First integrals in stationary and axially symmetric space-times and sub-riemannian structures

(Erste) Integrale haben sowohl in der Physik als auch in der Mathematik große Bedeutung. Sie sind konstant entlang Lösungen der geodätischen oder Hamiltonschen Gleichungen. Killing-Tensoren entsprechen Integralen, welche homogene Polynome in den Impulsen sind. Die Dissertation untersucht die (Nicht-)Existenz von Integralen für stationär-axialsymmetrische Vakuum-Raumzeiten und sub-Riemannsche Strukturen. Es werden zwei neue Algorithmen vorgestellt, mit denen die Existenz von Killing-Tensoren für stationär-axialsymmetrische Vakuum-Metriken einfach und effizient untersucht werden kann. Mit Hilfe der Algorithmen wird die Nichtexistenz irreduzibler Killing-Tensoren bis zur Valenz 11 für die Darmois-Metrik (eine spezielle Zipoy-Voorhees-Metrik) gezeigt. Für eine nicht-statische Tomimatsu-Sato-Metrik wird die Nichtexistenz bis zum Grad 7 gezeigt. Die Anwendung der Methode für Metriken mit einem reellen Parameter wird an Hand der Zipoy-Voorhees-Metriken demonstriert. Für beliebige statisch-axialsymmetrische Vakuum-Metriken (Weyl-Metriken) zeigt die Arbeit die Reduzibilität involutiver Killing-Tensoren von Valenz 3. Für sub-Riemannsche Strukturen auf Distributionen vom Rang 2 in Carnot-Gruppen wird der Zusammenhang von Liouville-Integrabilität und der Größe der Symmetriealgebren untersucht. Es wird gezeigt, dass es sub-Riemannsche Strukturen gibt, die zwar ein hohes Maß an Symmetrie, aber nicht genügend Integrale für Liouville-Integrabilität besitzen

Four equivalent properties of integrable billiards

International audienceBy a classical result of Darboux, a foliation of a Riemannian surface has the Graves property (also known as the strong evolution property) if and only if the foliation comes from a Liouville net. A similar result of Blaschke says that a pair of orthogonal foliations has the Ivory property if and only if they form a Liouville net. Let us say that a geodesically convex curve on a Riemannian surface has the Poritsky property if it can be parametrized in such a way that all of its string diffeomorphisms are shifts with respect to this parameter. In 1950, Poritsky has shown that the only closed plane curves with this property are ellipses. In the present article we show that a curve on a Riemannian surface has the Poritsky property if and only if it is a coordinate curve of a Liouville net. We also recall Blaschke's derivation of the Liouville property from the Ivory property and his proof of Weihnacht's theorem: the only Liouville nets in the plane are nets of confocal conics and their degenerations. This suggests the following generalization of Birkhoff's conjecture: If an interior neighborhood of a closed geodesically convex curve on a Riemannian surface is foliated by billiard caustics, then the metric in the neighborhood is Liouville, and the curve is one of the coordinate lines

Dynamik von Quanten-Vielteilchensystemen. Equilibration, Thermalisierung und Typikalität in quanten-statistischer Mechanik

Balz BN. Dynamik von Quanten-Vielteilchensystemen. Equilibration, Thermalisierung und Typikalität in quanten-statistischer Mechanik. Bielefeld: Universität Bielefeld; 2018