A Lifting Relation from Macroscopic Variables to Mesoscopic Variables in Lattice Boltzmann Method: Derivation, Numerical Assessments and Coupling Computations Validation

In this paper, analytic relations between the macroscopic variables and the mesoscopic variables are derived for lattice Boltzmann methods (LBM). The analytic relations are achieved by two different methods for the exchange from velocity fields of finite-type methods to the single particle distribution functions of LBM. The numerical errors of reconstructing the single particle distribution functions and the non-equilibrium distribution function by macroscopic fields are investigated. Results show that their accuracy is better than the existing ones. The proposed reconstruction operator has been used to implement the coupling computations of LBM and macro-numerical methods of FVM. The lid-driven cavity flow is chosen to carry out the coupling computations based on the numerical strategies of domain decomposition methods (DDM). The numerical results show that the proposed lifting relations are accurate and robust

Applications of Asymptotic Analysis

This workshop focused on asymptotic analysis and its fundamental role in the derivation and understanding of the nonlinear structure of mathematical models in various fields of applications, its impact on the development of new numerical methods and on other fields of applied mathematics such as shape optimization. This was complemented by a review as well as the presentation of some of the latest developments of singular perturbation methods

Hyperbolic Conservation Laws

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Lattice Boltzmann Methods for Turbulent Flows – Application to Coriolis Mass Flowmeter

