Fermatov doprinos u teoriji brojeva

Pierre de Fermat jedan je od najvećih matematičara 17. stoljeća. Smatra ga se utemeljiteljem moderne teorije brojava. Glavni cilj ovog diplomskog rada je prikazati i dijelom dokazati Fermatove rezultate i doprinose u teoriji brojeva. Fermat je dao čitav niz tvrdnji, uglavnom bez dokaza, koje su se godinama, a neke i stoljećima kasnije pokazale istinitima. Fermat je poznat po brojevima oblika $F_m=2^{2^{m}}+1, m \in \mathbb{N}$ koji se zovu Fermatovi brojevi te po svom doprinosu u razvoju diofantskih jednadžbi. U radu su iskazani i dokazani (svi osim posljednjeg) Fermatovi teoremi: Mali Fermatov teorem, Teorem o zbroju dva kvadrata, Teorem o poligonalnim brojevima i Veliki Fermatov teorem. Osim teorema u radu su opisane i na primjerima objašnjene dvije Fermatove metode: Fermatova metoda faktorizacije i Fermatova metoda neprekidnih silazaka.Pierre de Fermat is one of the greatest mathematicians of 17. century. He is considered a founder of modern number theory. The main purpose of this work is to present and partly to prove the results and contributions Fermat’s contributions to number theory. Fermat gave a whole series of assertions, mostly without the proof, which have been years, and some of them centuries later proved to be true. Fermat is famous for his numbers $F_m=2^{2^{m}}+1, m \in \mathbb{N}$, which we call Fermat’s numbers, and for his contributions in development of Diophant’s equations. In the work are presented and proved (all except the last one) following theorems: Fermat’s Little theorem, Two-Square Theorem, Fermat polygonal number theorem and Fermat’s Last Theorem. Except the theorems, two Fermat’s methods: Fermat’s factorizations method and Fermat’s method of infinite descent are described and explained trough the examples

O nekim Eulerovim doprinosima u teoriji brojeva

Leonhard Euler (1707.-1783.) najproduktivniji je matematičar svih vremena. Dao je ogroman doprinos svakom matematičkom području svog vremena, ali i mnogim drugim znanostima kao što su geografija, fizika, teorija glazbe, ... Postavio je temelje nekim matematičkim granama, a smatra se da je posebnu "virtuoznost'' pokazao baveći se teorijom brojeva. U radu ćemo opisati samo neke njegove doprinose elementarnoj teoriji brojeva, primjerice dokaz Malog Fermatovog teorema, Velikog Fermatovog teorema za $n=3$ i Teorema o dva kvadrata te mnoge zaključke vezane uz djeljivost prirodnih brojeva, Legendreov simbol i Pellovu jednadžbu.Leonhard Euler (1707. - 1783.) is the most productive mathematician of all time. He made enormous contributions to every mathematical branch of his time as well as to many other fields of science such as geography, physics, music theory,… He laid the foundations for some mathematical branches, however, number theory is considered the branch where his “virtuosity” was most evident. This paper describes just some of his contributions to elementary number theory, such as the proof of Fermat’s little theorem, Fermat’s last theorem for $n = 3$ and his Theorem on the sum of two squares as well as many conclusions related to the divisibility of natural numbers, the Legendre symbol and Pell’s equation

Eulerova funkcija

Eulerova funkcija je jedna od najvažnijih funkcija u teoriji brojeva. U članku ćemo izvesti formulu za određivanje vrijednosti ove funkcije te ćemo dokazati neka od njezinih svojstava. Na primjerima ćemo pokazati neke od primjena dobivenih rezultata, a na kraju ćemo opisati nekoliko problema koji su usko vezani uz Eulerovu funkciju

O nekim Eulerovim doprinosima u teoriji brojeva

Leonhard Euler (1707.-1783.) najproduktivniji je matematičar svih vremena. Dao je ogroman doprinos svakom matematičkom području svog vremena, ali i mnogim drugim znanostima kao što su geografija, fizika, teorija glazbe, ... Postavio je temelje nekim matematičkim granama, a smatra se da je posebnu "virtuoznost'' pokazao baveći se teorijom brojeva. U radu ćemo opisati samo neke njegove doprinose elementarnoj teoriji brojeva, primjerice dokaz Malog Fermatovog teorema, Velikog Fermatovog teorema za $n=3$ i Teorema o dva kvadrata te mnoge zaključke vezane uz djeljivost prirodnih brojeva, Legendreov simbol i Pellovu jednadžbu.Leonhard Euler (1707. - 1783.) is the most productive mathematician of all time. He made enormous contributions to every mathematical branch of his time as well as to many other fields of science such as geography, physics, music theory,… He laid the foundations for some mathematical branches, however, number theory is considered the branch where his “virtuosity” was most evident. This paper describes just some of his contributions to elementary number theory, such as the proof of Fermat’s little theorem, Fermat’s last theorem for $n = 3$ and his Theorem on the sum of two squares as well as many conclusions related to the divisibility of natural numbers, the Legendre symbol and Pell’s equation

