Efficient Regular Scalar Multiplication on the Jacobian of Hyperelliptic Curve over Prime Field Based on Divisor Splitting

We consider in this paper scalar multiplication algorithms over a hyperelliptic curve which are immune against simple power analysis and timing attack. To reach this goal we adapt the regular modular exponentiation based on multiplicative splitting presented in JCEN 2017 to scalar multiplication over a hyperelliptic curve. For hyperelliptic curves of genus g = 2 and 3, we provide an algorithm to split the base divisor as a sum of two divisors with smaller degree. Then we obtain an algorithm with a regular sequence of doubling always followed by an addition with a low degree divisor. We also provide efficient formulas to add such low degree divisors with a divisor of degree g. A complexity analysis and implementation results show that the proposed approach is better than the classical Double-and-add-always approach for scalar multiplication

Boolean Exponent Splitting

A typical countermeasure against side-channel attacks consists of masking intermediate values with a random number. In symmetric cryptographic algorithms, Boolean shares of the secret are typically used, whereas in asymmetric algorithms the secret exponent/scalar is typically masked using algebraic properties. This paper presents a new exponent splitting technique with minimal impact on performance based on Boolean shares. More precisely, it is shown how an exponent can be efficiently split into two shares, where the exponent is the XOR sum of the two shares, typically requiring only an extra register and a few register copies per bit. Our novel exponentiation and scalar multiplication algorithms can be randomized for every execution and combined with other blinding techniques. In this way, both the exponent and the intermediate values can be protected against various types of side-channel attacks. We perform a security evaluation of our algorithms using the mutual information framework and provide proofs that they are secure against first-order side-channel attacks. The side-channel resistance of the proposed algorithms is also practically verified with test vector leakage assessment performed on Xilinx\u27s Zynq zc702 evaluation board

FPGA IMPLEMENTATION FOR ELLIPTIC CURVE CRYPTOGRAPHY OVER BINARY EXTENSION FIELD

Elliptic curve cryptography plays a crucial role in network and communication security. However, implementation of elliptic curve cryptography, especially the implementation of scalar multiplication on an elliptic curve, faces multiple challenges. One of the main challenges is side channel attacks (SCAs). SCAs pose a real threat to the conventional implementations of scalar multiplication such as binary methods (also called doubling-and-add methods). Several scalar multiplication algorithms with countermeasures against side channel attacks have been proposed. Among them, Montgomery Powering Ladder (MPL) has been shown an effective countermeasure against simple power analysis. However, MPL is still vulnerable to certain more sophisticated side channel attacks. A recently proposed modified MPL utilizes a combination of sequence masking (SM), exponent splitting (ES) and point randomization (PR). And it has shown to be one of the best countermeasure algorithms that are immune to many sophisticated side channel attacks [11]. In this thesis, an efficient hardware architecture for this algorithm is proposed and its FPGA implementation is also presented. To our best knowledge, this is the first time that this modified MPL with SM, ES, and PR has been implemented in hardware