Komplexe Strömungsphänomene machen es schwierig Ingenieursanwendungen so detailliert und genau zu simulieren, dass eine Charakterisierung und Verbesserung ihres Funktionsprinzips möglich ist. Diese Arbeit zeigt, dass die Lattice-Boltzmann-Methode (LBM) sehr gut für diesen Zweck geeignet ist. Im Vordergrund stehen hierbei die Simulation und Modellierung von turbulenten Strömungen. Diese lassen sich auf Grund der hervorragenden Parallelisierbarkeit der LBM mit Large-eddy Simulationen an Stelle von Reynolds-gemittelten Navier--Stokes Modellen, die im industriellen Umfeld üblich sind, berechnen. Somit können komplexe transiente turbulente Strömungen simulativ untersucht werden. Die daraus gewonnenen Erkenntnisse dienen insbesondere der Auslegung und Optimierung von Bauteilen und Prozessen. Alle beschriebenen LBM Simulationen werden mit der Open Source Software OpenLB durchgeführt. Dazu wird OpenLB erweitert, um eine Validierung von implementierten Turbulenzmodellen mittels kanonischer Strömungsformen zu ermöglichen. Des Weiteren wird ein Framework für die Simulation von Fluid-Struktur Interaktion (FSI) geschaffen. Anfangs werden die Kollisionsoperatoren Bhatnagar--Gross--Krook (BGK), Entropic Lattice Boltzmann (ELB), Two-Relaxation-Time (TRT), Regularized Lattice Boltzmann (RLB) und Multiple-Relaxation-Time (MRT) in der Taylor-Green Vortex Strömung, einem klassischen Beispiel für abklingende homogene isotrope Turbulenz (DHIT), untersucht. Hierbei liegt der Fokus auf Stabilität, Konsistenz und Genauigkeit der verwendeten Schemata. Die Studie beinhaltet den Vergleich der turbulenten kinetischen Energie, der Dissipationsrate der Energie und dem Energiespektrum zu einer Referenzlösung. Drei unterschiedliche Reynoldszahlen, $\mathrm{Re}=800$, $\mathrm{Re}=1600$ und $\mathrm{Re}=3000$, werden sowohl unter Verwendung einer akustischen als auch einer diffusiven Skalierung betrachtet, um den Einfluss der Lattice Machzahl zu charakterisieren. In stark unteraufgelösten Gitterkonfigurationen zeigt das BGK Schema ein instabiles Verhalten. Divergierende Simulationen unter der Verwendung des MRT Schemas sind auf eine starke Abhängigkeit von der Lattice Machzahl zurückzuführen. Obwohl ELB die Viskosität verändert, kann kein Verhalten, das einem Wirbelviskositätsmodell entspricht, gefunden werden. Bei geringen Lattice Machzahlen zeigt das RLB Schema sehr geringe Energielevel bei hohen Wellenzahlen. Der ,,magic parameter" des TRT Schemas wird bestimmt im Hinblick auf den Energieeintrag. Trotzdem wird keine erhöhte Stabilität im Vergleich zum BGK Schema festgestellt. Insgesamt sollte die Lattice Machzahl bezüglich des verwendeten Kollisonsschemas gewählt werden, um die Stabilität zu gewährleisten und die Genauigkeit zu verbessern. Für die Realisierung eines wandmodellierten Large-Eddy Simulation (NWM-LES) Ansatzes wird der BGK Kollisionsoperator ausgewählt. Das Smagorinsky Wirbelviskositätsmodell kommt hierbei zum Einsatz und wird in der turbulenten Grenzschicht mit der van Driest\u27schen Dämpfungsfunktion verwendet. Der Einfluss verschiedener Implementierungen von Geschwindigkeitsrandbedingungen und Wandfunktionen wird in einer biperiodischen, voll ausgebildeten turbulenten Kanalströmung für Schubspannungs-Reynoldszahlen von $\mathrm{Re}_\tau=1000$, $\mathrm{Re}_\tau=2000$ und $\mathrm{Re}_\tau=5200$ untersucht. Die Validierung erfolgt mittels Daten einer direkten numerischen Simulation (DNS) für Turbulenzstatistiken erster und zweiter Ordnung. Die Anwendung dieses Ansatzes auf einen Coriolis Massendurchflussmesser (CMF) zeigt, dass der Druckverlust bis zu einer Reynoldszahl $\mathrm{Re}=127800$ beschrieben werden kann. Des Weiteren wird der entwickelte NWM-LES LBM Ansatz mit OpenFOAM, einer Open Source Implementierung der finititen Volumen Methode (FVM) für komplexe turbulente Strömungen, die relevant für Verbrennungsmotoren sind, verglichen. Der zuvor entwickelte und validierte LBM Ansatz wird mit einer Geschwindigkeitsrandbedingung für gekrümmte Ränder erweitert. Die Ergebnisse beider Strömungslöser werden mit Daten eines Particle Image Velocimetry (PIV) Experiments verglichen. Die Validierung umfasst sowohl die zeitgemittelten als auch die quadratisch gemittelten (RMS) Geschwindigkeitsfelder. Zusätzlich wird sowohl die Laufzeit der Simulation als auch die Dauer der unterschiedlichen Gittergenerierungsprozesse bestimmt. Die Performanceanalyse der getesteten Konfiguration zeigt, dass OpenLB 32-mal schneller ist als OpenFOAM. Folglich ist der entwickelte NWM-LES LBM Ansatz dazu in der Lage, komplexe turbulente Strömungen in einer Ingenieursanwendung akkurat und mit einem verringerten Rechenaufwand zu beschreiben. Wirbel induzierte Vibrationen (VIV) sind ein weiterer wichtiger Anwendungsfall für Ingenieursapplikationen. Für die Untersuchung dieser werden verschiedene Fluid-Struktur Ansätze für LBM implementiert, verglichen und evaluiert. Die zwei untersuchten Klassen sind die Moving Boundary Methods (MBM) und die Partially Saturated Methods (PSM). Als erstes wird die Galiläische Invarianz von aerodynamischen Koeffizienten für die einzelnen Schemata untersucht. Dazu wird das BGK Schema verwendet, um einen exzentrisch positionierten Zylinder in einer Couette Strömung zu simulieren. Überdies werden verschiedene Volumenapproximationsmethoden für PSM und Auffüllmechanismen für MBM verglichen. Sowohl die Gitterkonvergenz als auch die Konvergenz der Galiläischen Invarianz werden betrachtet. Die Studie der VIV-Phänomene umfasst einen transvers oszillierenden Zylinder in einem Freistrom bei einer Reynoldszahl von $\mathrm{Re}=100$. Dabei werden freie und erzwungene Oszillation betrachtet, um bekannte Phänomene, wie Lock-in und Lock-out Zonen, zu untersuchen. Die Ergebnisse zeigen, dass sowohl MBM als auch PSM eine gute Übereinstimmung zu Literaturdaten aufweisen, womit die Eignung für VIV-Simulationen bestätigt werden kann. Schließlich wird ein Fluid-Struktur Interaktionsansatz unter der Verwendung eines MBM Ansatzes für die Simulation eines CMFs realisiert. Hierbei wird OpenLB mit Elmer, einer Open Source Implementierung der Finite-Elemente-Methode, gekoppelt, um auch die Strukturdynamik zu beschreiben. Ein gestaffelter Kopplungsansatz zwischen den beiden Softwarepaketen wird präsentiert. Das Finite-Elemente-Gitter wird durch das Gittergenerierungstool Gmsh erstellt, um einen kompletten Open Source Workflow zu garantieren. Zunächst werden die Eigenmoden des CMFs berechnet und mit Messdaten verglichen. Die daraus bestimmte Anregungsfrequenz wird zur Bestimmung des Phasenshifts in einer partitionierten voll gekoppelten FSI Simulation verwendet. Der berechnete Phasenshift zeigt eine gute Übereinstimmung mit den Messdaten und bestätigt, dass dieses Modell in der Lage ist, das Funktionsprinzip eines CMFs zu beschreiben. Die durchgeführten Studien zeigen das große Potential der LBM für die Simulation von Ingenieursapplikationen, insbesondere wenn turbulente Strömungen betrachtet werden

