Convexity-Increasing Morphs of Planar Graphs

We study the problem of convexifying drawings of planar graphs. Given any planar straight-line drawing of an internally 3-connected graph, we show how to morph the drawing to one with strictly convex faces while maintaining planarity at all times. Our morph is convexity-increasing, meaning that once an angle is convex, it remains convex. We give an efficient algorithm that constructs such a morph as a composition of a linear number of steps where each step either moves vertices along horizontal lines or moves vertices along vertical lines. Moreover, we show that a linear number of steps is worst-case optimal. To obtain our result, we use a well-known technique by Hong and Nagamochi for finding redrawings with convex faces while preserving y-coordinates. Using a variant of Tutte's graph drawing algorithm, we obtain a new proof of Hong and Nagamochi's result which comes with a better running time. This is of independent interest, as Hong and Nagamochi's technique serves as a building block in existing morphing algorithms.Comment: Preliminary version in Proc. WG 201

A Finite Algorithm for the Realizabilty of a Delaunay Triangulation

The \emph{Delaunay graph} of a point set $P \subseteq \mathbb{R}^2$ is the plane graph with the vertex-set $P$ and the edge-set that contains $\{p,p'\}$ if there exists a disc whose intersection with $P$ is exactly $\{p,p'\}$. Accordingly, a triangulated graph $G$ is \emph{Delaunay realizable} if there exists a triangulation of the Delaunay graph of some $P \subseteq \mathbb{R}^2$, called a \emph{Delaunay triangulation} of $P$, that is isomorphic to $G$. The objective of \textsc{Delaunay Realization} is to compute a point set $P \subseteq \mathbb{R}^2$ that realizes a given graph $G$ (if such a $P$ exists). Known algorithms do not solve \textsc{Delaunay Realization} as they are non-constructive. Obtaining a constructive algorithm for \textsc{Delaunay Realization} was mentioned as an open problem by Hiroshima et al.~\cite{hiroshima2000}. We design an $n^{\mathcal{O}(n)}$-time constructive algorithm for \textsc{Delaunay Realization}. In fact, our algorithm outputs sets of points with {\em integer} coordinates