Multiplication in Finite Fields and Elliptic Curves

La cryptographie à clef publique permet de s'échanger des clefs de façon distante, d'effectuer des signatures électroniques, de s'authentifier à distance, etc. Dans cette thèse d'HDR nous allons présenter quelques contributions concernant l'implantation sûre et efficace de protocoles cryptographiques basés sur les courbes elliptiques. L'opération de base effectuée dans ces protocoles est la multiplication scalaire d'un point de la courbe. Chaque multiplication scalaire nécessite plusieurs milliers d'opérations dans un corps fini.Dans la première partie du manuscrit nous nous intéressons à la multiplication dans les corps finis car c'est l'opération la plus coûteuse et la plus utilisée. Nous présentons d'abord des contributions sur les multiplieurs parallèles dans les corps binaires. Un premier résultat concerne l'approche sous-quadratique dans une base normale optimale de type 2. Plus précisément, nous améliorons un multiplieur basé sur un produit de matrice de Toeplitz avec un vecteur en utilisant une recombinaison des blocs qui supprime certains calculs redondants. Nous présentons aussi un multiplieur pous les corps binaires basé sur une extension d'une optimisation de la multiplication polynomiale de Karatsuba.Ensuite nous présentons des résultats concernant la multiplication dans un corps premier. Nous présentons en particulier une approche de type Montgomery pour la multiplication dans une base adaptée à l'arithmétique modulaire. Cette approche cible la multiplication modulo un premier aléatoire. Nous présentons alors une méthode pour la multiplication dans des corps utilisés dans la cryptographie sur les couplages : les extensions de petits degrés d'un corps premier aléatoire. Cette méthode utilise une base adaptée engendrée par une racine de l'unité facilitant la multiplication polynomiale basée sur la FFT. Dans la dernière partie de cette thèse d'HDR nous nous intéressons à des résultats qui concernent la multiplication scalaire sur les courbes elliptiques. Nous présentons une parallélisation de l'échelle binaire de Montgomery dans le cas de E(GF(2^n)). Nous survolons aussi quelques contributions sur des formules de division par 3 dans E(GF(3^n)) et une parallélisation de type (third,triple)-and-add. Dans le dernier chapitre nous développons quelques directions de recherches futures. Nous discutons d'abord de possibles extensions des travaux faits sur les corps binaires. Nous présentons aussi des axes de recherche liés à la randomisation de l'arithmétique qui permet une protection contre les attaques matérielles

Sécurité physique de la cryptographie sur courbes elliptiques

Elliptic Curve Cryptography (ECC) has gained much importance in smart cards because of its higher speed and lower memory needs compared with other asymmetric cryptosystems such as RSA. ECC is believed to be unbreakable in the black box model, where the cryptanalyst has access to inputs and outputs only. However, it is not enough if the cryptosystem is embedded on a device that is physically accessible to potential attackers. In addition to inputs and outputs, the attacker can study the physical behaviour of the device. This new kind of cryptanalysis is called Physical Cryptanalysis. This thesis focuses on physical cryptanalysis of ECC. The first part gives the background on ECC. From the lowest to the highest level, ECC involves a hierarchy of tools: Finite Field Arithmetic, Elliptic Curve Arithmetic, Elliptic Curve Scalar Multiplication and Cryptographie Protocol. The second part exhibits a state-of-the-art of the different physical attacks and countermeasures on ECC.For each attack, the context on which it can be applied is given while, for each countermeasure, we estimate the lime and memory cost. We propose new attacks and new countermeasures. We then give a clear synthesis of the attacks depending on the context. This is useful during the task of selecting the countermeasures. Finally, we give a clear synthesis of the efficiency of each countermeasure against the attacks.La Cryptographie sur les Courbes Elliptiques (abréviée ECC de l'anglais Elliptic Curve Cryptography) est devenue très importante dans les cartes à puces car elle présente de meilleures performances en temps et en mémoire comparée à d'autres cryptosystèmes asymétriques comme RSA. ECC est présumé incassable dans le modèle dit « Boite Noire », où le cryptanalyste a uniquement accès aux entrées et aux sorties. Cependant, ce n'est pas suffisant si le cryptosystème est embarqué dans un appareil qui est physiquement accessible à de potentiels attaquants. En plus des entrés et des sorties, l'attaquant peut étudier le comportement physique de l'appareil. Ce nouveau type de cryptanalyse est appelé cryptanalyse physique. Cette thèse porte sur les attaques physiques sur ECC. La première partie fournit les pré-requis sur ECC. Du niveau le plus bas au plus élevé, ECC nécessite les outils suivants : l'arithmétique sur les corps finis, l'arithmétique sur courbes elliptiques, la multiplication scalaire sur courbes elliptiques et enfin les protocoles cryptographiques. La deuxième partie expose un état de l'art des différentes attaques physiques et contremesures sur ECC. Pour chaque attaque, nous donnons le contexte dans lequel elle est applicable. Pour chaque contremesure, nous estimons son coût en temps et en mémoire. Nous proposons de nouvelles attaques et de nouvelles contremesures. Ensuite, nous donnons une synthèse claire des attaques suivant le contexte. Cette synthèse est utile pendant la tâche du choix des contremesures. Enfin, une synthèse claire de l'efficacité de chaque contremesure sur les attaques est donnée