Lattice Boltzmann Methods for Partial Differential Equations

Lattice Boltzmann methods provide a robust and highly scalable numerical technique in modern computational fluid dynamics. Besides the discretization procedure, the relaxation principles form the basis of any lattice Boltzmann scheme and render the method a bottom-up approach, which obstructs its development for approximating broad classes of partial differential equations. This work introduces a novel coherent mathematical path to jointly approach the topics of constructability, stability, and limit consistency for lattice Boltzmann methods. A new constructive ansatz for lattice Boltzmann equations is introduced, which highlights the concept of relaxation in a top-down procedure starting at the targeted partial differential equation. Modular convergence proofs are used at each step to identify the key ingredients of relaxation frequencies, equilibria, and moment bases in the ansatz, which determine linear and nonlinear stability as well as consistency orders of relaxation and space-time discretization. For the latter, conventional techniques are employed and extended to determine the impact of the kinetic limit at the very foundation of lattice Boltzmann methods. To computationally analyze nonlinear stability, extensive numerical tests are enabled by combining the intrinsic parallelizability of lattice Boltzmann methods with the platform-agnostic and scalable open-source framework OpenLB. Through upscaling the number and quality of computations, large variations in the parameter spaces of classical benchmark problems are considered for the exploratory indication of methodological insights. Finally, the introduced mathematical and computational techniques are applied for the proposal and analysis of new lattice Boltzmann methods. Based on stabilized relaxation, limit consistent discretizations, and consistent temporal filters, novel numerical schemes are developed for approximating initial value problems and initial boundary value problems as well as coupled systems thereof. In particular, lattice Boltzmann methods are proposed and analyzed for temporal large eddy simulation, for simulating homogenized nonstationary fluid flow through porous media, for binary fluid flow simulations with higher order free energy models, and for the combination with Monte Carlo sampling to approximate statistical solutions of the incompressible Euler equations in three dimensions

Homogenized lattice Boltzmann methods for fluid flow through porous media -- part I: kinetic model derivation

In this series of studies, we establish homogenized lattice Boltzmann methods (HLBM) for simulating fluid flow through porous media. Our contributions in part I are twofold. First, we assemble the targeted partial differential equation system by formally unifying the governing equations for nonstationary fluid flow in porous media. A matrix of regularly arranged, equally sized obstacles is placed into the domain to model fluid flow through porous structures governed by the incompressible nonstationary Navier--Stokes equations (NSE). Depending on the ratio of geometric parameters in the matrix arrangement, several homogenized equations are obtained. We review existing methods for homogenizing the nonstationary NSE for specific porosities and discuss the applicability of the resulting model equations. Consequently, the homogenized NSE are expressed as targeted partial differential equations that jointly incorporate the derived aspects. Second, we propose a kinetic model, the homogenized Bhatnagar--Gross--Krook Boltzmann equation, which approximates the homogenized nonstationary NSE. We formally prove that the zeroth and first order moments of the kinetic model provide solutions to the mass and momentum balance variables of the macrocopic model up to specific orders in the scaling parameter. Based on the present contributions, in the sequel (part II), the homogenized NSE are consistently approximated by deriving a limit consistent HLBM discretization of the homogenized Bhatnagar--Gross--Krook Boltzmann equation