Dezentrale Sendeleistungsregelung zur Kapazitätssteigerungdrahtloser Netze mit gemeinsam genutztem Übertragungskanal

Die Topologie eines drahtlosen Netzes wird maßgeblich durch die Sendeleistungen der beteiligten Geräte beeinflusst. Sind die Sendeleistungen zu gering, so zerfällt die Topologie in mehrere Zusammenhangskomponenten, zwischen denen keine Kommunikation möglich ist. Zu hohe Sendeleistungen haben jedoch den Nachteil, dass unnötig viele Geräte um das gemeinsam genutzte Übertragungsmedium konkurrieren. Daher kann es sich vorteilhaft auf die Netzkapazität auswirken, die Sendeleistungen der Geräte dynamisch anzupassen, so dass die Konnektivität gewahrt bleibt, während eine möglichst hohe Anzahl zeitlich überlappend stattfindender Übertragungen zugelassen wird. Die Dissertation leistet zwei Beiträge zu diesem Themengebiet. Zunächst wird der Zusammenhang zwischen der Topologie und der Kapazität eines Netzes untersucht. Dann wird ein Verfahren zur dezentralen Sendeleistungsregelung entwickelt, das die Netztopologie einer bestimmten Graphklasse annähert, von der zuvor gezeigt wurde, dass sie ein hohes Kapazitätspotenzial aufweist. Für die Untersuchung von Netztopologien kommt ein neuer Graphalgorithmus zur Approximation der Transportkapazität zum Einsatz, der in der Dissertation vorgestellt wird. Es handelt sich dabei um den ersten Algorithmus, der den möglichen Durchsatz einer beliebigen Menge von Datenströmen unter Einhaltung des Max-Min-Fairness-Kriteriums auch in großen Topologien mit mehreren tausend Knoten in akzeptabler Rechenzeit approximieren kann. Anhand von Topologien, die dadurch entstehen, dass allen Stationen die gleiche Sendereichweite zugeordnet wird, werden einige grundsätzlichen Erkenntnisse zum Einfluss der gewählten Sendeleistungen auf die Netzkapazität erarbeitet. Dann wird die Kapazität zweier Topologieklassen untersucht, die sich aus praktischer Sicht gut zur verteilten Sendeleistungsregelung eignen. Dabei zeigt sich, dass die Nearest-Neighbours- den Max-Degree-Topologien vorzuziehen sind. Schließlich wird festgestellt, dass einige andere Topologieklassen, die in der Literatur zu Sendeleistungsregelung in drahtlosen Netzen zu finden sind, hinsichtlich ihrer Kapazität keine Vorteile gegenüber Nearest-Neighbours-Topologien bringen. Da bisher kein praktikables verteiltes Nearest-Neighbours-Verfahren zur Sendeleistungsregelung in drahtlosen Netzen veröffentlicht wurde, wird der im Rahmen der Dissertation entwickelte Cooperative Nearest-Neighbours Topology Control Algorithm in verschiedenen Varianten vorgestellt. Anhand von Simulationsergebnissen wird schließlich gezeigt, dass dieser Algorithmus auch unter realistischen Bedingungen in vielen Fällen zu einer hohen Netzkapazität führt. Dabei werden auch die Stärken und Schwächen der unterschiedlichen Varianten des vorgestellten Verfahrens unter verschiedenen Bedingungen genau beleuchtet. Da eine dieser Varianten ein Max-Degree-Verfahren repräsentiert, kann gezeigt werden, dass Nearest-Neighbours-Topologien auch aus praktischer Sicht den Max-Degree-Topologien vorzuziehen sind

