On the k-distance differential of graphs

Let G = (V, E) be a graph and X ⊆ V . The differential of X is defined as ∂(X) = |B(X)| − |X| where B(X) is a set of all vertices in V − X which has adjacent vertex in the set X. Also, the differential of a graph G written ∂(G), is equal to max{∂(X) : X ⊆ V }. In this paper, we initiate the study of k-distance differential of graphs which is a generalization of differential of graphs. In addition, we show that for any connected graph G of order n ≥ k + 2, the number (2k−1)n / 2k+3 is a sharp lower bound for k-distance differential of G. We also obtain upper bounds for k-distance differential of graphs. Finally, we characterize the graphs whose k-distance differential belongs to {n − 2, n − 3, 1}.Publisher's Versio

Propiedades del diferencial en gráficas

Sea G = (V (G), E(G)) una gráfica simple, en el que V (G) y E(G) son sus conjuntos de vértices y aristas respectivamente. Si S ⊆ V (G), sea B(S) el conjunto de vértices con- tenido en V (G)\S con algún vecino en S. El diferencial de S denotado por ∂(S) se define como |B(S)| −|S|, y el diferencial de una gráfica como ∂(G) = m ́ax{∂(S) : S ⊆ V (G)}. En este trabajo mostramos una amplia colección de resultados que relacionan el dife- rencial con parámetros bien conocidos, como el número de dominación, orden, tamaño, grado, cuello, entre otros. También estudiamos el diferencial en la gráfica R(G), que se obtiene a partir de G, agregando un nuevo vértice por cada arista de G y uniendo cada vértice nuevo a los extremos de la arista correspondiente a él. Encontramos cotas para ∂(R(G)) y familias infinitas de gráficas que las alcanzan. Además, mostramos relaciones interesantes entre ciertos conjuntos de vértices de G y R(G). Generalizamos el concepto de diferencial de una gráfica. Estudiamos las propiedades matemáticas de este nuevo parámetro y encontramos cotas que lo relacionan con el orden, tamaño, grado mínimo (máximo) y el número de dominación. Finalmente, este trabajo se complementa con el concepto de polinomio diferencial, establecemos relaciones entre el polinomio y sus coeficientes, y mostramos fórmulas del polinomio diferencial en ciertas clases de gráficas

Symmetry in Graph Theory

This book contains the successful invited submissions to a Special Issue of Symmetry on the subject of ""Graph Theory"". Although symmetry has always played an important role in Graph Theory, in recent years, this role has increased significantly in several branches of this field, including but not limited to Gromov hyperbolic graphs, the metric dimension of graphs, domination theory, and topological indices. This Special Issue includes contributions addressing new results on these topics, both from a theoretical and an applied point of view