Fermatov posljednji teorem - novi pogled

Preikaz knjige Fermatov posljednji teorem

Modularna metoda za rješavanje diofantskih jednadžbi

Andrew Wiles dokazao je 1995. godine posljednji Fermatov teorem, koristeći vezu između eliptičkih krivulja i modularnih formi. Zapravo, Wiles je dokazao poseban slučaj teorema o modularnosti. Cilj ovog rada bio je pokazati primjene teorema o modularnosti i teorije eliptičkih krivulja i modularnih formi na diofantske jednadžbe. U prvom poglavlju dajemo pregled osnovnih pojmova vezanih uz eliptičke krivulje. Posebno se bavimo sa redukcijom eliptičkih krivulja modulo $p$: opisujemo slučajeve i podslučajeve dobre i loše redukcije te definiramo konduktor eliptičke krivulje. Na primjeru pokazujemo traženje minimalne jednadžbe i konduktora. Nadalje, definiramo izogenije eliptičkih krivulja i dajemo nekoliko bitnih primjera izogenija. Na kraju poglavlja iskazujemo Mazurov teorem o $p$-izogenijama. U drugom poglavlju definiramo modularnu grupu i njene kongruencijske podgrupe, a zatim definiramo i modularne forme obzirom na kongruencijske podgrupe. U nastavku definiramo newforme: posebnu klasu modularnih formi, koje su posebno bitne za teorem o modularnosti i dajemo pregled osnovnih svojstava newformi. Na kraju poglavlja iskazujemo Ribetov teorem i teorem o modularnosti, koji daju osnovu za primjenu ove teorije na rješavanje diofantskih jednadžbi. U posljednjem poglavlju pokazujemo na primjerima kako se teorem o modularnosti i Ribetov teorem mogu primjeniti na rješavanje diofantskih jednadžbi. Prvi primjer je Fermatova jednadžba $a^p+b^p+c^p=0$, tj. pokazujemo da iz teorema o modularnosti i Ribetovog teorema slijedi posljednji Fermatov teorem. Nakon toga se bavimo jednadžbom $x^p+L^ry^p+z^p=0$ i na tom primjeru pokazujemo nekoliko metoda koje se mogu primjeniti na takve jednadžbe. Jedan od pristupa je tzv. Krausova metoda, za čiju primjenu dajemo još jedan primjer.Andrew Wiles proved Fermat’s last theorem in 1995, using the connection between elliptic curves and modular forms. Actually, Wiles proved a special case of the modularity theorem. The goal of this thesis was to demonstrate application of the modularity theorem and theories of elliptic curves and modular forms to Diophantine equations. In the first chapter we give an overview of basic terms related to elliptic curves. We especially deal with reduction of elliptic curves modulo $p$: we describe the cases and subcases of good and bad reduction and define the conductor of an elliptic curve. We show an example of finding the minimal equation and conductor. Furthermore, we define isogenies of elliptic curves and give a few important examples of isogenies. The chapter ends with the statement of Mazur’s theorem on $p$-isogenies. In the second chapter we define the modular group and its congruence subgroups and then also define modular forms with respect to congruence subgroups. Subsequently, we define newforms: a special class of modular forms, which are especially important for the modularity theorem, and we give an overview of basic properties of newforms. In the end of this chapter we state Ribet’s theorem and the modularity theorem, which give the basis for application of this theory on solving Diophantine equations. In the final chapter we demonstrate the application of the modularity and Ribet’s theorem to solving Diophantine equations. The first example is Fermat’s eqautions $a^p+b^p+c^p=0$, i.e. we show that Fermat’s last theorem follows from modularity theorem and Ribet’s theorem. After that we look at the equation $x^p+L^ry^p+z^p=0$ and in that example we show a few methods that can be applied to such equations. One approach is the so called method of Kraus, and for this method we give one more example