Edge and total colourings of graphs

Die vorliegenden Arbeit enthält Ergebnisse zu Kanten- und Totalfärbungen von Graphen sowie verschiedenen Variationen dieser Färbungen. Eine Kantenfärbung eines Graphen G ist eine Zuordnung von Farben zu den Kanten von G, so dass adjazente Kanten unterschiedliche Farben erhalten. Eine Totalfärbung ist eine Färbung der Knoten und Kanten von G, so dass adjazente Knoten, adjazente Kanten sowie ein Knoten und eine inzidente Kante jeweils unterschiedlich gefärbt werden. Der chromatische Index bzw. die totalchromatische Zahl von G bezeichnen die kleinste Anzahl von Farben, mit denen G kantenfärbbar bzw. totalfärbbar ist. In dieser Arbeit wird unter anderem die totalchromatische Zahl zirkulanter Graphen mit Maximalgrad 3 bestimmt sowie ein Algorithmus entwickelt, der alle planaren kritischen Graphen der Kantenfärbung mit bis zu 12 Knoten konstruiert und darstellt. Das Konzept der Kreisfärbung von Graphen wird von Knoten- auf Kanten- und Totalfärbung übertragen; Eigenschaften des kreischromatischen Index und der kreistotalchromatischen Zahl werden bewiesen und exakte Werte für einige Graphenklassen ermittelt. Die listenchromatische Vermutung wird für outerplanare Graphen mit Maximalgrad >4 bewiesen. Die Konzepte der (a,b)- und (a,b,r)-Listen- färbung werden von Knotenfärbung auf Kantenfärbung übertragen; es werden Eigenschaften dieser Färbungen und Ergebnisse für einzelne Graphenklassen hergeleitet.This thesis contains results for edge and total colourings as well as for some variations of these colourings. An edge colouring of a graph G is an assignment of colours to the edges of G such that adjacent edges are coloured differently. A total colouring is a colouring of the vertices and edges of G such that adjacent vertices, adjacent edges as well as a vertex and an incident edge are coloured differently. The chromatic index or the total chromatic number of G denote the minimum number of colours such that G admits an edge colouring or a total colouring, respectively. Results in this thesis are - among others - the total chromatic number of circulant graphs with maximum degree 3 and an algorithm to construct and draw all planar critical graphs with at most 12 vertices. The concept of circular colourings is transferred from vertex to edge and total colourings. Properties of the circular chromatic index and the circular total chromatic number are proven and exact values are determined for some classes of graphs. The list chromatic conjecture is confirmed for outerplanar graphs with maximum degree >4; the concepts of (a,b)- and (a,b,r)-list colourings are transferred from vertex to edge colouring and properties of these colourings as well as results for special classes of graphs are given

Spieltheoretische Kantenfärbungsprobleme auf Wäldern und verwandte Strukturen

This diploma thesis discusses graph colouring games, as introduced by Bodlaender [3], in a more general setting. The main results are: The directed and undirected game chromatic indices of the class of forests of maximum degree D are D+1, for D=3, D=5, and D>5. The directed game chromatic indices of the class of forests of maximum degree 2 are 2 or 3, depending on whether passing is allowed for Alice in the underlying game. The method of decomposition of independent subtrees is extended from edge colouring games to node colouring games and leads to new proofs resp. new results concerning the undirected resp. directed (new) game chromatic numbers of the class of forests. These numbers are 4 (3) resp. 3 (3). The results mentioned so far are also true for infinite instead of finite graphs. Some general properties of graph colouring games are examined. A list of important open questions can be found at the end

