstructure.Tehoelektroniikan kehitys ja yleistyminen asettavat magneettipiirejä sisältäville sähkölaitteille uusia vaatimuksia. On tärkeää pystyä mallintamaan sähkömagneettisia ilmiöitä laitteiden sisällä sekä laitteen käyttäytymistä ulkoisen piirin osana. Tässä työssä tutkitaan mallin redusointimenetelmiä sekä redusoitujen mallien liittämistä piirisimulaattoreihin. Aluksi työssä esitellään sähkömagneettisen mallintamisen perusteoriaa. Tämän jälkeen esitellään lyhyesti elementtimenetelmä sekä työssä käytettyjä muita numeerisia ratkaisumenetelmiä. Työn päätarkoitus on esitellä mallien redusointitekniikoita. Kaksi lupaavinta redusointitekniikkaa, proper orthogonal decomposition (POD) ja discrete empirical interpolation method (DEIM), käsitellään työssä tarkemmin. Näitä kahta menetelmää sovelletaan esimerkinomaisesti yksivaiheisen muuntajan mallintamiseen verkon osana. Näin tullaan esitellyksi menetelmä, jolla kyseisiä mallin redusointimenetelmiä voidaan käyttää yleisesti dynaamisten epälineaaristen sähkömagneettisten mallien redusoimiseen. Muodostettu redusoitu malli liitetään Simscape-piirisimulaattorilla mallinnettuun yksinkertaiseen piiriin tulosten laskemista varten. Saatujen tulosten perusteella voidaan sanoa, että POD- ja DEIM-menetelmät sopivat tähän käyttötarkoitukseen ja niiden tuottamat tulokset ovat riittävän tarkkoja. Lisäksi ne vähentävät tuntuvasti mallien laskentatyötä nopeuttaen piirisimulaattoriin liitettyjen mallien laskenta-aikoja. Elementtimenetelmän avulla saadun yhtälöryhmän koko pienenee 99%$, yhden aika-askeleen kohdalla laskenta-aika vähenee 75% ja piirisimulaattorin suoritusaika vähenee 44% alkuperäiseen malliin verrattuna. Piirisimulaattorikytkentä on tässä työssä suorituskyvyltään huono sekä redusoitava tehtävä alkujaan kevyt. Siksi onkin odotettavissa, että mikäli näitä tekniikoita käytetään työläämpiin 3D-tehtäviin, ja mikäli piirisimulaattorikytkentää tehostetaan päästään parempiin tuloksiin. Jatkossa voisi olla mahdollista kehittää liitännäinen elementtimenetelmäsovellukseen, joka voisi generoida piiriin liitettävän mallin automaattisesti yksityiskohtaisen mallin perusteella. Tekniikoita voidaan käyttää myös hienorakenteisten materiaalien mallien homogenisointiin