Existence and uniqueness results for BSDEs with jumps: the whole nine yards

This paper is devoted to obtaining a wellposedness result for multidimensional BSDEs with possibly unbounded random time horizon and driven by a general martingale in a filtration only assumed to satisfy the usual hypotheses, i.e. the filtration may be stochastically discontinuous. We show that for stochastic Lipschitz generators and unbounded, possibly infinite, time horizon, these equations admit a unique solution in appropriately weighted spaces. Our result allows in particular to obtain a wellposedness result for BSDEs driven by discrete--time approximations of general martingales.Comment: 48 pages, final version, forthcoming in the Electronic Journal of Probabilit

Stochastic Processes and Integrals

Stochastic integrals with respect to Wiener process and Poisson measures are discusses, beginning from stochastic processes

Stochastic Differential Equations with Jumps

Part I Stochastic Processes with Jumps Chapters: Probability Spaces, Semigroup Theory - Part II Stochastic Differential Equations with Jumps Chapters: Stochastic Calculus, Stochastic Differential Equations - Part III Reflected SDE with Jumps Chapters: Stochastic Differential Equations II, Stochastic Differential Equations III. Comment: This is last version from 2014-01-07. *This Initial version 15/May/2008 was corrected and augmented to produce the others 5 volumes

An essay on the general theory of stochastic processes

This text is a survey of the general theory of stochastic processes, with a view towards random times and enlargements of filtrations. The first five chapters present standard materials, which were developed by the French probability school and which are usually written in French. The material presented in the last three chapters is less standard and takes into account some recent developments.Comment: Published at http://dx.doi.org/10.1214/154957806000000104 in the Probability Surveys (http://www.i-journals.org/ps/) by the Institute of Mathematical Statistics (http://www.imstat.org

Game-theoretic statistics and safe anytime-valid inference

Safe anytime-valid inference (SAVI) provides measures of statistical evidence and certainty—e-processes for testing and confidence sequences for estimation—that remain valid at all stopping times, accommodating continuous monitoring and analysis of accumulating data and optional stopping or continuation for any reason. These measures crucially rely on test martingales, which are nonnegative martingales starting at one. Since a test martingale is the wealth process of a player in a betting game, SAVI centrally employs game-theoretic intuition, language and mathematics. We summarize the SAVI goals and philosophy, and report recent advances in testing composite hypotheses and estimating functionals in nonparametric settings

Game-theoretic statistics and safe anytime-valid inference

Safe anytime-valid inference (SAVI) provides measures of statistical evidence and certainty -- e-processes for testing and confidence sequences for estimation -- that remain valid at all stopping times, accommodating continuous monitoring and analysis of accumulating data and optional stopping or continuation for any reason. These measures crucially rely on test martingales, which are nonnegative martingales starting at one. Since a test martingale is the wealth process of a player in a betting game, SAVI centrally employs game-theoretic intuition, language and mathematics. We summarize the SAVI goals and philosophy, and report recent advances in testing composite hypotheses and estimating functionals in nonparametric settings.Comment: 25 pages. Under review. ArXiv does not compile/space some references properl