Minimal Ramsey graphs, orthogonal Latin squares, and hyperplane coverings

This thesis consists of three independent parts. The first part of the thesis is concerned with Ramsey theory. Given an integer $q\geq 2$, a graph $G$ is said to be \emph{$q$-Ramsey} for another graph $H$ if in any $q$-edge-coloring of $G$ there exists a monochromatic copy of $H$. The central line of research in this area investigates the smallest number of vertices in a $q$-Ramsey graph for a given $H$. In this thesis, we explore two different directions. First, we will be interested in the smallest possible minimum degree of a minimal (with respect to subgraph inclusion) $q$-Ramsey graph for a given $H$. This line of research was initiated by Burr, Erdős, and Lovász in the 1970s. We study the minimum degree of a minimal Ramsey graph for a random graph and investigate how many vertices of small degree a minimal Ramsey graph for a given $H$ can contain. We also consider the minimum degree problem in a more general asymmetric setting. Second, it is interesting to ask how small modifications to the graph $H$ affect the corresponding collection of $q$-Ramsey graphs. Building upon the work of Fox, Grinshpun, Liebenau, Person, and Szabó and Rödl and Siggers, we prove that adding even a single pendent edge to the complete graph $K_t$ changes the collection of 2-Ramsey graphs significantly. The second part of the thesis deals with orthogonal Latin squares. A {\em Latin square of order $n$} is an $n\times n$ array with entries in $[n]$ such that each integer appears exactly once in every row and every column. Two Latin squares $L$ and $L'$ are said to be {\em orthogonal} if, for all $x,y\in [n]$, there is a unique pair $(i,j)\in [n]^2$ such that $L(i,j) = x$ and $L'(i,j) = y$; a system of {\em $k$ mutually orthogonal Latin squares}, or a {\em $k$-MOLS}, is a set of $k$ pairwise orthogonal Latin squares. Motivated by a well-known result determining the number of different Latin squares of order $n$ log-asymptotically, we study the number of $k$-MOLS of order $n$. Earlier results on this problem were obtained by Donovan and Grannell and Keevash and Luria. We establish new upper bounds for a wide range of values of $k = k(n)$. We also prove a new, log-asymptotically tight, bound on the maximum number of other squares a single Latin square can be orthogonal to. The third part of the thesis is concerned with grid coverings with multiplicities. In particular, we study the minimum number of hyperplanes necessary to cover all points but one of a given finite grid at least $k$ times, while covering the remaining point fewer times. We study this problem for the grid $\mathbb{F}_2^n$, determining the number exactly when one of the parameters $n$ and $k$ is much larger than the other and asymptotically in all other cases. This generalizes a classic result of Jamison for $k=1$. Additionally, motivated by the recent work of Clifton and Huang and Sauermann and Wigderson for the hypercube $\set{0,1}^n\subseteq\mathbb{R}^n$, we study hyperplane coverings for different grids over $\mathbb{R}$, under the stricter condition that the remaining point is omitted completely. We focus on two-dimensional real grids, showing a variety of results and demonstrating that already this setting offers a range of possible behaviors.Diese Dissertation besteht aus drei unabh\"angigen Teilen. Der erste Teil beschäftigt sich mit Ramseytheorie. Für eine ganze Zahl $q\geq 2$ nennt man einen Graphen \emph{$q$-Ramsey} f\"ur einen anderen Graphen $H$, wenn jede Kantenf\"arbung mit $q$ Farben einen einfarbigen Teilgraphen enthält, der isomorph zu $H$ ist. Das zentrale Problem in diesem Gebiet ist die minimale Anzahl von Knoten in einem solchen Graphen zu bestimmen. In dieser Dissertation betrachten wir zwei verschiedene Varianten. Als erstes, beschäftigen wir uns mit dem kleinstm\"oglichen Minimalgrad eines minimalen (bezüglich Teilgraphen) $q$-Ramsey-Graphen f\"ur einen gegebenen Graphen $H$. Diese Frage wurde zuerst von Burr, Erd\H{o}s und Lov\'asz in den 1970er-Jahren studiert. Wir betrachten dieses Problem f\"ur einen Zufallsgraphen und untersuchen, wie viele Knoten kleinen Grades ein Ramsey-Graph f\"ur gegebenes $H$ enthalten kann. Wir untersuchen auch eine asymmetrische Verallgemeinerung des Minimalgradproblems. Als zweites betrachten wir die Frage, wie sich die Menge aller $q$-Ramsey-Graphen f\"ur $H$ verändert, wenn wir den Graphen $H$ modifizieren. Aufbauend auf den Arbeiten von Fox, Grinshpun, Liebenau, Person und Szabó und Rödl und Siggers beweisen wir, dass bereits der Graph, der aus $K_t$ mit einer h\"angenden Kante besteht, eine sehr unterschiedliche Menge von 2-Ramsey-Graphen besitzt im Vergleich zu $K_t$. Im zweiten Teil geht es um orthogonale lateinische Quadrate. Ein \emph{lateinisches Quadrat der Ordnung $n$} ist eine $n\times n$-Matrix, gef\"ullt mit den Zahlen aus $[n]$, in der jede Zahl genau einmal pro Zeile und einmal pro Spalte auftritt. Zwei lateinische Quadrate sind \emph{orthogonal} zueinander, wenn f\"ur alle $x,y\in[n]$ genau ein Paar $(i,j)\in [n]^2$ existiert, sodass es $L(i,j) = x$ und $L'(i,j) = y$ gilt. Ein \emph{k-MOLS der Ordnung $n$} ist eine Menge von $k$ lateinischen Quadraten, die paarweise orthogonal sind. Motiviert von einem bekannten Resultat, welches die Anzahl von lateinischen Quadraten der Ordnung $n$ log-asymptotisch bestimmt, untersuchen wir die Frage, wie viele $k$-MOLS der Ordnung $n$ es gibt. Dies wurde bereits von Donovan und Grannell und Keevash und Luria studiert. Wir verbessern die beste obere Schranke f\"ur einen breiten Bereich von Parametern $k=k(n)$. Zusätzlich bestimmen wir log-asymptotisch zu wie viele anderen lateinischen Quadraten ein lateinisches Quadrat orthogonal sein kann. Im dritten Teil studieren wir, wie viele Hyperebenen notwendig sind, um die Punkte eines endlichen Gitters zu überdecken, sodass ein bestimmter Punkt maximal $(k-1)$-mal bedeckt ist und alle andere mindestens $k$-mal. Wir untersuchen diese Anzahl f\"ur das Gitter $\mathbb{F}_2^n$ asymptotisch und sogar genau, wenn eins von $n$ und $k$ viel größer als das andere ist. Dies verallgemeinert ein Ergebnis von Jamison für den Fall $k=1$. Au{\ss}erdem betrachten wir dieses Problem f\"ur Gitter im reellen Vektorraum, wenn der spezielle Punkt überhaupt nicht bedeckt ist. Dies ist durch die Arbeiten von Clifton und Huang und Sauermann und Wigderson motiviert, die den Hyperwürfel $\set{0,1}^n\subseteq \mathbb{R}^n$ untersucht haben. Wir konzentrieren uns auf zwei-dimensionale Gitter und zeigen, dass schon diese sich sehr unterschiedlich verhalten können