Facets of Planar Graph Drawing

This thesis makes a contribution to the field of Graph Drawing, with a focus on the planarity drawing convention. The following three problems are considered. (1) Ordered Level Planarity: We introduce and study the problem Ordered Level Planarity which asks for a planar drawing of a graph such that vertices are placed at prescribed positions in the plane and such that every edge is realized as a y-monotone curve. This can be interpreted as a variant of Level Planarity in which the vertices on each level appear in a prescribed total order. We establish a complexity dichotomy with respect to both the maximum degree and the level-width, that is, the maximum number of vertices that share a level. Our study of Ordered Level Planarity is motivated by connections to several other graph drawing problems. With reductions from Ordered Level Planarity, we show NP-hardness of multiple problems whose complexity was previously open, and strengthen several previous hardness results. In particular, our reduction to Clustered Level Planarity generates instances with only two nontrivial clusters. This answers a question posed by Angelini, Da Lozzo, Di Battista, Frati, and Roselli [2015]. We settle the complexity of the Bi-Monotonicity problem, which was proposed by Fulek, Pelsmajer, Schaefer, and Stefankovic [2013]. We also present a reduction to Manhattan Geodesic Planarity, showing that a previously [2009] claimed polynomial time algorithm is incorrect unless P=NP. (2) Two-page book embeddings of triconnected planar graphs: We show that every triconnected planar graph of maximum degree five is a subgraph of a Hamiltonian planar graph or, equivalently, it admits a two-page book embedding. In fact, our result is more general: we only require vertices of separating 3-cycles to have degree at most five, all other vertices may have arbitrary degree. This degree bound is tight: we describe a family of triconnected planar graphs that cannot be realized on two pages and where every vertex of a separating 3-cycle has degree at most six. Our results strengthen earlier work by Heath [1995] and by Bauernöppel [1987] and, independently, Bekos, Gronemann, and Raftopoulou [2016], who showed that planar graphs of maximum degree three and four, respectively, can always be realized on two pages. The proof is constructive and yields a quadratic time algorithm to realize the given graph on two pages. (3) Convexity-increasing morphs: We study the problem of convexifying drawings of planar graphs. Given any planar straight-line drawing of an internally 3-connected graph, we show how to morph the drawing to one with strictly convex faces while maintaining planarity at all times. Our morph is convexity-increasing, meaning that once an angle is convex, it remains convex. We give an efficient algorithm that constructs such a morph as a composition of a linear number of steps where each step either moves vertices along horizontal lines or moves vertices along vertical lines. Moreover, we show that a linear number of steps is worst-case optimal.Diese Arbeit behandelt drei unterschiedliche Problemstellungen aus der Disziplin des Graphenzeichnens (Graph Drawing). Bei jedem der behandelten Probleme ist die gesuchte Darstellung planar. (1) Ordered Level Planarity: Wir führen das Problem Ordered Level Planarity ein, bei dem es darum geht, einen Graph so zu zeichnen, dass jeder Knoten an einer vorgegebenen Position der Ebene platziert wird und die Kanten als y-monotone Kurven dargestellt werden. Dies kann als eine Variante von Level Planarity interpretiert werden, bei der die Knoten jedes Levels in einer vorgeschriebenen Reihenfolge platziert werden müssen. Wir klassifizieren die Eingaben bezüglich ihrer Komplexität in Abhängigkeit von sowohl dem Maximalgrad, als auch der maximalen Anzahl von Knoten, die demselben Level zugeordnet sind. Wir motivieren die Ergebnisse, indem wir Verbindungen zu einigen anderen Graph Drawing Problemen herleiten: Mittels Reduktionen von Ordered Level Planarity zeigen wir die NP-Schwere einiger Probleme, deren Komplexität bislang offen war. Insbesondere wird gezeigt, dass Clustered Level Planarity bereits für Instanzen mit zwei nichttrivialen Clustern NP-schwer ist, was eine Frage von Angelini, Da Lozzo, Di Battista, Frati und Roselli [2015] beantwortet. Wir zeigen die NP-Schwere des Bi-Monotonicity Problems und beantworten damit eine Frage von Fulek, Pelsmajer, Schaefer und Stefankovic [2013]. Außerdem wird eine Reduktion zu Manhattan Geodesic Planarity angegeben. Dies zeigt, dass ein bestehender [2009] Polynomialzeitalgorithmus für dieses Problem inkorrekt ist, es sei denn, dass P=NP ist. (2) Bucheinbettungen von dreifach zusammenhängenden planaren Graphen mit zwei Seiten: Wir zeigen, dass jeder dreifach zusammenhängende planare Graph mit Maximalgrad 5 Teilgraph eines Hamiltonischen planaren Graphen ist. Dies ist äquivalent dazu, dass ein solcher Graph eine Bucheinbettung auf zwei Seiten hat. Der Beweis ist konstruktiv und zeigt in der Tat sogar, dass es für die Realisierbarkeit nur notwendig ist, den Grad von Knoten separierender 3-Kreise zu beschränken - die übrigen Knoten können beliebig hohe Grade aufweisen. Dieses Ergebnis ist bestmöglich: Wenn die Gradschranke auf 6 abgeschwächt wird, gibt es Gegenbeispiele. Diese Ergebnisse verbessern Resultate von Heath [1995] und von Bauernöppel [1987] und, unabhängig davon, Bekos, Gronemann und Raftopoulou [2016], die gezeigt haben, dass planare Graphen mit Maximalgrad 3 beziehungsweise 4 auf zwei Seiten realisiert werden können. (3) Konvexitätssteigernde Deformationen: Wir zeigen, dass jede planare geradlinige Zeichnung eines intern dreifach zusammenhängenden planaren Graphen stetig zu einer solchen deformiert werden kann, in der jede Fläche ein konvexes Polygon ist. Dabei erhält die Deformation die Planarität und ist konvexitätssteigernd - sobald ein Winkel konvex ist, bleibt er konvex. Wir geben einen effizienten Algorithmus an, der eine solche Deformation berechnet, die aus einer asymptotisch optimalen Anzahl von Schritten besteht. In jedem Schritt bewegen sich entweder alle Knoten entlang horizontaler oder entlang vertikaler Geraden

