Backwards theory supports modelling via invariant manifolds for non-autonomous dynamical systems

This article establishes the foundation for a new theory of invariant/integral manifolds for non-autonomous dynamical systems. Current rigorous support for dimensional reduction modelling of slow-fast systems is limited by the rare events in stochastic systems that may cause escape, and limited in many applications by the unbounded nature of PDE operators. To circumvent such limitations, we initiate developing a backward theory of invariant/integral manifolds that complements extant forward theory. Here, for deterministic non-autonomous ODE systems, we construct a conjugacy with a normal form system to establish the existence, emergence and exact construction of center manifolds in a finite domain for systems `arbitrarily close' to that specified. A benefit is that the constructed invariant manifolds are known to be exact for systems `close' to the one specified, and hence the only error is in determining how close over the domain of interest for any specific application. Built on the base developed here, planned future research should develop a theory for stochastic and/or PDE systems that is useful in a wide range of modelling applications

Aspects of global dynamics in nonautonomous dynamical systems

Tesis doctoral inédita leída en la Universidad Autónoma de Madrid, Facultad de Ciencias, Departamento de Matemáticas . Fecha de lectura: 27-04-201

Qualitative Analysis of Solutions to the Semiclassical Einstein Equation in homogeneous and isotropic Spacetimes

In der vorliegenden Arbeit werden Methoden aus der Theorie der dynamischen Systeme verwendet, um das qualitative Verhalten von Lösungen der semiklassischen Einsteingleichung für Friedmann-Lamaître-Robertson-Walker Raumzeiten zu untersuchen. Es werden ausschließlich masselose und konform gekoppelte Quantenfelder betrachtet. Bei der Renormierung des Energie-Impuls-Tensors solcher Quantenfelder treten Ambiguitäten auf, die sich als freie Parameter in der semiklassischen Einsteingleichung manifestieren. Mit Hilfe der Theorie der dynamischen Systeme ist es möglich, Lösungen nach ihren qualitativen Verhalten zu klassifizieren und dadurch Argumente für oder gegen bestimmte Werte der Renormierungskonstanten herauszuarbeiten. Befindet sich das Quantenfeld im konformen Vakuumzustand, erhält man ein zweidimensionales dynamisches System. Für dieses dynamische System werden die strukturell stabilen Fälle und Bifurkationsdiagramme herausgearbeitet, sowie das globale Stabilitätsverhalten der Minkowski und De-Sitter Gleichgewichtspunkte. Mittels dieser Analyse wird das qualitative Verhalten der semiklassischenLösungen mit dem qualitativen Verhalten der Lösungen des Lambda-CDM Modells der Kosmologie verglichen. Es zeigt sich, dass das semiklassische Modell in der Lage ist das qualitative Verhalten von Lösungen des klassischen Lambda-CDM Modells wiederzugeben. Weiterhin wird gezeigt, das im Vakuumfall Lösungen existieren, welche sich, im Gegensatz zu Lösungen des klassischen Lambda-CDM Modells, im Allgemeinen nicht eindeutig durch ihre Anfangsdaten bestimmen lassen. Um dieses atypische Verhalten aufzulösen müssen die Trajektorien dieser Lösungen in einem dreidimensionalen Phasenraum betrachtet werden.Das entsprechende dreidimensionale dynamische System beschreibt das dynamische Verhalten der Lösungen für beliebige Quantenzustände. Für allgemeine Quantenzustände wird die lokale (Lyapunov-) Stabilität der Gleichgewichtspunkte untersucht und für eine spezielle Wahl der Renormierungskonstanten und des Quantenzustandes neue Lösungen gefunden und mit Lösungen des klassischen Lambda-CDM Modells verglichen. Auch hier besteht eine qualitative Äquivalenz