Measure and convergence: special subsets of the real line and their generalizations

In this thesis I present different notions of special subsets of the real line and their properties, in particular of those related to measure and convergence. We search for answers to open questions in this subject and we consider generalizations of known facts in the case of a~larger cardinality, i.e. in the generalized Cantor space $2^\kappa$, for an uncountable cardinal $\kappa$, equipped with the topology generated by sets of extensions of partial functions.First (Chapter~\ref{chpn}), we discuss special subsets of the Cantor space $2^\omega$. The theory of special subsets is already well developed (see \cite{am:ssrl}\linebreak and \cite{lb:srl}). I introduce two notions of such sets, which were not considered before: the class of perfectly null sets and the class of sets which are perfectly null in the transitive sense (\cite{mktw:cpnstv}). These classes may play the role of duals on the measure side to the corresponding classes on the category side. We investigate their properties, and although the main problem of whether the classes of perfectly null sets and universally null sets are consistently different remains open, we prove some results related to this question and study their version on the category side.Next (Chapter~\ref{chego}), we study problems related to Egorov's Theorem, which describes a~relation between convergence and measure. Egorov's Theorem can be generalized to some notions of ideal convergences (see e.g.~\cite{nm:ivetap}), and T.~Weiss has proven (\cite{tw:nget}) that the generalized Egorov's statement (i.e. the theorem without the assumption on measurability) is independent from ZFC. Integrating both ideas, we prove that the generalized Egorov's statement as well as its negation are consistent with ZFC in different cases of ideal convergence (\cite{mk:gesi}).Many of the classical notions of special subsets of $2^\omega$ can be considered in the case of the generalized Cantor space $2^\kappa$. Although the theory of the generalized Cantor space $2^\kappa$ has recently been broadly developed (see\linebreak e.g. \cite{glblis:qgbs}), the theory of special subsets of $2^\kappa$ seems to be largely omitted from those considerations. We study those classes of sets in this setting (\cite{mktw:ssgcs}). It turns out that many of properties of subsets of $2^\omega$ can be easily proved in $2^\kappa$, although sometimes one has to use some additional set-theoretic assumptions (Chapter~\ref{chsimple}). Next we deal with less common classes of small sets in $2^\kappa$ (Chapter~\ref{chother}).In Chapter~\ref{chconv}, I present different types of convergence of $\kappa$-sequences of functions $2^\kappa\to 2^\kappa$, and study properties of special subsets of $2^\kappa$ related to the notion of convergence (\cite{mk:csfgcs}). We relate those properties to the sequence selection principles. We also consider convergence of sequences of points and functions with respect to an ideal on $\kappa$ (Chapter~\ref{chideal}).Finally, to relate measure and convergence properties in $2^\kappa$, we study the possibility of introducing Egorov's Theorem in $2^\kappa$. Since no method of constructing measure in $2^\kappa$ which fulfils all reasonable requirements is known, we consider the properties such set-function should have to enable the proof of Egorov's Theorem. I leave the question of existence of such a~function which satisfies some additional reasonable conditions open. Every $\kappa$-strongly null set is null with respect to such a~set function which satisfies some additional properties. We study also the ideal version of Egorov's Theorem in $2^\kappa$.W niniejszej pracy rozważam różne pojęcia specjalnych podzbiorów pros\-tej i ich właściwości, w szczególności te związane z miarą lub zbieżnością. Poszukuję odpowiedzi na otwarte pytania w tym zakresie oraz rozważam uogólnienia zna\-nych faktów na wyższe liczby kardynalne, tj. w uogólnionej prze\-strze\-ni Cantora $2^\kappa$, dla nieprzeliczalnej liczby kardynalnej $\kappa$, rozważanej z~to\-po\-lo\-gią generowaną przez zbiory przedłużeń funkcji częściowych.Po pierwsze (Rozdział~\ref{chpn}) rozważam specjalne podzbiory przestrzeni Cantora $2^\omega$. Teoria specjalnych podzbiorów jest oczywiście już znacząco rozwinięta (patrz \cite{am:ssrl} i \cite{lb:srl}). W tej pracy wprowadzam dwie, do tej pory nierozważane, klasy takich zbiorów: klasę zbiorów doskonale miary zero oraz klasę zbiorów doskonale miary zero w sensie tranzytywnym. Te klasy mogą odgrywać rolę dualną po stronie miary do odpowiednich klas zbiorów po stronie kategorii (\cite{mktw:cpnstv}). Badam właściwości tych klas i, mimo że główny problem, czy klasy zbiorów doskonale miary zero i uniwersalnie miary zero są niesprzecznie różne, pozostaje nierozwiązany, to dowodzę twierdzeń po\-wią\-za\-nych z tym pytaniem i rozważam ich wersje po stronie kategorii.Następnie (Rozdział~\ref{chego}) badam problemy związane z twierdzeniem Jegorowa, które łączy ze sobą właściwości związane ze zbieżnością i miarą. Twierdzenie Jegorowa może być uogólnione na przypadek zbieżności ideałowej (patrz np.~\cite{nm:ivetap}), natomias T.~Weiss udowodnił (\cite{tw:nget}), że uogólnione stwierdzenie Jegorowa (tj. twierdzenie bez założenia o mierzalności) jest niesprzeczne z ZFC. Łącząc oba pomysły, dowodzę, że uogólnione stwierdzenie Jegorowa i jego zaprzeczenie są niesprzeczne z ZFC dla różnych przypadków zbieżności ideałowych (\cite{mk:gesi}).Wiele klasycznych pojęć specjalnych podzbiorów w $2^\omega$ może być uogólniona na przypadek uogólnionej przestrzeni Cantora $2^\kappa$. Mimo że teoria uogólnionej przestreni Cantora $2^\kappa$ była w ostatnim czasie znacząco rozwijana (patrz np. \cite{glblis:qgbs}), to teoria specjalnych podzbiorów $2^\kappa$ wydaje się być w znacznej części pomiajana w tych rozważaniach. W ni\-niej\-szej pracy badam te klasy zbiorów w takim przypadku (\cite{mktw:ssgcs}). Okazuje się, że wiele własności zachodzących w $2^\omega$ można łatwo wykazać dla $2^\kappa$, choć czasem niezbędne są dodatkowe teorio-mnogościowe założenia (Rozdział~\ref{chsimple}). Następnie zajmuję się mniej znanymi klasami małych zbiorów w $2^\kappa$ (Rozdział~\ref{chother}).W rozdziale~\ref{chconv} rozważam różne rodzaje zbieżności $\kappa$-ciągów funkcji $2^\kappa\to 2^\kappa$ i badam właściwości specjalnych podzbiorów $2^\kappa$ związanych ze zbieżnością (\cite{mk:csfgcs}). Łączę te właściwości z właściwościami wyboru podciągów. Roz\-wa\-żam także zbieżność względem ideału na $\kappa$ (Rozdział~\ref{chideal}).Na koniec, łącząc właściwości związane z miarą i ze zbieżnością w $2^\kappa$, roz\-wa\-żam\hfill możliwość\hfill wprowadzenia\hfill twierdzenia\hfill Jegorowa\hfill w\hfill przestrzeni\hfill $2^\kappa$ \\(Rozdział~\ref{chkappaego}). Ponieważ nie znana jest metoda konstrukcji miary w przestrzeni $2^\kappa$, która spełniałaby wszystkie sensowne wymagania, rozważam właściwości, które są niezbędne do udowodnienia odpowiednika twierdzenia Jegorowa.\linebreak Kwestię istnienia odpowiedniej funkcji miarowej spełniającej dodatkowe założenia zostawiam jako pytanie otwarte. Przy pewnych dodatkowych założeniach każdy zbiór $\kappa$-silnie miary zero jest miary zero względem takiej funkcji. Badam także ideałową wersję Tw. Jegorowa w $2^\kappa$

