Aszimptotikus módszerek a sztochasztikában = Asymptotic methods in stochastics

A véletlen bolyongás témakörében vizsgáltuk tranziens esetben a lokális idő tulajdonságait, különös tekintettel a sokszor meglátogatott pontokra, ill. azok környezetére. Ezen eredmények Erdős és Taylor klasszikus eredményeit élesítik, ill. terjesztik ki. A közgazdasági matematikában fontos szerepet játszó ARCH és GARCH folyamatok és általánositásaik valószinűségszámítási és statisztikai tulajdonságaival foglalkoztunk, többek között a paraméterbecslések, konzisztencia problémák, határeloszlások és nemparaméteres módszerek területén. Pszeudovéletlen számokkal kapcsolatban vizsgáltuk azok egyenletességét egy új mértékszám, az ún. well-distribution measure alapján. Analízisbeli módszerek segitségével meghatároztuk néhány klasszikus pszeudovéletlen konstrukció diszkrepanciáját is. Véletlen fákkal kapcsolatban a Barabási-Albert modellt és annak különböző általánositásait vizsgáltuk, azokra fokszámeloszlást, valamint a maximális fokszám tulajdonságait határoztuk meg. Erős invariancia tételeket adtunk meg a bolyongás kirándulásainak hosszára és magasságára, a kétdimenziós Wiener folyamat additív funkcionáljaira, valamint a háromdimenziós Wiener folyamat trajektóriája körüli tartományra (Wiener sausage). | For transient random walks we investigated the properties of local times, in particular the frequently visited points and their neighbors. These extend the classical results of Erdős and Taylor. We investigated the probabilistic and statistical properties of ARCH and GARCH processes, playing an important role in financial mathematics and econometrics. In particular, we proved several results for the parameter estimation, consistency problems, limit distributions and nonparametric procedures for such processes. Concerning pseudorandom numbers, we investigated their uniformity, based on the so-called well-distribution measure. Using methods of analysis, we studied also the discrepancy of pseudorandom constructions. For random trees we investigated the Barabási-Albert model and its generalizations. We determined degree distributions and the properties of maximal degree. We have established strong invariance principles for lengths and heights of random walk excursions, additive functionals of two-dimensional Wiener process and the Wiener sausage in three dimension

Ages of records in random walks

We consider random walks with continuous and symmetric step distributions. We prove universal asymptotics for the average proportion of the age of the kth longest lasting record for k=1,2,... and for the probability that the record of the kth longest age is broken at step n. Furthermore, we show that the ranked sequence of proportions of ages converges to the Poisson-Dirichlet distribution.Comment: 15 pages, 1 figur

A modern valószínűségszámítás néhány kérdéséről = On some problems of the modern probability theory

Kutatásaink 4 témakörből álltak. Arch és Garch folyamatok és általánosításuk Ezek a pénzügyi matematikában fontos modellek bonyolult lineáris idősorok. Határeloszlástételeket és statisztikai eredményeket bizonyítottunk rájuk. Wiener folyamatok Ezek lokális idejével és a közönséges bolyongás ehhez kapcsolódó problémáival foglalkoztunk. Megadtuk a lokális idő Hilbert transzformáltjának és Cauchy-féle főértékének viselkedését leíró valószínűségi törvényeket, a Wiener excursion és a Bahadur-Kiefer folyamat legfontosabb tulajdonságait. Wiener folyamat lokális és magas dimenziós bolyongások tartózkodási ideje között szoros a kapcsolat. Itt Erdős és Taylor eredményeit javítottuk. Több erős beágyazási tételt bizonyítottunk. Véletlen integrálok Vettük egy normált empirikus mérték önmagával vett direkt szorzatát. Egy többváltozós függvény eszerinti integráljának es ilyen integrálok szuprémumának eloszlására adtunk éles becslést. Ehhez több távoli matematikai elméletet kellett alkalmaznunk. A bizonyított eredmények lehetővé teszik fontos statisztikai módszerek általánosítását. Megmagyarázzák, hogy lehet normált empirikus eloszlásfüggvény funkcionáljait Gauss folyamatok funkcionáljaival közelíteni, és hol vannak e közelítés határai. Véletlen törvényeket teljesítő számelméleti függvények Bebizonyítottuk az iterált logaritmus tétel élesítését és megmutattuk, hogy n_k\alpha alakú számsorozatok diszkrepanciái az n_k sorozat számelméleti tulajdonságaitól függő véletlen törvényeket teljesítenek. | Our research consists of 4 subjects. Arch and Garch process, their generalizations This is an important model in financial mathematics. They are hard non-linear time series. We proved limit theorems and useful statistical results for them. Wiener processes We dealt with their local time and some occupation time problems of random walks. We gave the probabilistic laws of the Hilbert transform and the Cauchy principle value of their local time. We described the most important properties of the Wiener excursion and Bahadur-Kiefer process. The local time of the Wiener process and occupation time of high dimensional random walk are closely related. In this field we improved the results of Erdos and Taylor. We also proved strong embedding results. Multiple random integrals We took the direct product of a normed empirical distribution with itself. We gave sharp bounds on the integral of a function of several variables with respect to it and on the distribution of the supremum of such integrals. We applied several different mathematical theories in the proofs. Our results make possible to generalize some useful statistical methods. They explain how the functionals of normed empirical distributions can be approximated by Gaussian ones, and where the bounds of such approximations are. Number theoretic functions satisfying probabilistic laws We proved refinements of the law of iterated logarithm and showed that the discrepancies of a series of numbers n_k\alpha satisfy probabilistic laws depending on the diophantine properties of the series n_k

The Use of Deterministic Chaos in Cryptography

Import 03/11/2016Tato práce se zabývá problematikou teorie chaosu. V první části budou představeny základní pojmy a historické události, které vedly ke vzniku teorie chaosu. Dále se práce zabývá praktickým využitím deterministického chaosu a výskytem v různých odvětvích lidské činnosti. Hlavním úkolem této práce je aplikovat teorii chaosu v odvětví kryptografie a porovnat kryptografické vlastnosti několika systémů a to jak po vizuální stránce, tak pomocí statistických a kvalitativních testů.This work deals with problem of chaos theory. In first part of this work will be introduced some basic terms and historical events which lead into creation of chaos theory. This work also deal with use of deterministic chaos in practical solutions and occurence in the outside world. Main purpose of this work is use of deterministic chaos in cryptography and compare properties of some chaotic systems through statistics tests and qualitative tests.460 - Katedra informatikyvýborn

Lengths and heights of random walk excursions

Consider a simple symmetric random walk on the line. The parts of the random walk between consecutive returns to the origin are called excursions. The heights and lengths of these excursions can be arranged in decreasing order. In this paper we give the exact and limiting distributions of these ranked quantities. These results are analogues of the corresponding results of Pitman and Yor [1997, 1998, 2001] for Brownian motion

Lengths and heights of random walk excursions

Consider a simple symmetric random walk on the line. The parts of the random walk between consecutive returns to the origin are called excursions. The heights and lengths of these excursions can be arranged in decreasing order. In this paper we give the exact and limiting distributions of these ranked quantities. These results are analogues of the corresponding results of Pitman and Yor [1997, 1998, 2001] for Brownian motion

Lengths and heights of random walk excursions

Consider a simple symmetric random walk on the line. The parts of the random walk between consecutive returns to the origin are called excursions. The heights and lengths of these excursions can be arranged in decreasing order. In this paper we give the exact and limiting distributions of these ranked quantities. These results are analogues of the corresponding results of Pitman and Yor [10, 11, 12] for Brownian motion