Umsetzung des datenschutzrechtlichen Auskunftsanspruchs auf Grundlage von Usage-Control und Data-Provenance-Technologien

Die Komplexität moderner Informationssysteme erschwert die Nachvollziehbarkeit der Verarbeitung personenbezogener Daten. Der einzelne Bürger ist den Systemen quasi ausgeliefert. Das Datenschutzrecht versucht dem entgegenzuwirken. Ein Werkzeug des Datenschutzes zur Herstellung von Transparenz ist der Auskunftsanspruch. Diese Arbeit unterzieht das Recht auf Auskunft einer kritischen Würdigung und schafft umfassende technische Voraussetzungen für dessen Wahrnehmung

Semi-Präemptives Transportieren

Das Problem, einen Roboter (oder ein Fahrzeug) so zwischen n Stationen zu steuern, daß m Objekte von ihrem Ausgangspunkt zu ihrem Ziel transportiert werden können und dabei die zurückgelegte Fahrstrecke minimiert wird, bezeichnet man als Pickup--And--Delivery--Problem. Diese Aufgabenstellung ist in der Vergangenheit gut untersucht worden, sogar wenn die Stationen auf eine besondere Weise angeordnet sind, z.B. in einer Reihe oder im Kreis. Üblicherweise darf der Roboter entweder jede oder keine Station als Umladestation benutzen. Man spricht in diesen Fällen von einem präemptiven bzw. nicht--präemptiven Transport. Wir werden diese Konzepte verallgemeinern, indem nur ein Teil der Stationen für das Umladen benutzt werden darf. In Anlehnung an die beiden anderen Versionen soll diese Fragestellung semi--präemptiv heißen. Dabei differenzieren wir zwischen einer exogenen und einer endogenen Variante. In der ersten darf der Roboter nur an gekennzeichneten Stationen umladen. In der zweiten teilen wir ihm eine Zahl k mit, und es ist Teil der Aufgabenstellung zu entscheiden, an welchen k Stationen umgeladen wird. Wir zeigen, daß sowohl die exogene als auch die endogene Version auf einem Pfad und auf einem Kreis effizient lösbar ist und geben jeweils dynamische Lösungverfahren an. Beide Varianten sind auf Bäumen NP--vollständig. Für den exogenen Fall geben wir einen Approximationsalgorithmus mit einer Güte von 4/3 an. Für die endogene Aufgabenstellung präsentieren wir eine (4/3+c)--Approximation für beliebiges c > 0. Schließlich nutzen ein bekanntes Resultat, um eine Approximation für das exogene und endogene Transportproblem auf metrisch gewichteten Graphen angeben zu können. Aus der angewandten Problemstellung ergibt sich ein graphentheoretisches Teilproblem, das wir näher untersuchen. In einem gerichteten Graphen G=(V,E^r\dot\cup E^b) mit einer rot/blau--partitionierten Kantenmenge soll zu gegebener Kostenfunktion eine kostenminimale und aufspannende Arboreszenz bestimmt werden, die höchstens d blaue Kanten benutzt. Wir geben ein voll polynomielles Approximationsschema an. Dieses nutzen wir, um das endogene Transportproblem auf Bäumen zu approximieren