Global branches of travelling waves to a Gross-Pitaevskii-Schrödinger system in one dimension

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Quelques problèmes variationnels issus de la théorie des ondes non-linéaires

Cette thèse porte sur l'étude des solutions spéciales (de type onde progressive et onde stationnaire) pour des équations aux dérivées partielles dispersives non-linéaires dans R^N. Les problèmes considérés ont une structure variationnelle, les solutions sont des points critiques de certaines fonctionnelles. Nous démontrons l'existence des points critiques en utilisant des méthodes de minimisation. Une des principales difficultés vient du manque de compacité. Pour y remédier, on utilise quelques raffinements récents du principe de concentration-compacité de P.-L. Lions. Dans la première partie du mémoire on montre l'existence des solutions d'énergie minimale pour des équations elliptiques quasi-linéaires dans R^N. Nous généralisons les résultats de Brézis et Lieb dans le cas du Laplacien, ainsi que les résultats de Jeanjean et Squassina dans le cas du p-Laplacien. Dans la seconde partie on montre l'existence des ondes progressives subsoniques d'énergie finie pour un système de Gross-Pitaevskii-Schrödinger qui modélise le mouvement d'une impureté non chargée dans un condensat de Bose-Einstein. Les résultats obtenus sont valables en dimension trois et quatre d'espace.This thesis focuses on the study of special solutions (traveling wave and standing wave type) for nonlinear dispersive partial differential equations in R^N. The considered problems have a variational structure, the solutions are critical points of some functionals. We demonstrate the existence of critical points using minimization methods. One of the main difficulties comes from the lack of compactness. To overcome this, we use some recent improvements of P.-L. Lions concentration-compactness principle. In the first part of the dissertation, we show the existence of the least energy solutions to quasi-linear elliptic equations in R^N. We generalize the results of Brézis and Lieb in the case of the Laplacian, and the results of Jeanjean and Squassina in the case of the p-Laplacian. In the second part, we show the existence of subsonic travelling waves of finite energy for a Gross-Pitaevskii-Schrödinger system which models the motion of a non charged impurity in a Bose-Einstein condensate. The obtained results are valid in three and four dimensional space