Regularization by noise and stochastic Burgers equations

We study a generalized 1d periodic SPDE of Burgers type: $$\partial_t u =- A^\theta u + \partial_x u^2 + A^{\theta/2} \xi$$ where $\theta > 1/2$, $-A$ is the 1d Laplacian, $\xi$ is a space-time white noise and the initial condition $u_0$ is taken to be (space) white noise. We introduce a notion of weak solution for this equation in the stationary setting. For these solutions we point out how the noise provide a regularizing effect allowing to prove existence and suitable estimates when $\theta>1/2$. When $\theta>5/4$ we obtain pathwise uniqueness. We discuss the use of the same method to study different approximations of the same equation and for a model of stationary 2d stochastic Navier-Stokes evolution.Comment: clarifications and small correction

Modulation spaces, Wiener amalgam spaces, and Brownian motions

We study the local-in-time regularity of the Brownian motion with respect to localized variants of modulation spaces M^{p, q}_s and Wiener amalgam spaces W^{p, q}_s. We show that the periodic Brownian motion belongs locally in time to M^{p, q}_s (T) and W^{p, q}_s (T) for (s-1)q < -1, and the condition on the indices is optimal. Moreover, with the Wiener measure \mu on T, we show that (M^{p, q}_s (T), \mu) and (W^{p, q}_s (T), \mu) form abstract Wiener spaces for the same range of indices, yielding large deviation estimates. We also establish the endpoint regularity of the periodic Brownian motion with respect to a Besov-type space \ft{b}^s_{p, \infty} (T). Specifically, we prove that the Brownian motion belongs to \ft{b}^s_{p, \infty} (T) for (s-1) p = -1, and it obeys a large deviation estimate. Finally, we revisit the regularity of Brownian motion on usual local Besov spaces B_{p, q}^s, and indicate the endpoint large deviation estimates.Comment: 35 pages. The introduction is expanded. Appendices are added (A: derivation of Fourier-Wiener series, B: passing estimates from T to bounded intervals on R.) To appear in Adv. Mat

Bounds on the Hausdorff dimension of random attractors

In der vorliegenden Dissertation werden zufällige dynamische Systeme in Hilberträumen und deren Langzeitverhalten diskutiert. Der Schwerpunkt der Arbeit liegt auf der Abschätzung der Hausdorff-Dimension von zufälligen Attraktoren, welche ein wichtiges Merkmal für das Langzeitverhalten darstellen. Eine Besonderheit des ersten Teils der Arbeit ist, dass die Grundmenge des zugrunde liegenden Maßraums eine fraktale Menge ist. Eine solche Menge ist typischerweise eine Teilmenge eines euklidischen Raumes, hat ein leeres Inneres und keinen glatten Rand. Aufgrund dieser Eigenschaften ist eine klassische Differentation von Funktionen auf diesen Mengen nicht möglich. Nach einer Einführung in die Analysis auf Fraktalen und dem zugehörigen Laplace-Operator wird ein zufälliges dynamisches System aus der Lösung einer stochastischen partiellen Differentialgleichung erzeugt und die Existenz eines eindeutigen zufälligen Attraktors diskutiert. Für die Hausdorff-Dimension dieses Attraktors wird im Anschluss eine obere Schranke hergeleitet, die von dem spektralen Exponent des Laplace-Operators abhängt. Insbesondere geben wir im Rahmen eines Beispiels einen numerischen Wert für die obere Schranke an. Der zweite Teil der Arbeit befasst sich mit einer stochastischen partiellen Differentialgleichung, welche von einem multiplikativen Rauschen getrieben wird. Wir beweisen die Existenz des zufälligen Attraktors der zugehörigen Dynamik und die Existenz einer invarianten instabilen Mannigfaltigkeit. Um eine untere Abschätzung für die Hausdorff-Dimension des Attraktors zu erhalten, projizieren wir eine Teilmenge der Mannigfaltigkeit, welche auch Teilmenge des Attraktors ist, auf den instablen Teilraum des Hilbertraums

Mini-Workshop: Dynamics of Stochastic Systems and their Approximation

The aim of this workshop was to bring together specialists in the area of stochastic dynamical systems and stochastic numerical analysis to exchange their ideas about the state of the art of approximations of stochastic dynamics. Here approximations are considered in the analytical sense in terms of deriving reduced dynamical systems, which are less complex, as well as in the numerical sense via appropriate simulation methods. The main theme is concerned with the efficient treatment of stochastic dynamical systems via both approaches assuming that ideas and methods from one ansatz may prove beneficial for the other. A particular goal was to systematically identify open problems and challenges in this area