Drawing Trees on Grids

Das Zeichnen von Graphen beschäftigt sich mit der Frage, wie die durch einen Graphen repräsentierten Informationen für einen Betrachter übersichtlich und verständlich dargestellt werden können. Die Graphklasse der Bäume dient insbesondere zur Repräsentation von hierarchischen Strukturen. Neben den hierarchisch und radial darstellenden Verfahren werden Bäume auch auf dem orthogonalen Gitter gezeichnet, in welchem die Knoten auf ganzzahligen Koordinaten liegen und die Kanten entlang der horizontalen und vertikalen Gitterlinien verlaufen. Gewünscht wird eine gute Lesbarkeit der Zeichnungen und deren effiziente Berechnung. Für die formale Bewertung der Lesbarkeit existieren speziell für das Zeichnen von Bäumen definierte Ästhetikkriterien, wie eine ebenenweise Darstellung, die Ordnungserhaltung und Kriterien zur Darstellung von Subgraphisomorphien und Symmetrien. Die vorliegende Arbeit befasst sich mit einer bislang wenig studierten Erweiterung des orthogonalen Gitters auf das hexagonale und oktagonale Gitter durch das Hinzunehmen von einer bzw. beider diagonalen Gitterrichtungen, und der Problemstellung, wie Bäume darauf gezeichnet werden. Dadurch können auch Bäume mit einem höheren Grad gezeichnet werden als auf dem orthogonalen Gitter. Die Einschränkung, dass nur Bäume gezeichnet werden können, deren Grad kleiner ist als die Anzahl der Gitterrichtungen des verwendeten Gitters, besteht jedoch weiterhin. Als Ästhetikkriterien werden die lokale Uniformität, die die Länge der ausgehenden Kanten eines Knotens festlegt, und Pattern, die deren Richtungen festlegen, eingeführt. Gegenüber dem bekannten linearen Flächenverbrauch von geradlinigen Zeichnungen von vollständigen Binärbäumen auf dem orthogonalen Gitter, werden für Zeichnungen von vollständigen d-nären Bäumen mit d > 2 nicht-lineare untere Schranken für die benötigte Fläche auf dem hexagonalen und dem oktagonalen Gitter gezeigt. Insgesamt werden für vollständige und beliebige, geordnete und ungeordnete Bäume obere und untere Flächenschranken für Zeichnungen auf dem hexagonalen und oktagonalen Gitter präsentiert. Dabei zeigt sich, dass bei nicht-ordnungserhaltenden Zeichnungen zwar mehr als lineare, aber deutlich weniger als quadratische Fläche benötigt wird. Im Gegensatz dazu gibt es geordnete Bäume, deren ordnungserhaltende Zeichnungen exponentielle Fläche benötigen. Des Weiteren wird die Ermittlung der minimalen Zeichenfläche für geordnete d-näre Bäume ebenso als NP-vollständig bewiesen, wie das Zeichnen von ungeordneten d-nären Bäumen mit einheitlichen Kantenlängen. Schließlich werden zwei Linearzeitalgorithmen vorgestellt, die geordnete d-näre Bäume unter Einhaltung der genannten Ästhetikkriterien zeichnen