Views from a peak:Generalisations and descriptive set theory

This dissertation has two major threads, one is mathematical, namely descriptive set theory, the other is philosophical, namely generalisation in mathematics. Descriptive set theory is the study of the behaviour of definable subsets of a given structure such as the real numbers. In the core mathematical chapters, we provide mathematical results connecting descriptive set theory and generalised descriptive set theory. Using these, we give a philosophical account of the motivations for, and the nature of, generalisation in mathematics.In Chapter 3, we stratify set theories based on this descriptive complexity. The axiom of countable choice for reals is one of the most basic fragments of the axiom of choice needed in many parts of mathematics. Descriptive choice principles are a further stratification of this fragment by the descriptive complexity of the sets. We provide a separation technique for descriptive choice principles based on Jensen forcing. Our results generalise a theorem by Kanovei.Chapter 4 gives the essentials of a generalised real analysis, that is a real analysis on generalisations of the real numbers to higher infinities. This builds on work by Galeotti and his coauthors. We generalise classical theorems of real analysis to certain sets of functions, strengthening continuity, and disprove other classical theorems. We also show that a certain cardinal property, the tree property, is equivalent to the Extreme Value Theorem for a set of functions which generalize the continuous functions.The question of Chapter 5 is whether a robust notion of infinite sums can be developed on generalisations of the real numbers to higher infinities. We state some incompatibility results, which suggest not. We analyse several candidate notions of infinite sum, both from the literature and more novel, and show which of the expected properties of a notion of sum they fail.In Chapter 6, we study the descriptive set theory arising from a generalization of topology, κ-topology, which is used in the previous two chapters. We show that the theory is quite different from that of the standard (full) topology. Differences include a collapsing Borel hierarchy, a lack of universal or complete sets, Lebesgue’s ‘great mistake’ holds (projections do not increase complexity), a strict hierarchy of notions of analyticity, and a failure of Suslin’s theorem.Lastly, in Chapter 7, we give a philosophical account of the nature of generalisation in mathematics, and describe the methodological reasons that mathematicians generalise. In so doing, we distinguish generalisation from other processes of change in mathematics, such as abstraction and domain expansion. We suggest a semantic account of generalisation, where two pieces of mathematics constitute a generalisation if they have a certain relation of content, along with an increased level of generality