A generalization of a copula-based construction of fuzzy implications

In this paper we complement and generalize some constructions of fuzzy implications based on two arbitrary copulas, obtaining new fuzzy implications. By means of (restricted) aggregation functions acting on [0, 1]S, where Sis a fixed finite or infinite set, and related S-systems of fuzzy implications and transforming functions, we introduce and discuss a rather general method for constructing fuzzy implications. Several examples illustrating our results are also included

Some characterizations of T-power based implications

Recently, the so-called family of T-power based implications was introduced. These operators involve the use of Zadeh’s quantifiers based on powers of t-norms in its definition. Due to the fact that Zadeh’s quantifiers constitute the usual method to modify fuzzy propositions, this family of fuzzy implication functions satisfies an important property in approximate reasoning such as the invariance of the truth value of the fuzzy conditional when both the antecedent and the consequent are modified using the same quantifier. In this paper, an in-depth analysis of this property is performed by characterizing all binary functions satisfying it. From this general result, a fully characterization of the family of T-power based implications is presented. Furthermore, a second characterization is also proved in which surprisingly the invariance property is not explicitly used.Peer ReviewedPostprint (author's final draft

On the distributivity of T-power based implications

Due to the fact that Zadeh's quantifiers constitute the usual method to modify fuzzy propositions, the so-called family of T-power based implications was proposed. In this paper, the four basic distributive laws related to T-power based fuzzy implications and fuzzy logic operations (t-norms and t-conorms) are deeply studied. This study shows that two of the four distributive laws of the T-power based implications have a unique solution, while the other two have multiple solutions

Implikacje rozmyte generowane z kopuł

Implikacje rozmyte sa jednymi z najwazniejszych spójników logiki rozmytej, które uogólniaja klasyczne implikacje dla klasycznej logiki na odcinek. Ponadto implikacje rozmyte odgrywaja wazna role w takich zastosowaniach jak wnioskowaniu przyblizonym, rozmytym rozpoznawaniu obrazu, problemach decyzyjnych, logice wielowartosciowej, itd. Celem nastepujacej dysertacji jest uporzadkowanie informacji o implikacjach rozmytych generowanych z dwuwartosciowych kopuł, badz z funkcji ogólniejszych (np. z semikopuł). Kopuły sa waznymi funkcjami w probabilistyce. Waznosc kopuł w rachunku prawdopodobienstwa wynika z twierdzenia Sklara. Rozdział I zawiera informacje wstepne dotyczace podstawowych spójników logicznych, kopuł, qausikopuł i semikopuł wraz z ich najwazniejszymi własnosciami oraz kilka przydatnych własnosci funkcji rzeczywistych. Rozdział II jest poswiecony rozwiazaniu równania Franka, który to dowód jest rzadko prezentowany w monografiach, ale t-normy Franka, które sa rozwiazaniem równania Franka, sa dosc czesto przytaczane w wielu pracach. Ponadto okazuje sie, ze wiele równan dla kopuł, wynikajacych z odpowiednich własnosci dla implikacji s-probabilistycznych, mozna rozwiazac wykorzystujac t-normy Franka. Dlatego tez prezentujemy pełny dowód rozwiazania równania Franka w wersji dla t-norm i dla kopuł. Rozdział III jest poswiecony omówieniu dwóch waznych klas implikacji. Pierwsza z nich sa implikacje indukowane z semikopuł. W rozdziale IV pokazano jak przy pomocy twierdzenia Sklara mozna otrzymac takie funkcje jak implikacje probabilistyczne, s-probabilistyczne, warunkowe, dualne oraz s-dualne. Ponadto przedstawiano podstawowe własnosci tych klas funkcji. W ostatni rozdziale V zaprezentowane sa nowe wyniki z pracy, uzyskane przez Autora we współpracy z M. Baczynskim, P. Grzegorzewskim, W. Niemyska oraz nieopublikowane wyniki uzyskane przez Autora. W skład tych wyników wchodza takie własnosci implikacji z rozdziału IV jak prawa kontrapozycji, prawo importacji, Tconditionality oraz przeciecia klas tych funkcji z innymi znanymi klasami implikacji rozmytych. W niniejszej pracy przyjeto konwencje, w której wszystkie rezultaty sa podane z odnosnikami do zródeł, z wyjatkiem nieopublikowanych rezultatów uzyskanych przez Autora, które sa podane bez odnosników