Behavior of Petrie Lines in Certain Edge-Transitive Graphs

We survey the construction and classification of one-, two- and infinitely-ended members of a class of highly symmetric, highly connected infinite graphs. In addition, we pose a conjecture concerning the relationship between the Petrie lines and ends of some infinitely-ended members of this class

Everywhere Equivalent 3-Braids

A knot (or link) diagram is said to be everywhere equivalent if all the diagrams obtained by switching one crossing represent the same knot (or link). We classify such diagrams of a closed 3-braid

Hipermapas 2-restritamente-regulares de baixo género

Doutoramento em MatemáticaNesta tese consideramos hipermapas com grande número de automorfismos em superfícies de baixo género, nomeadamente a esfera, o plano projectivo, o toro e o duplo toro. É conhecido o facto de que o número de automorfismos ou simetrias de um hipermapa H é limitado pelo seu número de flags, que, genericamente falando, são triplos vértice-aresta-face mutualmente incidentes. De facto, o número de automorfismos de H divide o número de flags de H. Hipermapas para os quais este limite é atingido são chamados regulares e estão classificados nas superfícies orientáveis até género 101 e em superfícies não-orientáveis até genero 202, usando computadores. Neste trabalho classificamos os hipermapas 2-restritamente-regulares na esfera, no plano projectivo, no toro e no duplo toro, isto é, hipermapas cujo número de automorfismos é igual a metade do número de flags, e calculamos os seus grupos quiralidade e índices de quiralidade, que podem ser vistos como medidas algébricas e numéricas de quanto H se distancia de ser regular. Estes hipermapas são uma generalização dos hipermapas quirais. Também introduzimos alguns métodos para construir hipermapas bipartidos. Duas destas construções têm um papel muito importante no nosso trabalho.This thesis deals with hypermaps having large automorphism group on surfaces of small genus, namely the sphere, the projective plane, the torus and the double torus. It is well-known that the number of automorphisms or symmetries of a hypermap H is bounded by its number of flags, which are, roughly speaking, incident triples vertex-edge-face. In fact, the number of automorphisms of H divides the number of flags of H. Hypermaps for which this upper bound is attained are called regular and have been classified on orientable surfaces up to genus 101 and on non-orientable surfaces up to genus 202, using computers. In this work we classify the 2-restrictedly-regular hypermaps on the sphere, the projective plane, the torus and the double torus, that is, hypermaps whose number of automorphism is equal to half the number of flags and compute their chirality groups and chirality indices, which may be regarded as algebraic and numerical measures of how far H deviates from being regular. These hypermaps are a generalization of chiral hypermaps. We also introduce some methods for constructing bipartite hypermaps. Two of those constructions will play an important role in our work