48 research outputs found

    Genus Distributions of cubic series-parallel graphs

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    We derive a quadratic-time algorithm for the genus distribution of any 3-regular, biconnected series-parallel graph, which we extend to any biconnected series-parallel graph of maximum degree at most 3. Since the biconnected components of every graph of treewidth 2 are series-parallel graphs, this yields, by use of bar-amalgamation, a quadratic-time algorithm for every graph of treewidth at most 2 and maximum degree at most 3.Comment: 21 page

    Genus Distributions of Cubic Outerplanar Graphs

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    The genus distribution of cubic graphs and asymptotic number of rooted cubic maps with high genus

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    Let Cn,gC_{n,g} be the number of rooted cubic maps with 2n2n vertices on the orientable surface of genus gg. We show that the sequence (Cn,g:g≄0)(C_{n,g}:g\ge 0) is asymptotically normal with mean and variance asymptotic to (1/2)(n−ln⁥n)(1/2)(n-\ln n) and (1/4)ln⁥n(1/4)\ln n, respectively. We derive an asymptotic expression for Cn,gC_{n,g} when (n−2g)/ln⁥n(n-2g)/\ln n lies in any closed subinterval of (0,2)(0,2). Using rotation systems and Bender's theorem about generating functions with fast-growing coefficients, we derive simple asymptotic expressions for the numbers of rooted regular maps, disregarding the genus. In particular, we show that the number of rooted cubic maps with 2n2n vertices, disregarding the genus, is asymptotic to 3π n!6n\frac{3}{\pi}\,n!6^n

    Approximation algorithms for network design and cut problems in bounded-treewidth

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    This thesis explores two optimization problems, the group Steiner tree and firefighter problems, which are known to be NP-hard even on trees. We study the approximability of these problems on trees and bounded-treewidth graphs. In the group Steiner tree, the input is a graph and sets of vertices called groups; the goal is to choose one representative from each group and connect all the representatives with minimum cost. We show an O(log^2 n)-approximation algorithm for bounded-treewidth graphs, matching the known lower bound for trees, and improving the best possible result using previous techniques. We also show improved approximation results for group Steiner forest, directed Steiner forest, and a fault-tolerant version of group Steiner tree. In the firefighter problem, we are given a graph and a vertex which is burning. At each time step, we can protect one vertex that is not burning; fire then spreads to all unprotected neighbors of burning vertices. The goal is to maximize the number of vertices that the fire does not reach. On trees, a classic (1-1/e)-approximation algorithm is known via LP rounding. We prove that the integrality gap of the LP matches this approximation, and show significant evidence that additional constraints may improve its integrality gap. On bounded-treewidth graphs, we show that it is NP-hard to find a subpolynomial approximation even on graphs of treewidth 5. We complement this result with an O(1)-approximation on outerplanar graphs.Diese Arbeit untersucht zwei Optimierungsprobleme, von welchen wir wissen, dass sie selbst in BĂ€umen NP-schwer sind. Wir analysieren Approximationen fĂŒr diese Probleme in BĂ€umen und Graphen mit begrenzter Baumweite. Im Gruppensteinerbaumproblem, sind ein Graph und Mengen von Knoten (Gruppen) gegeben; das Ziel ist es, einen Knoten von jeder Gruppe mit minimalen Kosten zu verbinden. Wir beschreiben einen O(log^2 n)-Approximationsalgorithmus fĂŒr Graphen mit beschrĂ€nkter Baumweite, dies entspricht der zuvor bekannten unteren Schranke fĂŒr BĂ€ume und ist zudem eine Verbesserung ĂŒber die bestmöglichen Resultate die auf anderen Techniken beruhen. DarĂŒber hinaus zeigen wir verbesserte Approximationsresultate fĂŒr andere Gruppensteinerprobleme. Im Feuerwehrproblem sind ein Graph zusammen mit einem brennenden Knoten gegeben. In jedem Zeitschritt können wir einen Knoten der noch nicht brennt auswĂ€hlen und diesen vor dem Feuer beschĂŒtzen. Das Feuer breitet sich anschließend zu allen Nachbarn aus. Das Ziel ist es die Anzahl der Knoten die vom Feuer unberĂŒhrt bleiben zu maximieren. In BĂ€umen existiert ein lang bekannter (1-1/e)-Approximationsalgorithmus der auf LP Rundung basiert. Wir zeigen, dass die GanzzahligkeitslĂŒcke des LP tatsĂ€chlich dieser Approximation entspricht, und dass weitere EinschrĂ€nkungen die GanzzahligkeitslĂŒcke möglicherweise verbessern könnten. FĂŒr Graphen mit beschrĂ€nkter Baumweite zeigen wir, dass es NP-schwer ist, eine sub-polynomielle Approximation zu finden
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