Algorithms for drawing planar graphs

Computers raken meer en meer ingeburgerd in de samenleving. Ze worden gebruikt om informatie uit te rekenen, op te slaan en snel weer te geven. Deze weergave kan gebeuren in tekst, tabellen of in allerlei andere schema's. Een plaatje zegt vaak meer dan 1000 woorden, mits het plaatje duidelijk en overzichtelijk is. Een schema kan bestaan uit rechthoeken met informatie en verbindingslijnen tussen deze rechthoeken. Denk maar aan een schematische weergave van de organisatie structuur van een bedrijf. Of beschouw een schematische weergave van alle relaties en links in een database of een ander software programma. Ook een plan voor een uit te voeren project moet duidelijk laten zien welke onderdelen afhankelijk van elkaar zijn en tegelijk of na elkaar uitgevoerd moeten worden. Uit een schema moeten alle onderlinge relaties direct blijken. Ook op het gebied van electrische schakelingen zijn er vaak vereenvoudigde schema's die alle verbindingen tussen de componenten weergeven. Denk maar aan de bijlagen van een televisietoestel. Een schema wordt hier veelal gebruikt om later reparaties of uitbreidingen aan de electrische schakelingen uit te voeren. De elec- trische schakelingen kunnen uit duizenden componenten bestaan. Als er zeer veel van deze schakelingen grasch weergegeven moeten worden, is het belangrijk dat tekeningen van deze netwerken snel gemaakt kunnen worden, en het resultaat moet duidelijk en overzichtelijk zijn. In meer algemene zin bestaat een netwerk uit een aantal componenten, met verbindingen tussen deze componenten. In de wiskunde worden deze netwerken ook wel grafen genoemd. De componenten worden knopen genoemd en de verbindingen lijnen. Dit proefschrift is gewijd aan het automatisch tekenen en grasch representeren van grafen. De hierboven vermelde voorbeelden geven een goed inzichtin de be- trokken vragen bij de methoden, ook wel algoritmen genoemd, om een layout van een graaf te maken. Helaas zijn esthetische criteria zoals \leesbaarheid" of een \mooie tekening" niet direct te vertalen tot wiskundige formules. Anderzijds kan een wiskundig optimaliseringcriterium een goede keus zijn voor een bepaalde graaf, maar leiden tot een onoverzichtelijke tekening in andere gevallen. Heel vaak voldoet een goede tekening aan een combinatie van optimaliseringscriteria. Een belangrijk criterium is ofdat de graaf zonder kruisende lijnen getekend kan worden. Als dit het geval is dan wordt de graaf planair genoemd. We bestuderen in dit proefschrift het automatisch tekenen en representeren van 223?224 SAMENVATTING planaire grafen in het platte vlak en op roosters (dus alle co? ordinaten zijn gehele getallen). We tekenen de planaire grafen ook zonder kruisende lijnen. Belangrijke criteria voor de representatie van planaire grafen, genoemd in de literatuur, zijn de volgende: Het minimaliseren van het aantal bochten in de verbindingen (of het tekenen van de graaf met alle verbindingen als rechte lijnen weergegeven). Het minimaliseren van het totaal gebruikte gebied waarbinnen de representatie \mooi" kan worden weergegeven. Het plaatsen van de knopen, lijnen en bochten op roostercoordinaten. Het maximaliseren van de hoeken tussen elke twee opeenvolgende uitgaande verbindingen van een knoop. Het maximaliseren van de totale afstand tussen de knopen. De interne gebieden moeten convex getekend worden. Kwantitatieve uitspraken over de kwaliteit van een tekenalgoritme worden steeds gedaan in termen van het aantal knopen van een graaf. Het proefschrift is onderverdeeld in drie delen: Deel A presenteert een inleiding tot het gebied van planaire grafen. Het geeft een uitgebreid overzicht ven de belangrijkste basistechnieken en algoritmen, die vooraf- gaan aan de algoritmen, beschreven in de andere delen. Deel B beschouwt het probleem van het uitbreiden van planaire grafen zodat een bepaalde graad van samenhangendheid wordt bereikt. Een graaf heet k-samen- hangend als na het weglaten van