An Application of Ergodic Theory : The Shannon-McMillan Breiman Theorem

The subject of this Master's Thesis is Shannon-McMillan-Breiman theorem, a famous and important result in information theory. Since the theorem is a statement about ergodic stochastic processes and its proof utilises Birkho 's ergodic theorem, a whole chapter has been devoted to ergodic theory. Ergodic theory has developed into a large branch of mathematics, and so the Chapter 1 is only a brief glance at the subject. Nevertheless, we will prove one of the most important theorems in ergodic theory, the before-mentioned Birkho 's ergodic theorem. This theorem is a strong statement about the average behaviour of certain stochastic processes (or dynamical systems), and it can be seen as a generalisation of the Strong Law of Large Numbers. Chapter 2 discusses information theory and the Shannon-McMillan-Breiman theorem. No previous knowledge about information theory is assumed, and therefore the chapter starts with an introduction to information theory. All fundamental de nitions and theorems concerning the entropy of discrete random variables are provided. After this introduction, we study the entropy of stochastic processes, which in turn leads us to the Asymptotic Equipartition Property (the AEP). Informally, a stochastic process has the AEP if almost all sample paths belong to a rather thin set, called the set of typical sequences, which despite having few elements contains most of the probability mass. Then we prove that independent and identically distributed processes have the AEP, and consider its consequences and applications such as data compression. After this, we present the Shannon-McMillan-Theorem which states that stationary, ergodic processes with infite state space have the AEP. The rest of the thesis is then devoted to the rather long, but interesting proof of the theorem.Työn päätavoitteena on todistaa eräs versio informaatioteorian kuuluisasta tuloksesta, Shannon-McMillan-Breiman -teoreemasta. Koska tämä lause liittyy ergodisiin stokastisiin prosesseihin ja sen todistuksessa tarvitaan ergoditeorian tuloksia, olen ottanut ergoditeorian toiseksi tasavertaiseksi pääaiheeksi Shannon-McMillan-Breiman -teoreeman rinnalle. Lukijalta ei oleteta esitietovaatimuksena ergoditeoriasta tai informaatioteorista mitään. Vaikka mittateoreettisen todennäköisyysteorian ja Markovin ketjujen perusteet oletetaan tunnetuiksi, kappaleessa 0 käydään läpi tiettyjä todennäköisyysteorian osa-alueita, jotka eivät alan peruskursseille mahdu. Näitä ovat esimerkiksi ääretönulotteisiin jonoavaruuksiin konstruoitavat sigma-algebrat, diskreettiaikainen martingaalikonvergenssiteoria, Radon-Nikodym - lauseeseen perustuva ehdollinen todennäköisyys, sekä tasainen integroituvuus. Kappale 1 käsittelee ergoditeoriaa. Koska ergoditeoria on hyvin laaja matematiikan osa-alue, tämä kappale on aiheeseen vain lyhyt johdatus. Eräs alan tärkeimmistä tuloksista, Birkhoffin ergodilause kuitenkin esitetään kappaleessa todistuksineen. Ergoditeorian voidaan ajatella olevan matematiikan osa-alue, joka tutkii ilmiöiden keskimääräistä käyttäytymistä. Birkhoffin ergodilauseesta esimerkiksi seuraa lähes välittömästi vahva suurten lukujen laki sekä se, että pelkistymättömän ja jaksottoman Markovin ketjun tietyssä tilassa viettämä suhteellinen aika on asymptoottisesti sama kuin tasapainojakauman kyseistä tilaa koskeva pistetodennäköisyys. Kappaleen lopuksi määritellään käsite ergodinen stokastinen prosessi, joita Shannon-McMillan-Breiman -lauseen väite koskee. Kappaleen 2 aiheena on informaatioteoria ja Shannon-McMillan-Breiman -lause. Koska lukijalta ei oleteta minkäänlaista etukäteistietoa informaatioteoriasta, kappale alkaa johdatuksella informaatioteoriaan. Johdatuksessa keskitytään ennen kaikkea diskreettien satunnaismuuttujien entropiaan, jota koskevia lauseita ja aputuloksia esitetään runsaasti. Tämän jälkeen satunnaismuuttujien entropiasta siirrytään stokastisten prosessien entropian tutkimiseen, jonka jälkeen on mahdollista esittää käsite asymptoottinen tasapartitiointiominaisuus. Karkeasti ottaen voidaan sanoa, että diskreetillä stokastisella prosessilla on asymptoottinen tasapartitiointiominaisuus, mikäli melkein kaikki sen realisaatiot kuuluvat alkioiden lukumäärältään pieneen, mutta todennäköisyysmassaltaan suureen tyypillisten jonojen joukkoon, joka käsitteenä määritellään kappaleessa tarkasti. Esimerkiksi tasapainoista kolikkoa heitettäessä tyypillisiä jonoja ovat sellaiset realisaatiot, joissa noin puolet heitoista on klaavoja. Paljastuu, että realisaatioiden jakamisella tyypillisiin ja ei-tyypillisiin jonoihin on mielenkiintoisia sovelluksia kuten tiedon tiivistäminen. Shannon-McMillan-Breiman -lause sanoo, että stationaarisella, ergodisella stokastisella prosessilla, jolla on äärellinen tila-avaruus, on asymptoottinen tasapartitiointiominaisuus. Kappaleen 2 pituudesta huomattava osuus liittyy tämän tuloksen todistamiseen. Todistus on monivaiheinen, ja se hyödyntää runsaasti erilaisia tuloksia informaatioteorian ulkopuolelta sekä punoo yhteen työssä aiemmin johdetut tulokset. Birkhoffin ergodilause ja kappaleessa 0 esitettävä Levyn martingaalikonvergenssilause ovat erityisen tärkeässä roolissa